Large deflections of non-linear bi-modulus functionally graded beams under different boundary and loading conditions
Doğrusal olmayan çift modüllü fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin farklı sınır koşulları ve yüklemeler altındaki büyük yer değiştirmeleri
- Tez No: 829165
- Danışmanlar: PROF. DR. CEMAL BAYKARA
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Makine Mühendisliği, Mechanical Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 223
Özet
İmalat teknolojilerindeki gelişmelerle birlikte kompozit malzemelerin özel bir üyesi olan fonksiyonel derecelendirilmiş malzemelere (FDM) gösterilen ilgi de artmaktadır. Belirli bir ihtiyaca yönelik olarak malzemenin termal, yapısal veya fonksiyonel bir özelliğinin arzu edilen doğrultuda, belirli bir fonksiyona bağlı olarak değişim gösterdiği çok fonksiyonlu malzemelere fonksiyonel derecelendirmiş malzemeler denir. Malzeme kompozisyonu bir boyutta (1B), iki boyutta (2B) veya üç boyutta (3B) değişim gösterebilir. Ayrıca bu değişim, derecelendirme fonksiyonuna bağlı olarak yapının maruz kaldığı yüklere tasarımcı tarafından belirlenebilen doğrusal olmayan tepki vermesini sağlayabilir. Örneğin basit eğilme durumunda doğrusal karakteristikli homojen bir kirişin, belirli bir kesitindeki eksenel gerilme dağılımı doğrusal olurken, bu dağılım FDM bir kirişte arzu edilen şekilde doğrusal olmayan bir yapıya büründürülebilir. Bu çalışmada malzeme kompozisyonun düşey, yatay ve hem yatay hem düşey doğrultularda değişiminin etkileri incelenmiştir. Literatürde yer alan çalışmalarda genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan, çift modüllü, FDM kirişlerdeki büyük yer değiştirmelerin incelenmediği görülmüştür. Ayrıca değişken kiriş geometrisinin FDM kirişler üzerindeki etkileri de şuana kadar incelenmemiştir. Tüm bunların yanı sıra, kiriş üzerindeki eksenel gerilme dağılımları da çalışılmaya muhtaçtır. Dolayısı ile bu çalışmanın temel amacı, genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan elastik, çift modüllü, yüksekliği doğrusal olmayacak şekilde değişen, düşey, yatay veya iki doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş Euler-Bernoulli tipi kirişlerdeki büyük yer değiştirmeleri ve ilaveten eksenel gerilmeleri göstermektir. Ayrıca bu tür kirişler için ticari yazılımlar kullanılarak sonlu elemanlar analizleri gerçekleştirebilecek metot sunmak yine bu tezin amaçları arasında yer alır. Malzemelerin gerilme-birim şekilde değiştirme karakteristiklerini tanımlayan çeşitli temel yasalar bulunmaktadır. Bunlardan en bilineni ve mühendislik hesaplarında en yaygın olarak kullanılanı şüphesiz ki Hooke yasasıdır. Hooke yasası malzemelerin doğrusal olan gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisini tanımlayan ampirik bir eşitliktir. Hooke yasasından yola çıkarak malzemelerin doğrusal olmayan elastik özelliğini tanımlamak için türetilmiş ampirik ifade ise Ludwick yasası olarak adlandırılır. Ludwick yasası ilave bir sabit terim eklenerek genelleştirilmiş ve deneysel sonuçlarla daha iyi örtüşen yeni bir ifade türetilmiştir. Türetilen bu yeni ifade genelleştirilmiş Ludwick yasası olarak adlandırılmıştır. Bu çalışmada incelenen FDM genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan elastik bir karaktere sahiptir. Tüm bunların yanı sıra, incelenen malzeme çekme ve basmada farklı Young modüllerine sahip olduğu için, çekme ve basma tepkisi farklı olmaktadır. Sonuç olarak, genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan, çift modüllü, fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme dolayısı ile mekanik özellikleri bakımından son derece doğrusal olmayan bir yapı ortaya çıkmıştır. Çalışmada, incelenen kirişin malzeme kaynaklı ileri derecede doğrusal olmama durumuna ilaveten geometri kaynaklı doğrusal olmama durumu da göz önüne alınmıştır. Kirişin yüksekliği bir uçtan diğer uca doğru sürekli olarak doğrusal olmayan şekilde değişmektedir. Kiriş geometrisi için dört farklı durum göz önüne alınmıştır. Çalışmanın ilk bölümünde genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan, çift modüllü, fonksiyonel derecelendirilmiş, prizmatik olmayan Euler-Bernoulli tipi, serbest ucundan tekil kuvvete maruz, ankastre kirişlerdeki büyük yer değiştirmeler ve eksenel gerilemeler incelenmiştir. Üç farklı derecelendirme doğrultusunda, dört farklı malzeme kompozisyonu ve dört farklı kiriş geometrisi göz önüne alınarak hem mekanik hem de boyutsal parametrelerin etkileri değerlendirilmiştir. Oldukça karmaşık doğrusal olmayan ilişkiler barındıran bu problemin çözümünde öncelikle kinematik ilişkiler tanımlanmıştır. Bu bağlamda Euler-Bernoulli kiriş teoremindeki temel kabullerden yararlanılmıştır. Daha sonra yatay eksen üzerinde mesh oluşturulmuştur. Ardından statik denge şartları göz önüne alınarak iç kuvvetler ve moment dengesinden, gerekli yönetici denklemler türetilmiştir. Türetilen bu denge denklemleri integral formundan olup ancak belirli bir yere kadar kapalı formda çözülebilmektedir. İçerdiği bazı terimlerin analitik olarak çözülmesi mümkün olmadığından bu terimler kompozit Simpson kuralından faydalanılarak seri formda açılmıştır. Böylece denge denklemlerine nümerik integrasyon metodu ile yakınsanmıştır. Sonuçta, üç bilinmeyenli (eğrilik yarıçapı, tarafsız eksenin düşeydeki konumu ve serbest ucun yataydaki yer değiştirmesi) iki adet doğrusal olmayan denklemden oluşan cebirsel denklem sistemi elde edilmiştir. Elde edilen bu denklem serbest ucun yataydaki yer değiştirmesine tahmini bir başlangıç değeri tanımlandıktan sonra Trust-region dog-leg optimizasyon metodu kullanılarak yaklaşık olarak çözülmüş ve neticede denklemin iki bilinmeyeni, yani kirişin eğrilik yarıçapı ve tarafsız eksenin düşeydeki konumu bulunmuştur. Kirişin eğrilik yarıçapı ve tarafsız eksenin düşeydeki konumu bulunduktan sonra eğriliği ifade eden tam diferansiyel denklem, eğilmiş kirişin tarafsız ekseninin kartezyen koordinatlara göre pozisyonunu hesaplamak için 4. derece Runge-Kutta metodu ile nümerik olarak çözülmüştür. Kirişin eğrilik yarıçapı bir uçtan diğer uca sürekli değişim gösterdiği için analitik yöntem yerine nümerik yöntem kullanılarak mesh'i oluşturan her bir noktada tarafız eksenin pozisyonu hesaplanmıştır. Eş zamanlı olarak Trapezoidal metodundan faydalanıp tarafız eksenin, sabit uçtan itibaren her bir noktaya kadar yay uzunluğu yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Hesaplanan yay uzunluğu kirişin başlangıç uzunluğundan kabul edilebilir aralıktan daha yüksek bir seviyede farklı ise serbest ucun yataydaki yer değiştirmesi için yapılan tahmin yenilenerek hesaplamalar tekrar yapılır. Hesaplanan yay uzunluğu ile kiriş uzunluğu arasındaki fark kabul edilebilir seviyeye indiğinde hesaplamalar sonlandırılır. Tüm bu işlemleri gerçekleştirmek için oluşturulan algoritma MATLAB yazılımında programlanmıştır. Programlanan algoritma ile analizlere başlamadan önce literatürde yer alan görece daha az karmaşık problemlerin çözümü gerçekleştirilerek beş aşamalı doğrulama gerçekleştirilmiştir. Bu problemlerin ilkinde Ludwick tipi doğrusal olmayan homojen bir kirişteki büyük yer değiştirmeler hesaplanmıştır. Elde edilen sonuçlar, referans sonuçlar ile kıyaslandığında aradaki farkın kabul edilebilir aralıkta olduğu görülmüştür. Daha sonra Ludwick tipi doğrusal olmayan çift modüllü homojen bir ankastre kirişteki büyük yer değiştirmeler hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar literatürde yer alan referans çalışmanın sonuçları ile karşılaştırıldığında yine kabul edilebilir yakınlıkta oldukları görülmüştür. Ardından eksenel doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş ankastre kirişteki büyük yer değiştirmeler hesaplanmış ve referans değere olan kabul edilebilir yakınlığı görülmüştür. Sonrasında, düşey doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş ankastre kirişteki büyük yer değiştirmeler hesaplanmış ve yine referans değerler ile kabul edilebilir derecede fark görülmüştür. Son olarak, Ludwick tipi doğrusal olmayan, düşey doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş ankastre kiriş problemi çözülmüş ve büyük yer değiştirmelerin yanı sıra eksenel gerilmeler de literatürdeki örnek ile kıyaslanarak algoritma çok yönlü olarak değerlendirilmiştir. Tüm bu analizlerden elde edilen sonuçlar, sunulan algoritmanın, tasarlanan orijinal problemleri kabul edilebilir yakınlıkta çözebileceğini göstermiştir. Önerilen algoritma çok yönlü olarak doğrulandıktan sonra, kiriş kesitindeki eksenel gerilme dağılımının kiriş boyunca değişiminde malzeme kompozisyonunun ve malzemenin mekanik özelliklerinin etkisi incelenmiştir. Literatürde önemli bir eksik olarak yer alan bu çalışmada çarpıcı sonuçlar elde edilmiştir. Gerilme dağılımının değişiminde malzemenin etkisi incelendikten sonra özgün problemlerin incelenmesine geçilmiştir. Önerilen algoritma kullanılarak çözülen problemlerden ilki eksenel doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş, genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan, çift modüllü Euler-Bernoulli tipi ankastre bir kirişin eğilme problemidir. Kirişteki hem büyük yer değiştirmeler hem de eksenel gerilmeler hesaplanmıştır. Hesaplamalarda malzeme kompozisyonunun etkisini görebilmek için dört farklı kompozisyon göz önüne alınmıştır. Ayrıca kiriş geometrisinin etkisini gözlemlemek için de dört farklı geometri analiz edilmiştir. Göz önünde bulundurulan koşullar altında elde edilen sonuçlar, kiriş geometrisinin etkisinin diğer parametrelerin etkilerine nazaran çok daha yüksek olduğunu göstermiştir. Özellikle eksenel gerilmelerin dağılımları kiriş geometrisine bağlı olarak radikal biçimde değişmektedir. Ayrıca kirişlerin eğilme davranışları da geometriden önemli derecede etkilenmektedir. Diğer bir etken olan malzeme kompozisyonun etkisi ise daha minimal düzeyde gözlemlenmektedir. Ancak değişen kiriş geometrisinin, malzeme kompozisyonundaki değişimin etkisini de değiştirdiği görülmüştür. Malzemenin eksenel doğrultuda değişimi söz konusu olduğunda, eğer malzeme doğrusal olmayan, çift modüllü karakteristiğe sahipse, gözlemlenen en çarpıcı sonuç, maksimum gerilmeler ile minimum gerilmelerin kirişin farklı kesitlerinde meydana geldiğidir. Malzeme kompozisyonuna bağlı olarak maksimum ve minimum gerilmelerin konumu sabit uca daha yakın veya daha uzak olabilmektedir. Önerilen algoritma kullanılarak incelenen diğer bir kiriş probleminde ise öncekinden farklı olarak malzeme düşey doğrultuda değişmektedir. Malzemenin düşey doğrultudaki değişiminin oluşturduğu en büyük fark eksenel gerilmelerin dağılımında görülmüştür. Yatay doğrultudaki değişimde maksimum gerilmeler tüm koşullar altında, kirişin üst ve alt yüzeylerinde meydana gelirken, düşey doğrultudaki değişimde maksimum gerilmeler kirişin iç kısımlarında da görülebilmektedir. Kiriş geometrisi, gerilme dağılımının eksenel doğrultudaki değişiminde önemli bir etkiye sahipken, kiriş kesiti içerisindeki değişimine etki etmediği görülmüştür. Düşey doğrultuda derecelendirmenin en büyük etkisi, kesit içerisindeki gerilme dağılımının radikal bir şekilde değişmesi ile ortaya çıkmıştır. Son olarak, geliştirilen algoritma ile iki doğrultuda, eksenel ve düşey, fonksiyonel derecelendirilmiş ankastre kiriş incelenmiştir. Bu kirişin eğilme davranışında eksenel doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş kirişin eğilme davranışıyla büyük benzerlikler görülmüştür. Özellikle gerilme dağılımları oldukça benzerdir. Düşey doğrultudaki malzeme değişimi ise kendini kirişin serbest ucuna doğru gösterdiğinden gerilme dağılımları üzerindeki etkisi çok fazla gözlemlenememiştir. Bununla birlikte yer değiştirmelerde önemli derecede etkili olduğu görülmüştür. Tüm bu analizlerde malzemenin genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan gerilme-birim şekil değiştirme ilişkisi ve çekme ile basmada farklı özellikler gösteriyor olması çarpıcı sonuçlar ortaya çıkarmıştır. Özellikle eksenel doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerde maksimum ve minimum gerilme dağılımlarının farklı kesitlerde meydana geliyor olması bu çarpıcı sonuçlardan biridir. Önerilen algoritma ile ankastre kirişlerde yapılan analizlerden sonra ticari yazılım olan ABAQUS kullanılarak sonlu elemanlar simülasyonu ile genelleştirilmiş Ludwick tipi doğrusal olmayan elastik, çift modüllü, fonksiyonel derecelendirilmiş kirişler farklı sınır koşulları ve yükleme türleri altında incelenmiştir. Literatürde FDM kirişleri sonlu elemanlar simülasyonu ile inceleyen az sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmalarda FDM kirişler katmanlı yapılar olarak gerçeğine yakınsamaktadır. Ancak incelenen hiçbir çalışmada doğrusal olmayan malzemeli FDM kirişler için optimum katman sayısına yönelik bir araştırma görülmemiştir. Dolayısı ile sonlu elemanlar simülasyonlarına optimum katman sayısını bulabilecek çalışma ile başlanmıştır. Doğrusal olmayan malzeme Marlow'un hiperelastisite teorisinden faydalanılarak modellenmiştir. Tasarlanan hiperelastik model öncelikle Ludwick tipi homojen kirişte test edilmiş ve elde edilen sonuçlar literatürde yer alan sonuçlar ile kıyaslanmıştır. Sonuçlardaki tutarlılık gözlemlendikten sonra Ludwick tipi düşey doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş kiriş çeşitli sayılarda katmanlar ile modellenerek incelenmiştir. Daha sonra genelleştirilmiş Ludwick tipi düşey doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş ankastre kirişteki çökmeler ve gerilme dağılımı incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar değerlendirildiğinde düşey doğrultu için 20 adet katmanın Euler-Bernoulli tipi FDM bir kirişi modellemek için yeterli olacağı sonucuna varılmıştır. Son olarak genelleştirilmiş Ludwick tipi iki doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş kirişteki büyük yer değiştirmeler analiz edilmiş ve 20×20 adet katmanın iki doğrultuda derecelendirmeyi yeterli yakınlıkta simüle edebileceği görülmüştür. Fonksiyonel derecelendirilmiş kirişler için optimum katman sayısı belirlendikten sonra yatay, düşey ve her iki doğrultuda fonksiyonel derecelendirilmiş, genelleştirilmiş Ludwick tipi, çift modüllü ankastre kirişler serbest uçtan etkiyen tekil yük altında incelenmiştir. Ayrıca aynı problem MATLAB'da programlanan algoritma ile de çözülmüş ve sonuçlar hem büyük yer değiştirmeler hem de eksenel gerilmeler açısından kıyaslanmıştır. Elde edilen sonuçların benzerliği hem sonlu elemanlar modelinin hem de geliştirilen algoritmanın tutarlı sonuçlar verdiğini göstermiştir. Ankastre kirişte elde edilen gerilme sonuçlarını etkileyen en önemli faktör sabit uçtaki gerilmelerde görülen tekilliktir. Bu tekillik doğru değerlendirilmediği takdirde sonucu önemli ölçüde değiştirmektedir. Bu çalışmada tekilliğin nasıl eleneceği belirtilmiştir. Son olarak sonlu elemanlar modeli oluşturulan bu kirişler, üst yüzeyinden yayılı yük etkiyen basit mesnetli kirişler olarak yeniden modellenerek sınır koşullarının etkisi incelenmiştir. Basit mesnetli kirişte gözlemlenen en önemli fark, maksimum ve minimum gerilmelerin kirişin ortasına yakın bir bölümde meydana gelmesidir. Çökmenin kirişin tam ortasında meydana gelmemesi ise kiriş yüksekliğinin bir uçtan diğer uca değişim göstermesinden kaynaklanmaktadır. Çalışmada elde edilen sonuçlar FDM kirişteki büyük yer değiştirmelerin ve eksenel gerilmelerin önemli ölçüde kiriş geometrisine bağlı olduğunu göstermiştir. Bunun yanı sıra malzeme kompozisyonun da sonuçlar üzerinde önemli etkisi bulunmaktadır. Çalışmadan çıkarılacak en önemli sonuç, fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler kullanılarak kirişlerin eğilme davranışları, tasarımcının ihtiyacına yönelik olarak önemli ölçüde değiştirilebilir.
Özet (Çeviri)
The use of functionally graded materials (FGMs) is increasing thanks to recent development in manufacturing technologies. FGMs are considered a members of composites families in which material properties vary depending on a specific function through a desired direction. The variation of the material property could be one-dimensional (1D), two-dimensional (2D), or three-dimensional (3D). However, this study examines axial, transverse, and bi-directional material compositions. Moreover, the large deflection of beams made of non-linearly elastic, generalized (or modified) Ludwick type of materials and FGMs have received considerable critical attention in recent years. Generalized Ludwick's constitutive law, an empirical equation derived from Hooke's law, defines the constitutive relation of non-linearly elastic materials. In addition, bi-modulus materials are the materials that respond differently in tension and compression due to having different Young's moduli in tension and compression. Large deflections of generalized Ludwick type non-linearly elastic, bi-modulus, functionally graded, non-prismatic, Euler-Bernoulli cantilever beams subjected to a concentrated force at the free end are examined numerically in this study. First, kinematic relations of the problem are derived depending on the Euler-Bernoulli beam theory considering the fundamental assumptions. Furthermore, the governing equations are defined concerning the internal actions. Then a mesh is assigned to the horizontal axis. After that, the derived equations are solved analytically until some point since some parts contain integrals that do not have closed-form solutions. In that case, composite Simpson's rule as a numerical integration technique has been applied to extend the equations with no closed-form solutions approximately. As a result, a system of non-linear equations consisting of two non-linear algebraic equations with three unknowns i.e., the radius of curvature, vertical position of the neutral axis (the axis in which the fibers neither compressed nor stretched, in other words the axis where the axial stress is zero) at an arbitrary point, and horizontal deflections at the free end, are obtained. Then, the obtained system is approximately solved by the Trust-region-dog-leg optimization algorithm for the two unknowns by assigning an initial guess for horizontal deflections. After obtaining the unknowns, the exact curvature differential equation has been solved to find the deflected position of the neutral axis approximately by a numerical differentiation technique called fourth-order Runge-Kutta method since the curvature varies through the neutral axis. Moreover, the arc length calculations have also been completed numerically by the Trapezoidal rule. Although Simpson's rule is a more robust method, the Trapezoidal rule has been applied due to the fact that the Trapezoidal rule can be applied in any number of sub-intervals. When the equations are completely solved by numerical methods, the calculated arc length is compared with the initial length of the beam. If the difference is higher than the acceptable range, the initial guess for horizontal deflection is renewed, and the equations are solved with respect to the new guess. This procedure continues until the difference between the calculated arc length and the beam's length is in the acceptable range. Finally, in order to utilize the approximation techniques, an algorithm is developed and programmed by commercial software MATLAB. The proposed algorithm is verified with a multi-perspective approach by analyzing the models examined in different studies by different researchers. For this purpose, five different bending problem is analyzed. The results show that the proposed algorithm is capable of solving the bending problems of non-linearly elastic, bi-modulus, non-prismatic, functionally graded Euler-Bernoulli beams. Once the proposed algorithm has been validated, a comprehensive study is carried out to investigate the axial stress distribution within the cross-sections of the beam. The existing literature lacks sufficient information regarding the axial stress distribution across the entire structure. Therefore, particular attention is given to examining the variation of stress distribution along the longitudinal direction Following the comprehensive study of the axial stress distribution, the original problems are investigated, focusing on the influence of both the beam's geometry and material composition. Specifically, four distinct geometries and four different material compositions are taken into account, considering three different gradation directions. The initial focus of the study is on axially functionally graded, bi-modulus beams. The investigation includes an analysis of horizontal deflections, vertical deflections, end rotations, and axial stress distributions. The obtained results highlight the significant influence of dimensional parameters, which define the beam's height, on the deflections and stress distributions. It is observed that any variation in the beam's height leads to a distinct response to changes in the material composition. Furthermore, the effects of utilizing generalized Ludwick type bi-modulus material are evident in the positions of the maximum and minimum axial stresses. The material's behavior in tension and compression, characterized by different Young's moduli, contributes to the distribution of axial stresses within the beam. Subsequently, transversely functionally graded bi-modulus beams are investigated. Similar to the findings in axial gradation, the dimensional parameters continue to exert the most significant influence on the bending behavior of the beams. However, a notable difference is observed in the axial stress distribution for transverse gradation. Unlike in axial gradation, where the maximum or minimum stresses are typically located at the top or bottom of the beam, the distribution of stresses in transverse gradation can exhibit a different pattern. In certain cases, the maximum or minimum stresses may occur inside the beam rather than at the top or bottom surfaces. Finally, the study focuses on bi-directional functionally graded bi-modulus beams. The findings indicate that the variation of the material composition along the axial direction has a more pronounced effect compared to the transverse direction. The bending behavior of the bi-directional functionally graded beam exhibits similarities to that of an axially graded beam, suggesting that the axial composition variation plays a dominant role in determining the beam's response. These results highlight the importance of considering the specific directionality of the material composition when analyzing the behavior of bi-directional functionally graded bi-modulus beams. Following the numerical studies conducted using the proposed algorithm, finite element simulations using the commercial software ABAQUS are performed. While previous studies in the literature have presented finite element models as laminated structures, the specific influence of the number of laminae on the vertical and horizontal deflections of the beam in the finite element analysis (FEA) remains unknown. Hence, the present study initially focuses on investigating the large deflections of a cantilever beam, made of non-linearly elastic, generalized Ludwick type material, under various loading conditions using FEA. In the FEA analysis, the direction-dependent material properties of the functionally graded material and the non-linearity arising from the generalized Ludwick's law are combined by employing Marlow's material model. The results demonstrate that the gradient function and the number of laminae exert significant effects on the distribution of normal stresses along the horizontal axis, as well as the vertical and horizontal deflections of the beam. Consequently, this study aims to determine the optimal number of laminae through a comprehensive analysis of these factors. Upon establishing the optimal number of laminae, further analysis is conducted on beams with fixed-free boundary conditions, subjected to a concentrated vertical force at the free end. The results obtained from this analysis are then compared with those obtained using the proposed algorithm. The similarities observed in the results validate the capability of both methods in solving the deflection problems of functionally graded (FG) beams. Moreover, the agreement extends beyond deflections, encompassing the axial stress distributions as well. However, it is essential to exercise caution when evaluating the effects of stress singularities. While the overall results demonstrate consistency, the presence of stress singularities necessitates careful examination to ensure accurate and reliable interpretation. In the final stage of the study, beams with pinned-roller boundary conditions and subjected to uniformly distributed loads are investigated. Unlike the fixed-free boundary conditions, stress singularities are less pronounced in the pinned-roller boundary conditions. The study focuses on evaluating the effects of the material composition on the deflections and axial stress distributions. The findings indicate that the maximum deflections occur in the case of bi-directional gradation. However, the maximum tensions are observed in the axial gradation, while the maximum compressions occur in the bi-directional gradation. These results highlight the influence of the material composition on the bending behavior and stress distribution within the beams under pinned-roller boundary conditions. The study reveals that the deflections and axial stress distributions of the beams are strongly influenced by the geometric parameters. However, the material composition also plays a significant role and should not be overlooked. The findings indicate that both the proposed algorithm and finite element modeling techniques are effective in analyzing and solving the bending behavior of generalized Ludwick type non-linearly elastic, bi-modulus functionally graded Euler-Bernoulli beams. This suggests that both methods can provide reliable results for such beam structures.
Benzer Tezler
- Building response to ground movements induced by tunnelling and excavation
Tünel ve şaft kazılarından kaynaklanan zemin hareketleri karşısında binaların davranışı
KORHAN DENİZ DALGIÇ
Doktora
İngilizce
2018
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALPER İLKİ
- Kirişlerdeki büyük yer değiştirmeler üzerine bazı yeni çözümler
Some new solutions on large deflections of beams
İBRAHİM EREN
Doktora
Türkçe
2006
Makine MühendisliğiYıldız Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. UĞUR GÜVEN
- Gemi kirişinin nihai mukavemetinin tayini
Determination of ultimate strength of the ship girder
GÖKHAN TANSEL TAYYAR
Doktora
Türkçe
2011
Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGemi İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ERTEKİN BAYRAKTARKATAL
- Düzlem içi kuvvetler etkisindeki dikdörtgen ortotrop plakların düzlem içi ve düzlem dışı titreşimleri
In-plane and out-of-plane vibrations of rectangular orthotropic plates under the effect of in-plane loading
ÜMİT UZMAN
- Experimental and nonlinear analytical study of expanded metal meshes
Başlık çevirisi yok
Z.İLHAN ÖLÇER