Manifolds of generalised G-structures in string compactifications
Sicim kompaktifikasyonlarinda genelleştirilmiş G-yapısı olan manifoldlar
- Tez No: 798392
- Danışmanlar: PROF. DR. AYBİKE ÖZER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 127
Özet
Boyutu n olan türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde, bir G-yapısı, lineer çerçeve demetinin temel alt demeti olarak tanımlanır. G grubu ise GL(n,R) grubunun bir Lie alt grubudur. Doğrusal çerçeve demeti, TM teğet demetiyle ilişkili ana çerçeve demetidir. G-yapıları ile M üzerinde belirli geometrik nesnelerin varlığı arasında 1-1 karşılıklılık vardır. Örneğin, doğrusal çerçeve demetinin yapı grubunun O(n)'e indirgenmesi, bir Riemann metriği g'nin varlığına karşılık gelir. Benzer şekilde, hemen hemen kompleks bir J yapısının varlığıyla, yapı grubu GL(n/2,C)'ye indirgenir. Eğer Riemann metriği ve hemen hemen komplex yapı birbirleriyle uyumluysa yani bir Hermityen metriği h varsa, yapı grubu SU(n/2)'e düşer. Bu ise reel bir 2-form $\omega$'nın varlığına ve belirli koşulları sağlayan kompleks ayrıştırılabilir bir n/2-form $\Omega$'nın varlığına eşdeğerdir. Benzer şekilde, herhangi bir yedi boyutlu düzgün manifold M üzerinde G_2-yapısı, çerçeve demetinin yapı grubunun kompakt, istisnai Lie grubu G_2'ye indirgenmesi olarak tanımlanabilir. G_2, pozitif bir 3-form olan $\varphi$'yi koruyan GL(7,R)'nin bir alt grubudur. G-yapıları ve G-holonomi kavramları yakından ilişkilidir. Bir konneksiyonun holonomi grubu, bir vektör demetinde veya bir temel lif demetinde global bir değişmez olarak tanımlanır. Holonomi grupları belirli bir teğet uzayının $T_x M$ endomorfizmaları olarak tanımlanır. Bunlar belirli bir alt grup içinde değerler alan ve kapalı döngüler etrafında paralel taşıma vasıtasıyla oluşturulan endomorfizmalardır. Holonomi kavramı bizim için iki nedenden ötürü önemlidir. Birincisi, holonomi grubu kovaryant sabit tensörleri tanımlar. Örneğin, Riemann metriği g kovaryant olarak sabit olduğunda, holonomi grubu O(n)'in bir alt grubu olur. J'nin kovaryant olarak sabit olduğu durumda holonomi grubu GL(n/2,C)'nin bir alt grubudur. Eğer kapalı dejenere olmayan bir 2-form $\omega$ ve ayrışabilen kapalı bir n/2 form $\Omega$'nın varlığını empoze edersek o zaman yapı grubu SU(n/2)'e düşer ve bu formların kovaryant türevleri sıfır ise o zaman holonomi grubu SU(n/2)'in bir alt grubu olacaktır. Eğer 3-form olan $\varphi$ Levi-Civita konneksiyonuna göre paralelse, bu durumda holonomi grubu G_2'nin bir alt grubu olur. Holonomi grubunun bizim için önemli olmasının ikinci nedeni ise burulmasız olan konneksiyonlar için, G-holonomisi ile burulmasız G-yapılarının birbirlerine denk olmasıdır. Bu tezde amacımız $TM\oplus T^*M$ üzerinde tanımlanan genelleştirilmiş G-yapılarını çalışmaktır. $TM\oplus T^*M$ genelleştirilmiş teğet demeti olarak adlandırılır ve TM'in kesitlerinde tanımlı olan Lie parantezi, $TM\oplus T^*M$'in kesitlerinde tanımlı Courant parantezi ile yer değiştirilir. Genelleştirilmiş $G$-yapısını genelleştirilmiş teğet demetiyle ilişkili olan genelleştirilmiş çerçeve demetinin yapı grubunun bir indirgenmesi olarak tanımlayacağız. $TM\oplus T^*M$'in doğal yapı grubu O(n,n)'dir. Yukarıda tartıştığımız geleneksel G-yapılarında olduğu gibi, genelleştirilmiş G-yapıları da belirli geometrik nesnelerin varlığına karşılık gelir. Örneğin, yapı grubunun O(n,n)'den $O(n)\times O(n)$'e indirgenmesi, genelleştirilmiş bir metriğin varlığına karşılık gelir. Genelleştirilmiş metrik, Riemannian metriği g ve bir 2-form alanı B'den oluşan $TM\oplus T^*M$ üzerinde tanımlı bir metriktir. Benzer şekilde, çift boyutlu bir reel manifold M üzerinde, genelleştirilmiş hemen hemen kompleks yapının varlığı, yapı grubunun O(n,n)'den U(n/2,n/2)'e indirgenmesine karşılık gelir. Ayrıca, $O(n)\times O(n)$ ve U(n/2,n/2)'nin kesişimi $U(n/2) \times U(n/2)$-yapısına bir indirgenme sağlar. Bu ise iki uyumlu genelleştirilmiş hemen hemen kompleks yapının varlığına denktir. Dahası, yapı grubu, normu sıfırdan farklı saf bir spinörünün varlığıyla SU(n/2,n/2)'e indirgenir. Saf spinörler $\bigwedge^\bullet T^* M$ kesitleridir yani homojen olmayan diferansiyel formlar olarak tanımlanabilir. Saf bir spinörün maksimum izotropik bir sıfır uzayı vardır. Yapı grubu, iki uyumlu saf spinörün varlığıyla $SU(n/2)\times SU(n/2)$'e indirgenebilir. Uyumluluk koşulu ise spinörlerin ilişkili oldukları genelleştirilmiş hemen hemen kompleks yapıların uyumluluğuyla ilgilidir. Öncelikli ilgi alanımız $SU(3)\times SU(3)$- yapıları ve bu yapıyla ilişkili olan homojen olmayan diferansiyel formlar yani saf spinörlerdir. Bu tezdeki temel amacımız, sicim kompaktifikasyonlarıyla ilgili olan genelleştirilmiş G-yapısı olan manifoldları çalışmaktır. Süpersicim teorisi, 10 boyutta tutarlı bir kuantum kütleçekimi teorisidir. 5 tane tutarlı süpersicim teorisi bulunur ve kütlesiz uzay-zaman alanlarının düşük enerji dinamikleri on boyutlu süper kütleçekim teorileriyle yönetilir. Süper kütleçekim alan denklemleri, Einstein'ın genel görelilik teorisinin (GR) alan denklemlerinin genelleştirilmesi olarak düşünülebilecek doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. GR'de ana dinamik alan Riemann metriğidir. Sicim kuramında, Riemann metriğine ek olarak 2-form olan bir B alanı, dilaton adı verilen bir skaler alan ve Ramond-Ramond (RR) alanları adı verilen bir grup p-form alanları da mevcuttur. Süper kütleçekimindeki standart formülasyonda p farklı değerler alır. Tip (m) IIA durumunda RR alan şiddeti p=0,2,4 dereceli formlar iken Tip IIB durumunda p=1,3,5 dereceli formlardır. Bu formların Hodge düallerinin de dikkate alınmasıyla elde edilen demokratik formülasyondaysa Tip (m) IIA durumunda RR alan şiddeti p=0,2,4,6,8,10 dereceli formlar iken Tip IIB durumunda p=1,3,5,7,9 dereceli formlardır. Sicim teorisini 4 boyutlu fiziksel teorilerle ilişkilendirmek için, 4 boyutlu $M_{1,3}$ Minkowski uzay-zamanına kompaktifikasyona karşılık gelen $M_{1,3} \times Y_6$ biçimindeki çözümleri dikkate almak gerekir. $Y_6$ iç manifold adı verilen kompakt bir manifolddur. Ortaya çıkan 4 boyutlu teorinin gerçekçi olabilmesi için iç manifoldun belirli özellikleri sağlaması gerekmektedir. Örneğin 4 boyutlu teoride, süpersimetri adı verilen belirli bir simetrinin olması istenir. Örneğin, RR p-form alanının sıfırlandığı tip II sicim teorisinin kompaktifikasyonunda ${\cal{N}} = 2$ süpersimetri için, iç manifoldun kompleks boyutu 3 olan bir Calabi-Yau manifoldu olması gerekir. Calabi-Yau manifoldu, birinci Chern sınıfının sıfırlandığı kompleks bir K\"{a}hler manifoldudur. Bu durumda holonomisi SU(3) olan Ricci-flat metrik kabul ettiği gosterilmiştir. Sıfırlanmayan p-form alanlarının varlığında 4 boyutta Tip II sicim teorisinin süpersimetrik kompaktifikasyonunda, altı boyutlu iç manifold M'nin genelleştirilmiş teğet demeti $TM \oplus T^*M$'nin yapı grubunun SO(6,6)'dan $SU(3) \times SU(3)$'a düşürülmesi gerekmektedir. Bu, iki uyumlu saf spinörün $\Phi_1$ ve $\Phi_2$ varlığına denktir. Saf spinörler tarafından sağlanan denklemler, arka plan geometrisinin süpersimetrik olmasını sağlar. Bu spinörler aşağıdaki birinci dereceden diferansiyel denklemleri, yani süpersimetri denklemlerini sağlamalıdır. \bea d(e^{2A - \phi} e^{B} \wedge \Phi_1) & = & 0 , \label{pure1} \\ d(e^{2A - \phi} e^{B} \wedge \Phi_2) & = & e^{2A-\phi} dA \wedge e^{B} \wedge \bar{\Phi}_2 + \frac{i}{8} e^{3A} e^{B} \wedge \lambda(*_6 F). \label{pure2}\eea Burada, A skaler bir fonksiyon, B bir 2-form alanı, $\phi$ skaler bir alan, $*_6$ altı boyutlu iç manifoldda Hodge yıldız operatörü, $F$ homojen olmayan bir diferansiyel form ve $\Phi_1,\Phi_2$ saf spinörlerdir. Tüm bu terimler bölüm 5'te detaylıca incelenecektir. ${\cal{N}} = 1$ süpersimetrinin korunması ile ilişkili saf spinör denklemlerinin, $Pin(d, d)$ dönüşümleri altında kovaryant olduğunu kanıtlamayı amaçlıyoruz. Bu tezde, koordinatlara bağlı bir $O(d, d)$ dönüşümü olan Abelian Olmayan T-düalitesi (NATD) ile saf spinörlerin nasıl dönüştürüleceğini göstereceğiz. Bu dönüşüm Riemann metriği, B alanı ve dilaton üzerinde etkilidir. Öte yandan spinor alanları, Pin(d,d) ve O(d,d) arasındaki çift kaplama homomorfizması dikkate alınarak elde edilen bir Pin(d,d) dönüşümü ile dönecektir. Bu tezde NATD'nin saf spinor denklemleri için çözüm üreten bir dönüşüm olduğunu göstereceğiz. Bunu yapmak için, saf spinör denklemlerini Pin(d, d)$kovaryant olarak yeniden yazmamız gerekmektedir. Ancak NATD koordinat bağımlı bir Pin(d,d) dönüşümü olduğu için bu analizi sonuçlandırmak yeterli olmayacaktır. Bölüm 5.2.2'de tartışılacak olan genişletilmiş bir analize ihtiyacımız olacak. Bu analiz sayesinde saf spinörlerin NAT düallerinin literatürdeki diferansiyel denklemleri sağlamaya devam ettiği ve bu nedenle düal arka planın en az ${\cal{N}} = 1$ süpersimetriyi koruduğu gösterilecektir. Metodumuzu göstermek için, Tip IIB süper kütleçekiminin çözümleri olduğu bilinen belirli bir geometri tipine odaklanacağız. Beş tür tutarlı Sicim kuramı vardır. Buna karşılık olarak, düşük enerji sınırında, bunlarla ilişkili beş tür süper kütleçekimi vardır. Tip IIA ve IIB bunlardan ikisidir ve T-duality ile birbiriyle ilişkilidir. Çalışacağımız geometri, topolojik olarak $M_{1,3} \times {\cal M}_3\times S^3$ şeklinde olacaktır, böylece bir SU(2) izometrisi vardır. Bu tezin 6. bölümünde göreceğimiz gibi, metrik ve 5-formlar için aşağıdaki yapıyı inceleyeceğiz. \bea\label{ansatz} ds^2 & = & e^{2A}dx^2_{1,3}+ ds^2({\cal M}_3)+ \sum_{i=1}^3 \big(e^{i}\big)^2, \\ \nonumber {\cal F}_5 & = & {\cal F}_2 \wedge e^1 \wedge e^2 \wedge e^3 \\ \nonumber F_5 & = & (1+ \star){\cal F}_5 = {\cal F}_2 \wedge e^1 \wedge e^2 \wedge e^3 - e^{4A} \star_3 {\cal F}_2 \wedge Vol_4 \eea Ayrıca geometrinin bir SU(3)-yapısını kabul ettiğini varsayacağız. SU(3) yapısı, $SU(3) \times SU(3)$ yapısının özel bir durumudur. SU(3) yapısıyla ilişkili saf spinörler aşağıdaki gibidir. \be\label{purespinors} \Phi_1 = -\frac{i}{8} e^{i \theta_-} e^A \Omega \ , \quad \Phi_2 = \frac{1}{8} e^{i \theta_+} e^{A} e^{-i J} \ee Burada A bir fonksiyondur, J reel bir 2-form ve $\Omega$ belirli koşulları sağlayan bir 3-formdur. SU(3) saf spinörlerini, B-alanını, metrik ve dilatonu NATD dönüşümü altında dönüştüreceğiz. Dönüşümden sonra elde ettiğimiz yeni geometri Tip II süper kütleçekimi denklemlerini otomatik olarak çözecektir. SU(3) saf spinörlerinin NATD dönüşümünden sonra elde ettiğimiz yeni saf spinörlerin $SU(2)$ saf spinörleri olduğunu gösterebileceğiz. Yeni saf spinörler (5.1) ve (5.2)'de verilen süpersimetri denklemlerini çözecektir.
Özet (Çeviri)
A G-structure on a differentiable manifold M of dimension n can be described as a reduction of the linear frame bundle L(M) of M to a Lie subgroup G of $GL(n,\mathbb{R})$. Such a reduction is equivalent to the existence of certain geometric structures on M, depending on what the subgroup G is. For example, an O(n)-structure corresponds to the existence of a Riemannian metric g. Similarly, by the existence of an almost complex structure J, the structure group reduces to $GL(n/2,\mathbb{C})$. If a Riemannian metric and an almost complex structure are compatible that is metric is hermitian then the structure group reduces to SU(n/2). In a similar fashion, a generalised G-structure can be described as a reduction of the structure group of the principal bundle associated to the generalised tangent bundle $TM\oplus T^*M$. The natural structure group of $TM\oplus T^*M$ is O(n,n). The generalised G-structures also correspond to existence of certain geometrical objects. For example, the reduction of the structure group from O(n,n) to $O(n)\times O(n)$ corresponds to the existence of a generalised metric. Similarly, on an even dimensional real manifold $M$ a generalised almost complex structure is given by a reduction of the structure group from O(n,n) to U(n/2,n/2). A generalised almost complex structure is defined by the existence of a pure spinor which is a section of the exterior bundle $\bigwedge^\bullet T^* M$. The SU(n/2,n/2)-structure is equivalent to the existence of a globally defined pure spinor of non-vanishing norm. Furthermore, $SU(n/2)\times SU(n/2)$-structure is given by the existence of two compatible pure spinors. The main theme of this thesis is the study of manifolds of generalised G-structure relevant for string compactifications. Superstring theory is a quantum theory of gravity consistent in 10 dimensions. There are five consistent superstring theories and the low energy dynamics of massless space-time fields is governed by ten dimensional supergravity theories. The supergravity field equations are nonlinear partial differential equations which can be regarded as a generalisation of field equations of Einstein's theory of general relativity (GR). In a supersymmetric compactification of Type II string theory down to 4 dimensions, it is required that the structure group of the generalised tangent bundle $TM \oplus T^*M$ of the six dimensional internal manifold M is reduced from SO(6,6) to $SU(3) \times SU(3)$. This is equivalent to the existence of two globally defined compatible pure spinors $\Phi_1$ and $\Phi_2$. Furthermore, these pure spinors should satisfy certain first order differential equations, namely supersymmetry equations. We show that these equations are covariant under certain Pin(d,d) transformations. We also show that Non-Abelian T-duality (NATD) which is generated by a coordinate dependent Pin(d,d) transformation is a particular solution generating transformation for these pure spinor equations. Our method is demonstrated by studying the NATD of a specific class of geometries with SU(2) isometry and SU(3)-structure. Some of the manifolds belonging to this class are $AdS_5\times T^{1,1}$, $AdS_5\times Y^{p,q}$ and $AdS_5\times S^5$. It is interesting to note that in each case, the internal manifold is a Sasaki-Einstein manifold. We show that the transformed pure spinors are associated with an SU(2)-structure. The plan of the thesis is as follows: in section 2, we study principal fiber bundles, vector bundles and linear frame bundles. Then, we study the concept of the reduction of the structure groups. We also give familiar examples of G-structures in detail. In section 3, we shortly review the relation between G-holonomy and torsion-free G-structures. In section 4, we study the basic concepts regarding the geometry on the generalised tangent bundle $TM\oplus T^*M$. This leads us to the definition of a generalised G-structure. Since our main interest is in $SU(3)\times SU(3)$-structures we give in a separate subsection the description of $SU(3)\times SU(3)$-structures and the associated pure spinors in detail. In section 5, we focus on the differential equations to be satisfied by the pure spinors for preservation of ${\cal{N}}=1$ supersymmetry. We study the covariance of these equations under constant and non-constant Pin(d,d) transformations. Then, we study Non-Abelian T-duality (NATD) transformations in detail, and we show the invariance of pure spinor equations under NATD. In section 6, we consider a specific class of geometries. We transform the pure spinors associated with the SU(3)-structure, and show that the resulting pure spinors determine an SU(2) structure. We also study the NATD transformation of the metric, the B field and the Ramond-Ramond fields.
Benzer Tezler
- Classical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory
Sicim kuramının dualite kovaryant formülasyonundan klasik yang-baxter denklemi
SEÇİL TUNALI ÇIRAK
Doktora
İngilizce
2024
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYBİKE ÖZER
- Özel yarı-Einstein manifoldları
Special quasi Einstein manifolds
SİNEM GÜLER
Doktora
Türkçe
2018
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SEZGİN ALTAY DEMİRBAĞ
- On geodesic mappings of Riemannian manifolds
Riemann manifoldlarında jeodezik dönüşümler
AHMET UMUT ÇORAPLI
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ELİF CANFES
- Exotic 4-manifolds and hyperelliptic Lefschetz fibrations
Egzotik 4-manifoldlar ve hipereliptik Lefschetz lif demetleri
TÜLİN ALTUNÖZ
Doktora
İngilizce
2018
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiTopoloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA KORKMAZ