4-boyutlu manifoldlar üzerinde bazı özel tensör alanları
Some special tensor fields on 4-dimensional manifolds
- Tez No: 872138
- Danışmanlar: DOÇ. DR. BAHAR KIRIK RÁCZ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Marmara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 105
Özet
Bu tezin amacı, 4-boyutlu manifoldlar üzerinde bazı özel tensör alanlarının araştırılması ve söz konusu tensör alanlarının çeşitli geometrik ve fiziksel özelliklerinin tespit edilmesidir. Çalışma; giriş, materyal ve yöntem, bulgular ve tartışma, sonuçlar olmak üzere dört ana başlık altında toplanmıştır. Tezin birinci bölümünde, çalışmanın kapsamıyla alakalı literatür kısmı incelenmiş ve bazı temel tanımlara yer verilmiştir. Bu hususta, araştırmada göz önüne alınan 4-boyutlu manifoldlar ve metrik işaretleri, özel tensör alanları, dolanım teorisi gibi kavramların ortaya çıkışı ve günümüze kadar olan bilimsel gelişimi açıklanmıştır. Bununla birlikte, tezin ön bilgileri verilerek, çalışmada kullanılan özel vektör alanlarının tanımları da bu kısımda sunulmuştur. Çalışmanın ikinci bölümü olan materyal ve yöntem kısmında, 4-boyutlu pozitif tanımlı ve Lorentz metrik işaretli manifoldlar göz önüne alınarak, öncelikle manifoldun teğet uzayının bazları tanımlanmıştır. Bununla birlikte, Lorentz metrik işaret üzerine yoğunlaşılarak ikinci mertebeden, simetrik tensör alanlarının Jordan-Segre sınıflandırması hakkında bilgiler verilmiştir. Daha sonra, bivektör olarak isimlendirilen ikinci mertebeden, ters-simetrik tensör alanlarının söz konusu metrik işaretteki sınıflandırılması sunulmuştur. Son olarak, tez çalışmasında dolanım teorisindeki tekniklerden faydalanılacağından, ilgili teori ve varolan dolanım tipleri 4-boyutlu pozitif tanımlı ve Lorentz metrik işaretli manifoldlar üzerinde ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, tez çalışmasında elde edilen bulgular sunularak çeşitli örnekler verilmiştir. Bu kapsamda, bazı özel Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bahsi geçen manifoldların çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Daha açık olarak, Z-reküran ve zayıf Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmış ve bu manifoldların özel vektör alanları içermesi durumunda birtakım teoremler ispatlanmıştır. Söz konusu incelemede, uzay-zamanlar üzerinde uygulamalara yoğunlaşılmış ve dolanım teorisiyle bağlantıları tespit edilmiştir. Öte yandan, Z-tensörünün simetriler ve Ricci solitonlarla ilişkisi de araştırılıp bazı sonuçlar bulunmuştur. Z-tensörüyle alakalı incelemelere ek olarak, Schouten ve Cotton tensörleri de bu bölümde ele alınmış ve uzay-zamanlarla alakalı analizler yapılmıştır. Bunlara ek olarak, ilgili tensör alanlarının, 4-boyutlu Lorentz metrik işaretli manifoldların dolanım teorisindeki bazı temsilleri de irdelenmiştir. Son olarak, bu çalışmanın dördüncü bölümünde tezin sonuçları özetlenmiştir. Ayrıca, çalışma boyunca yapılan analizlerin ileride yol açabileceği araştırmalar üzerine öngörülerde de bulunulmuştur.
Özet (Çeviri)
The aim of this study is to investigate some special tensor fields on 4-dimensional manifolds and to determine various geometric and physical properties of these tensor fields. The study is collected under four main headings: introduction, material and method, findings and discussion, and results. In the first part of the thesis, the literature related to the scope of the study is examined and some basic definitions are included. In this regard, the emergence of concepts such as 4-dimensional manifolds and metric signatures, special tensor fields, and holonomy theory, which are considered in the research, and their scientific development until today are explained. On the other hand, preliminary information of the thesis is given and the definitions of the special vector fields used in the study are also presented in this section. In the second part of the study, which is the material and method section, the bases of the tangent space of the manifold are first defined by considering 4-dimensional manifolds admitting Lorentz or positive definite metric signatures. In addition, information is given about the Jordan-Segre classification of second-order symmetric tensor fields, focusing on the Lorentz metric signature. Then, the classification of second order skew-symmetric tensor fields, referred to as bivectors, in the metric signatures in question is presented. Finally, since the techniques in holonomy theory will be used in this thesis, the relevant theory and the known holonomy types are discussed on 4-dimensional manifolds admitting a metric of positive definite or Lorentz signature. In the third chapter, the findings obtained in this thesis are presented and several examples are given. In this context, some special Z-symmetric manifolds are examined and various properties of the aforementioned manifolds are obtained. More specifically, Z-recurrent and weakly Z-symmetric manifolds are considered, and a number of theorems are proved in case these manifolds contain special vector fields. In this investigation, applications on space-times are focused on and connections with holonomy theory are identified. On the other hand, the relationship of the Z-tensor with symmetries and Ricci solitons is also investigated and some results are found. Apart from the studies related to the Z-tensor, Schouten and Cotton tensors are also discussed in this section and analyses related to space-times are made. In addition, some representations of the relevant tensor fields in the holonomy theory of 4-dimensional Lorentzian manifolds are also examined. Finally, in the fourth part of this study, the results of the thesis are summarized. In addition, predictions are made on the research that analyses done throughout the study may lead to in the future.
Benzer Tezler
- Bazı özel manifoldlar üzerinde vektör alanları
Vector fields on some special manifolds
BAHAR KIRIK
Doktora
Türkçe
2016
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FÜSUN ÖZEN ZENGİN
- Z-simetrik manifoldlar
Z-symmetric manifolds
AYŞE YAVUZ TAŞCI
Doktora
Türkçe
2020
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FÜSUN ZENGİN
- Özel yarı-Einstein manifoldları
Special quasi Einstein manifolds
SİNEM GÜLER
Doktora
Türkçe
2018
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SEZGİN ALTAY DEMİRBAĞ
- Hemen hemen hermitian metrik pseudo f-manifoldlarının bazı özellikleri ve walker 4-manifoldları üzerinde bazı uygulamaları
Some properties of almost hermitian metric pseudo f-manifolds and some applications on walker 4-manifolds
ELİF ÇETİNKAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikErzurum Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SİBEL TURANLI
- Curvature conditions on semi-riemannian manifolds
Semi-riemannian manifoldların eğrilik koşulları
İNCİHAN TUNA
Yüksek Lisans
İngilizce
2004
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. ZERRİN ŞENTÜRK