D = 3 string theory review and closed string spectrum
D = 3 sicim teorisi incelemesi ve kapalı sicim spektrumu
- Tez No: 826819
- Danışmanlar: PROF. DR. MEHMET ÖZKAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 79
Özet
Sicim teorisi, madde ve kuvvet parçacıklarının titreşen küçük sicimlerle matematiksel olarak temsil edildiği bir modeldir. Bu teori, kütleçekiminin kapalı sicimin spektrumunda kendiliğinden ortaya çıktığı bir kuantum kütleçekimi teorisidir. Diğer bir dikkat çekici husus da teorinin Lorentz değişmezliğini koruyabilmesi için belirli bir uzay-zaman boyutunun, diğer bir ismiyle kritik boyutun, gerekli olmasıdır. Çalışmada tam da buradan yola çıkılarak 26 boyutlu uzay-zamandan başka bir alternatifin mümkün olup olmadığı değerlendirilecektir. Tezin ana hesaplamalarına başlamadan önce, giriş kısmında tezin kapsamı ve sicim teorisi alanı içerisindeki yeri tanıtılacaktır. Bu tanıtımın yanı sıra konuyla ilgili güncel kaynaklardan sicim teorisinin güncel durumu, yapılan çalışmalar ve alandaki genel yaklaşımlar hakkında bilgiler derlenip sunulacaktır. Başlangıç bölümünde bozonik sicim teorisi çalışmalarında alışılageldiği üzere göreli noktasal parçacığın kısa bir incelemesi yapılacaktır. Zira sicim aksiyonu göreli noktasal parçacıklarınkine çok benzer bir şekilde ele alınabilmektedir. Göreli noktasal parçacık aksiyonu ve hareket denklemleri elde edilmesini ve noktasal parçacığın aksiyonu ile p-boyutlu bir membran aksiyonu olan“p-bran”aksiyonunun genelleştirilmesini takiben sicimin aksiyonuna geçilecektir. Genelleştirilmiş aksiyondan yola çıkılarak sicimin aksiyonu incelenecek, tezin kapsamında amaçlandığı üzere serbest bozonik sicimlere yoğunlaşılacaktır. Sicim hareketi bu esnada taranılan 2-boyutlu uzay-zaman yüzeyi olan“world-sheet”ile temsil edilecek ve sicim koordinatları $\sigma$ ve bir zaman parametresi $\tau$ ile belirtilerek parametrize edilecektir. Sicimin Nambu-Goto aksiyonu,“world-sheet”alanına bağlı olarak türetilecek ve buradan Hamilton formalizminde eşlenik“world-sheet”momentumu elde edilecektir. Bu eşlenik momentumdan iki kısıt denklemi çıkarılacak ve bunlarla da aksiyonunun en son haline kavuşması sağlanacaktır. Aksiyon, göreli noktasal parçacık örneğindeki $m$ kütlesine benzer bir (sicim gerginliği adı verilen) $T$ sabiti içeriyor olacaktır. Hareket denklemleri tekrar türetildikten ve ardından açık sicim için Dirichlet ve Neumann sınır koşulları yazılıp bu koşulların açık sicimler için ne anlama geldiği yorumlanacaktır. Kapalı sicim için ise periyodiklik koşulu belirtilecektir. Periyodiklik koşulu, kapalı sicimin bir noktasından başlayınca sicim uzunluğu kadar ilerlendiğinde aynı noktaya varılacağı şartına karşılık gelir. Aynı noktanın periyodik olarak birden çok kez tanımlanmasıyla ilgili bir durumdur. Ardından sicim aksiyonunun parametrizasyon değişmezliği de kısaca gösterilecektir. Bütün bu hesaplamalardan sonra, korunumlu nicelikler hesaplanılacak ve ışık-konisi koordinatlarına geçiş yapılacaktır. Ardından ışık-konisi ayar sabitlemesinden kaynaklı ifadeler elde edilecektir. İlerleyen hesaplamalar sırasında teorinin Lorentz değişmezliğini kontrol etmek için kullanılacak olan kısım, Noether yükünün spin kısmı olacaktır. Daha sonra sicim dalga denklemi hesaplanacak ve dalga denkleminden hareketle Fourier mod açılımı yazılacaktır. Kütlenin elde edilmesinin ardından kanonik kuantizasyon prosedürü uygulanılacak, kuantize edildiğinde önceden hesaplanmış mod açılımının salınım modlarının yok etme ve yaratma operatörlerine karşılık geldiği gösterilecektir. Diğer tüm operatörler de benzer şekilde kuantize edilecektir. Kuantizasyon sırasında normal-sıralama belirsizliğinden kaynaklı bir ($a$) sabitinin elde edildiği görülecektir. Bu sabit, yok etme operatörlerinin yaratma operatörlerinin sağında (dolayısıyla eldeki duruma ilk etki edecek sırada) olmasını gerektiren normal-sıralama işleminden kaynaklı olarak ortaya çıkmaktadır. Komütasyon bağıntısı sıfır vermeyen operatörlerin sıralarının değiştirilmesi sırasında ilgili bağıntıların kurallarına karşılık olarak ıraksak bir sabit elde edilmektedir. Bu sabit hem uzay-zaman boyutunun hesaplanması sırasında hem de spektrumu hesaplarken karşımıza tekrar tekrar çıkmaya devam edecektir. Ek olarak Lorentz yüklerinin komütasyon ilişkilerinden yola çıkılarak teorinin Lorentz değişmezliğini kontrol etmek mümkün olacaktır. Lorentz değişmezliği, teorinin farklı gözlemciler için aynı şekilde geçerli olması anlamına gelmektedir. Bu ifadeyi incelemek için Lorentz yüklerinin sadece spin kısımlarının komütatörlerini incelemenin yeterli olacağı ve bu komütatörlerin sıfıra eşit olmasını şart koşmanın“D = 26”kritik boyutuna yol açtığı gösterilecektir. Bu boyut şartı aynı zamanda“D = 26”için normal-sıralama sabitinin de $a=1$ değerini almasını gerekli kılacaktır. Ancak,“D = 3”özel durumu için de bu komütasyon ilişkisinin de ortadan kalktığı, yani Lorentz değişmezliğini koruduğu gösterilecektir. Bu sonuç, tezin ana incelemesine geçiş yapmak için gerekli olan son parçadır. Nihayet 3 boyutta kapalı sicimler için spektrumlarının incelenmesine başlanılacaktır. Bu amaç doğrultusunda Poincaré değişmezleri hesaplanılacaktır. Ardından bütün operatörler önce kanonik 3-vektörler cinsinden ifade edilecek ve Fourier mod açılımı karşılıkları yerlerine koyularak gerekli sadeleştirmeler yapılacaktır. Sağ ve sol salınım modlarının seviyelerinin birbirlerine eşit olması şartını veren“level-matching”koşulu gösterilecektir. Daha sonra, yaratma ve yok etme operatörleri kullanılarak farklı seviyelere karşılık gelen durumların elde edilmesi mümkün olacaktır. Bu durumların elde edilebilmesi için bahsi geçen operatörlerin durumlar üzerine etkilerinin nasıl olacağı elde edilecektir ve bu bağıntılar spektrumun elde etmesi için temel bir rol oynayacaktır. Bu sürecin sonunda, farklı seviyelerin spinlerini bulmak için bir dizi hesaplama yapılacak, bu hesaplamaların gerektirdiği ara hesaplar ve tanımlar da benzer şekilde sunulacaktır. Ardından normal-sıralama sabitine ($a$) bağlı spinler elde edilecektir. Spinlerin hesaplanması için $\Lambda$ Poincaré değişmezi her seviye için matris formuna getirilmesi ve ilgili matrislerin özdeğerleri o seviyenin kütlesine bölünmesi şeklinde gerçekleştirilecektir. Sonuçları inceledikten sonra, spektrumda $a$'nın seçimine bağlı olmaksızın ($2s$'nin tamsayı olmadığı $s$ spinli durumlar olarak tanımlanan) anyonik durumların elde edilmesinin kaçınılmaz olduğu görülecektir. 3-boyutlu sicim teorisinin spektrumunun anyonik durumları barındırdığı sonuç olarak aktarılacaktır. Son olarak varılan sonuç ve bunu takip edebilecek potansiyel tartışmalar değerlendirilecektir.
Özet (Çeviri)
String theory is a framework in which all matter and force particles are mathematically represented by tiny vibrating strings. One of the most remarkable aspects of the theory is that it is a theory of quantum gravity, in string theory gravity emerges as in the scope of the closed string spectrum. Another quite intriguing property of string theory is the fact that it“dictates”the necessity of a specific space-time dimension, namely the critical dimension, in order for the theory to preserve the Lorentz invariance. It is exactly this aspect that the thesis will build up to and offer another way out other than the renowned 26-dimensional space-time. The thesis, as is customary, will start with a brief investigation of relativistic point particle. The reason laying behind this is that the string case will be treated in a very similar fashion. The relativistic point particle action and the equations of motion will be calculated. The action of the point particle can be generalized to the p-brane action, which is simply the action of a p-dimensional membrane. By making use of the generalized action, the action of the string will then be examined. In the scope of the thesis, the focus will be on the free bosonic strings. The string motion is represented by the worldsheet of the string, the 2-dimensional space-time surface which the string sweeps throughout its motion. The parametrization will be made by specifying the string coordinates by $\sigma$ and a time parameter $\tau$. The string action is derived by considering the area of the worldsheet and is called the Nambu-Goto action, from which will be moved on to obtain the conjugate worldsheet momentum in the Hamiltonian formalism. That conjugate momentum will give rise to two constraints, which then will give rise to the final form of the action that will be examined. The action contains a constant $T$, analogous to the mass $m$ in the relativistic point particle case, which is called the string tension. The equations of motion will again be derived and then the open string boundary conditions will be analysed: Dirichlet and Neumann boundary conditions. For the closed string, the periodicity condition will be introduced together with the reparameterization invariance of the string action. After all of the above-mentioned calculations, the conserved currents and charges will be calculated and after that, a switch to the light-cone coordinates will be made. It will be the spin part of the Noether charge that will be used to check the Lorentz invariance of the theory later on. Then, the string wave equation will be calculated. Moving on from the wave equation, the Fourier mode expansion will be written. Following the calculation of the conserved currents, the mass-shell condition will be derived. The canonical quantization procedure will then be conducted and it will appear that the oscillator modes of the pre-calculated mode expansion will correspond to the annihilation and creation operators when the quantization is made. All other operators will be quantized as well. Finally, it will be possible to check the Lorentz invariance of the theory by looking at the commutation relations of Lorentz charges. This will be equivalent to examining only the commutators of the spin parts of the Lorentz charges and requiring them to be equal to zero will give rise to the critical dimension of D = 26. But also, it will be shown that for the special case of D = 3 this commutation relation also vanishes i.e. preserves the Lorentz invariance. At last, the focus can be directed on the spectrum of the D = 3 theory. Even more specifically, to the D = 3 closed string. The Poincaré invariants will be calculated and then the level-matching condition will be shown. It will then be possible to obtain the states corresponding to different levels in terms of the creation and annihilation operators from before. Eventually, a set of calculations will be conducted to find the spins of different levels and then we will end up with a set of numbers that depend on the normal-ordering constant $a$. After examining the final results, it will be apparent that the spectrum gives rise to anyonic states at some levels regardless of the choice of $a$, states which has spin $s$ where $2s$ is not an integer. An effort to evaluate this result will be made and further areas for possible contributions will be discussed.
Benzer Tezler
- Döviz kurunu belirleyen faktörler ve kur riski
Determination of foreign exchange rates and foreign exchange risk
MEHMET COŞKUN ÖZAVNİK
- Manifolds of generalised G-structures in string compactifications
Sicim kompaktifikasyonlarinda genelleştirilmiş G-yapısı olan manifoldlar
EMİNE DİRİÖZ
Doktora
İngilizce
2023
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYBİKE ÖZER
- Kısmi-eşleme erişimi ve buna uygun dosya yapıları
Efficient file structures for partial-match retrieval
OĞUZHAN ÖZTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1992
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiDOÇ. DR. MİTHAT UYSAL
- The evolution of the theory of financialization: The case of Turkey
Finansallaşma teorisinin evrimi: Türkiye örneği
SİNEM BAĞÇE
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
EkonomiGalatasaray Üniversitesiİktisat Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BURAK GÜRBÜZ
- Portföy yönetiminde dinamik varlık yönetim stratejileri
Dynamic asset allocation strategies in portfolio management
MUSTAFA DUMAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2000
BankacılıkMarmara ÜniversitesiSermaye Piyasası ve Borsa Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ÖZLEM KOÇ