Optimization of structures in the frequency domain

Yapıların frekans uzayında optimizasyonu

PDF İndir

Tez No: 887631
Yazar: ALİYYE KARA
Danışmanlar: PROF. DR. ATA MUĞAN, PROF. DR. İBRAHİM EKSİN
Tez Türü: Doktora
Konular: Makine Mühendisliği, Mechanical Engineering
Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
Yıl: 2024
Dil: İngilizce
Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
Ana Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Bilim Dalı
Sayfa Sayısı: 219

Özet

Frekans uzayı yaklaşımı, özellikle rastsal yüklemelere maruz kalan yapıların analiz edilmesinde ve sistem dinamiklerinin incelenmesinde hesaplama zamanı bakımından zaman uzayı yaklaşımına kıyasla üstünlük sağlamaktadır. Ayrıca yapı ya da sistemin serbestlik derecesi arttıkça frekans uzayı yaklaşımı, sistemin frekansa bağlı dinamik karakteristiklerinin ifade edilmesinde kolaylık sağlamaktadır. Bu nedenle son yıllarda, yapıların tasarımı ve analizi artan bir ilgi ile frekans uzayında gerçekleştirilmektedir. Ancak frekans uzayında elde edilen sonuçların fiziksel dünyaya ve zaman uzayına uygulanabilirliği konusunda sorun yaşanabildiğinden, frekans uzayında yapılan çalışma sonuçlarının zaman uzayında yapılan çalışmalarla doğrulanmasına ihtiyaç duyulabilmektedir. Öte yandan, son yıllarda frekans uzayında kolaylıkla karakterize edilebilen rastsal yüklemeler altında yapının ömür ve dayanımının, tasarımın önemli bir unsuru haline gelmesi nedeniyle, frekans uzayı yaklaşımı optimizasyon çalışmalarında sıklıkla başvurulan bir yaklaşım haline gelmiştir. Bu tez çalışması kapsamında yapısal optimizasyon, frekans uzayı yaklaşımı ile ele alınmış olup literatürde işaret edilen sayısal kararsızlık gibi yapısal optimizasyon sorunlarına çözüm aranmıştır. Bu çerçevede Nevanlinna-Pick (NP) interpolasyon teorisinden faydalanılarak optimizasyon problemlerinin formülasyonuna bir kısıt eklemek suretiyle yeni bir yaklaşım geliştirilmiştir. NP interpolasyon teorisi, iki karmaşık (kompleks) düzlem arasında bir eşleme fonksiyonunun varlığı, eşleme yapılacak düzlemlere göre tanımı değişebilen bir Pick matrisin pozitif tanımlılığına bağlı olduğunu belirtir. Buna göre, sistemin belirli frekanslardaki karmaşık (kompleks) bir fonksiyon olan cevabı, türevinin genliğinden bağımsız olamaz. Bu matematiksel sav, fiziksel bir gerçekliğe karşılık gelir ki bu da fiziksel sistemlerin çıktı enerjisinin girdi enerjisinden büyük olamayacağı anlamına gelen disipativitedir. Bu bağlamda, transfer fonksiyonu aracılığıyla hesaplanan uyarı frekans aralığı veya ilgilenilen frekans aralığı ile sistem cevabının karmaşık değerleri arasında NP interpolasyonunun bir çeşidi olan Boundary-Nevanlinna-Pick (B-NP) interpolasyonu kurulabilir. Başka bir deyişle, yapısal sistemin transfer fonksiyonu, NP interpolasyon teoreminin haritalama fonksiyonu (yani interpolant) olarak tasarlanmıştır; ilgilenilen frekans aralıkları ve karşılık gelen cevap değerleri ise haritalanacak alanlar (domain) içerisinde yer almaktadır. Bu nedenle, fiziksel bir sistemin frekans cevabı çeşitli ayrık frekanslarda keyfi olarak şekillendirilemez. Buradan hareketle, ilgili frekansa karşılık gelen Pick matrisin pozitif tanımlılık koşulu, doğrusal olmayan bir kısıt denklemi şeklinde optimizasyon problemine dahil edilebilir. Böylece B-NP kısıtı kılavuzluğunda, uygun tasarım uzayı belirlenebilir. Fiziksel bir sistemin frekans cevabını optimize ederken, NP interpolasyon teorisini göz ardı etmek, sayısal kararsızlığa ve optimizasyon algoritmasının fiziksel olarak gerçekleştirilemeyecek yapı ve topolojiler bulmasına yol açabilir. Bir yapısal optimizasyon probleminde, yapısal denklemler doğrusal olsa bile doğal frekanslar, titreşim genlikleri, yorulma hasarı ve mukavemet sınırı nedeniyle uygulanacak kısıtlamalar, problemi doğrusal olmayan bir optimizasyon problemine dönüştürebilmektedir. Bu da problemin çözümünü zorlaştırmaktadır. Bu bağlamda fiziksel dünyada sonuçların alınabileceği uygun bölgelerin (feasible space) B-NP kısıtı yardımıyla belirlenerek frekans alanındaki optimizasyon yeteneğinin arttırılması beklenmektedir. Bu amaçla frekans uzayında yapısal optimizasyonda interpolasyon teoreminden yararlanılması daha önce başvurulmamış bir yaklaşımdır. Belirtilen çerçevede, tez çalışmasının, B-NP interpolasyon teorisinden türetilen kısıtları dikkate almasının frekans uzayında yapısal optimizasyon konusunda verimli bir tartışmaya yol açması beklenmektedir. Ayrıca, B-NP interpolasyon teorisinden türetilen kısıtların optimizasyon esnasında iterasyonun yönünü ve adımlarını etkileyerek frekans uzayının verimli bir şekilde taranmasına yardımcı olması beklenmektedir. Çalışmada öncelikli olarak, B-NP kısıtının frekans uzayındaki yapısal optimizasyona dahil edilmesinin sınırları ve imkanı sayısal uygulamalarla araştırılmıştır. Pick matrisin pozitif tanımlığının, frekans vektörüne rezonans frekansı ve civarındaki frekansların dahil edilmesiyle bozulabilmesi nedeniyle, frekans aralığı oluşturulurken rezonans frekanslarının özel bir dikkat ile ele alınması gerektiği belirlenmiştir. Ek olarak, Pick matrisi oluşturan frekans vektörü için seçilen ayrık frekansların, başka bir deyişle frekans adım büyüklüğünün pozitif tanımlılığa etkisi irdelenmiştir. B-NP enterpolasyon teorisinin pozitif tanımlılık şartının kullanılması, kullanılmadığı duruma göre optimizasyon sonuçlarında bazı farklılıklara yol açması beklense de, bu farklılıkların derecesi birçok faktörden etkilenebilir. Bu nedenle, B-NP kısıtının uygulanabilirliğini ve olası üstünlüklerini değerlendirmek amacıyla, çeşitli amaç fonksiyonları ve kısıtlar altında optimizasyon sürecinin farklı yönleri ve sonuçları dikkate alınmıştır. Basitten karmaşığa farklı sistem ve yapılar (tek serbestlik dereceli kütle-yay-sönüm sistemi, 5 serbestlik dereceli araç süspansiyon modeli, kafes sistem ve kiriş), farklı maliyet fonksiyonu türleri (tek ve çok amaçlı), çeşitli optimizasyon algoritmaları (IPM, PSO ve BB-BC) ve farklı sayıda tasarım değişkenine sahip problemler B-NP interpolasyonunun pozitif tanımlılık koşulu kullanıldığında, optimizasyon sonuçlarındaki olası değişiklikleri gözlemlemek amacıyla modellenmiştir. Ayrıca elde edilen optimum sistemlerin zaman uzayındaki cevapları ve karakteristikleri de incelenmiştir. Tezde kullanılan örnek optimizasyon problemlerinde minimize edilmesi amaçlanan maliyet fonksiyonları, çeşitli çalışmalarda etkisiz olduğuna işaret edilmiş olan geleneksel uyum (compliance) minimizasyonu yerine, transfer fonksiyonun kazançlarının ve transfer fonksiyonun türevinin büyüklüklerinin seçilen frekanslardaki toplamı olacak şekilde tasarlanmıştır. Bununla birlikte, NP interpolasyon teorisi dolayısıyla, bir yapının frekans cevabı ve frekans cevabının türevi keyfi olamaz; belirli kısıtları karşılaması gerekir. Ayrıca tez kapsamında incelenen optimizasyon problemlerinde frekans uzayı yorulma indeksleri bir maliyet fonksiyonu olarak tanımlanarak gerilme değerleri en aza indirilmeye çalışılmıştır. B-NP kısıtının çözüme etkisi, optimizasyon problemlerinin B-NP kısıtı ile ve B-NP kısıtı olmadan elde edilen çözümlerin CPU zamanı, toplam maliyet fonksiyonu, zaman uzayı ve frekans uzayında cevap karakteristikleri gibi çeşitli yönlerden karşılaştırılması yoluyla incelenmiştir. Çalışmanın ilk çıktılarından biri, frekans yanıtı ile yanıt türevinin genliklerinin toplamını içeren bir maliyet fonksiyonunun belirlenmesinin zaman uzayındaki frekans cevabının minimize edilmesinde daha etkili bir yaklaşım olduğunun gözlemlenmesidir. Öyle ki problemin amaç fonksiyonu frekans yanıtı ile yanıt türevinin genliklerinin toplamı olarak tanımlandığında, darbe (impulse) fonksiyonu şeklinde bir uyarana verilen cevabın ve zaman içerisindeki sürekli rejim (steady-state) cevabının daha hızlı sönümlendiği gözlemlenmiştir. Bu, yapısal optimizasyonda sıklıkla kullanılan geleneksel dinamik uyumluluk (compliance) minimizasyonuna bir alternatif olabilir. Bu durumun olası bir açıklaması, zaman uzayı yanıtları ile frekans uzayı yanıtları arasında analitik ilişkiler türetilerek yapılmıştır. Zaman uzayındaki darbe ve sürekli rejim cevabının doğrudan transfer fonksiyonunun büyüklüğü (transfer fonksiyonu kazancı) ile olan ilişkisi mevcut analitik denklemlere dayandırılırken, zaman içerisindeki darbe ve sürekli rejim cevabının transfer fonksiyonunun türevinin büyüklüğü ile ilişkisi bu tez kapsamında temellendirilmiştir. Analitik denklemleri çıkarılan bu olgu, tek serbestlik dereceli kütle-yay-sönüm elemanı ve 5-serbestlik dereceli araç süspansiyon sisteminin optimizasyonu ile elde edilen optimal sistemlerin zaman uzayındaki cevaplarının incelendiği sayısal örnekler ile desteklemiştir. Ek olarak geçici cevap için türetilen bağıntılar ile, zaman içindeki geçici cevabın hem transfer fonksiyonunun kazancıyla hem de transfer fonksiyonunun türevinin büyüklüğü ile ilişkisi olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bazı optimizasyon problemlerinde B-NP kısıtının dikkate alınmasının, maliyet fonksiyonuna ve optimizasyon çözüm algoritmasına bağlı olarak görece daha küçük maliyet fonksiyonlarının elde edilmesini sağladığı gözlemlenmiştir. Kafes sistem optimizasyonu ve topoloji optimizasyonu örneklerinde, özellikle yorulma hasarı minimizasyonu mevcut ise, daha düzgün (smooth) bir yakınsamanın söz konusu olduğu görülmüştür. Öte yandan, topoloji optimizasyonu probleminde, B-NP kısıtının kullanılmadığı durumlarda büyük ölçekte yakınsama zorlukları gözlemlenmiştir. Ayrıca Pareto-optimal topoloji sonuçları, amaç fonksiyonları üzerinden incelendiğinde ise B-NP kısıtı kullanılmadan elde edilen sonuçlar bir kriter uzayında, (criterion space) B-NP kullanılarak elde edilen sonuçlara kıyasla daha fazla saçılım sergilemiştir. Özetle, frekans uzayındaki bir yapısal optimizasyon probleminde, B-NP kısıtı, bir yapının cevabının ve türev genliğinin keyfi olamayacağı göz önüne alındığında, fiziksel olarak gerçekleştirilebilir tasarım uzayını belirleyerek optimizasyon sürecine rehberlik eder. Elde edilen sonuçlar, sistemin karmaşıklığı arttıkça B-NP kısıtını kullanmanın sağladığı faydanın daha belirgin hale geldiğini göstermiştir. Ayrıca, amaç fonksiyonunun ve optimizasyon algoritmasının türüne bağlı olarak B-NP kısıtının etkinliği değişebilmektedir. İleriki çalışmalarda, türetilen analitik bağıntılar üzerinde çalışılıp geliştirilerek geçici (transient) zaman cevabının iyileştirilmesi konusunda uygulamalar yapılabilir. Ayrıca, B-NP kısıtının topoloji optimizasyon problemlerinde kullanılması ile elde edilen yakınsama eğilimlerinin şartlarının ve kapsamının belirlenmesi gerekmektedir. Böylece yapısal optimizasyonda sıklıkla karşılaşılan sayısal kararsızlık ve B-NP kısıtı özelinde daha ayrıntılı bir çalışma ortaya konabilir. Model Derecesi Azaltma (Model Order Reduction) yöntemleri kullanılarak özellikle yüksek serbestlik dereceli problemlerde CPU süresi kısaltılabilir. Ayrıca, B-NP kısıtı, kontrolör performansının ulaşılabilir sınırlarını araştırmak için yapıların ve kontrolörlerinin eş zamanlı optimizasyonunda kullanılabilir. Son olarak, B-NP kısıtlı problemlerin PSO ile çözüldüğünde farklı sonuçlar elde edildiği göz önüne alınırsa, B-NP'nin PSO'nun sürü topolojisi (swarm-topology) üzerindeki etkisi incelenebilir

Özet (Çeviri)

The frequency-domain approach has been gaining great popularity over the last decades owing to the advantages it provides considering computational time and assessment of system dynamics, especially under random excitations. Nevertheless, the results achieved in the frequency domain might be difficult to apply to the physical world. On the other hand, the frequency-domain approach is getting attention in structural optimization studies. In this thesis study, structural optimization has been discussed with the frequency-domain approach, and solutions to structural optimization problems (e. g. numerical instabilities) mentioned in the literature were investigated. For this purpose, a novel constraint, which is adapted from the Nevanlinna-Pick (NP) interpolation theory, was imposed on the optimization problem. The NP interpolation theory states that the existence of a mapping function between two complex domains is contingent upon the positive definiteness of the Pick matrix. Particularly, the response of a system, which is a complex function, cannot have an independent amplitude from its derivative amplitude at certain frequency values. This mathematical theorem corresponds to a physical fact, the dissipativity of systems. In this context, Boundary Nevanlinna-Pick (B-NP) interpolation, which is a variant of NP interpolation, was set between the excitation frequency interval (or the frequency range of interest) and the complex values of the system response, which are computed through the transfer function. In other words, the transfer function was designed as a sort of mapping function (i.e., interpolant) in the NP interpolation theorem, while the frequency ranges of interest and the response values are the domains to be mapped. Hence, one cannot shape a physical system's frequency response arbitrarily at discrete frequencies. Consequently, the associated Pick matrix was formed, and its positive definiteness condition can be incorporated into the optimization problem as a non-linear constraint. In this way, a feasible design space was determined under the guidance of the B-NP constraint. When optimizing a physical system's frequency response, disregarding the NP interpolation theory may lead to numerical instability and impractical solutions. Even if the structural equations are linear, the constraints to be imposed due to natural frequencies, vibration amplitudes, fatigue damage, and stress limits transform the optimization problem into a nonlinear optimization problem in the frequency domain. Hence, achieving the optimal solutions becomes challenging, especially in the frequency domain. In this context, it is expected that the optimization capability in the frequency domain will be increased by determining the feasible regions where the results are achievable in the physical world with the help of the B-NP constraint. This goal will be achieved with the help of an interpolation method that has not been used before in any structural optimization study in the frequency domain. Furthermore, it is expected that employing constraints derived from B-NP interpolation theory leads to an efficient exploration of the frequency domain by affecting the direction and steps of the iterations during optimization. First of all, the numerical limitations of incorporating B-NP constraint into a structural optimization in the frequency domain were investigated. It has been discovered that resonance frequencies should be handled with special attention on account of the positive definiteness of the Pick matrix changes. Another implementation consideration is the selection of the transfer function from which the Pick matrix will be formed. The Pick matrix can be formed either for only one transfer function, which the designer is interested in, or several transfer functions, if the system to be optimized is multi-input-multi-output. The effect of using more than one transfer function was tested via a 5-DOF vehicle suspension model. It was concluded that instead of using all transfer functions, using transfer functions related to the output of interest is more practical in terms of computational time. Furthermore, using all transfer functions may result in infeasible solutions as the optimization does not converge. Although it is expected to obtain some differences in the outcomes of the optimization process when the positive definiteness condition of the B-NP interpolation is used as a constraint in an optimization problem, several factors may affect the magnitude of these differences. Therefore, different aspects of the optimization process and results were taken into account in light of particular objectives and constraints in order to assess the applicability and possible advantages of incorporating B-NP constraint. Systems with various complexities (single degree-of-freedom mass-spring-damper system, half model of vehicle suspension, truss and beam structures), distinct types of cost functions (single-objective and multi-objective), several optimization algorithms (interior point method, particle swarm optimization, and big-bang big-crunch) and problems with the different number of design variables were studied in order to observe the possible variations in the outcomes of optimization process when positive definiteness condition of B-NP interpolation is utilized. The cost functions, which were aimed to minimize sample optimization problems within the thesis, included the amplitude of a structure response and its derivative instead of employing conventional compliance minimization, which is reported as ineffective in several studies. Nevertheless, due to the NP interpolation equations, the frequency response amplitude of a structure and its derivative can not be arbitrary and have to meet certain conditions. Furthermore, stress levels were attempted to be minimized by defining frequency-domain fatigue indices as an objective function in several optimization problems. The effect of the B-NP constraint on the solution was examined by comparing the solutions of optimization problems with and without the B-NP constraint in various aspects such as CPU time, total cost function, and response characteristics in the time domain and frequency domain. One of the side outcomes of the study was that setting up a cost function that includes the sum of the frequency response amplitude (transfer function gain) and the response derivative (roll-rate) amplitude is a more effective approach to minimizing the frequency response in the time domain. So much so that when the objective function of the optimization problem is defined as the sum of the frequency response amplitudes and the response derivative amplitudes, it has been observed that the response to an impulse excitation and the steady-state response over time decay faster. This can be an alternative to conventional dynamic or complex compliance minimization. A possible explanation for this situation has been provided by deriving analytical relationships between time-domain responses and frequency-domain responses. While the relationship between the steady-state response in time and the magnitude of the transfer function (transfer function gain) is based on existing analytical equations, the relationship between the time-weighted steady-state response, impulse response, and transient response with the magnitude of the derivative of the transfer function was developed within this thesis. This phenomenon, whose analytical equations have been derived, was supported by numerical examples in which the time domain responses of the optimal systems obtained by optimizing the SDOF mass-spring-damper element and the 5-DOF vehicle suspension system were examined. Moreover, it has been observed that considering the B-NP constraint resulted in relatively smaller optimum cost functions in certain types of optimization problems depending on cost function, and optimization solution algorithm. Furthermore, smoother convergency was discovered in the optimization solution process of truss sizing optimization and topology optimization examples, particularly in the existence of fatigue damage minimization. On the other hand, significant convergence difficulties were observed in topology optimization problems, especially when the B-NP constraint was not used. In addition, when the Pareto-optimal topology results were examined through objective functions, the results obtained without using the B-NP constraint showed more scatter in criterion space compared to the results obtained using B-NP. In sum, imposing B-NP constraint in a structural optimization problem in the frequency domain guides to optimization process within the physically realizable design space considering that the response of a structure and its derivative amplitude cannot be arbitrary. Obtained results demonstrated that as the complexity of the system increases the benefit of using B-NP constraints becomes more apparent. Besides, performance metrics, which depend on the objective function type, and type of optimization algorithm are significant to the effectiveness of B-NP constraint. In the future, the derived analytical relations may be developed and implemented to resolve transient time response problems. Moreover, the conditions and scope of the convergence properties obtained by using the B-NP constraint in topology optimization problems need to be further investigated. Thus, a more detailed study can be carried out specifically on numerical instability and B-NP constraint, which are frequently encountered in structural optimization. CPU time can be reduced by utilizing model order reduction (MOR) methods. Furthermore, the B-NP constraint can be utilized in the simultaneous optimization of structures and their controllers to investigate the achievable bounds of controller performance. Finally, the effect of B-NP on the swarm topology of PSO can be examined.

Benzer Tezler

Tez No
863629
Uçak modal parametrelerinin uçuş esnasında takibi için operasyonel modal analiz kullanılması
Operational modal analysis for tracking aircraft modal parameters in flight
METİN KÖKEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
Havacılık ve Uzay Mühendisliği İstanbul Teknik Üniversitesi
Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ERDİNÇ ALTUĞ
Tez No
535984
Eyleyici doyumlu çift tank sıvı seviye kontrol sistemi için bernsteın polinomları tabanlı kompanzatör tasarımı
Bernstein polynomials based compensator design for actuator saturated coupled tank level control system
BUSE TACAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Yıldız Teknik Üniversitesi
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ LEVENT UCUN
Tez No
455371
A vibration-based damage detection algorithm for bridge type structures
Köprü tipi yapılar için titreşim tabanlı bir hasar tespit algoritması
AHMED AL-QAYYIM
Doktora
İngilizce
2017
İnşaat Mühendisliği İstanbul Teknik Üniversitesi
İnşaat Yapı ve Altyapı Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. BARLAS ÖZDEN ÇAĞLAYAN
Tez No
690566
Dynamic characterization and optimization of additively manufactured tpms lattice structures
Katmanlı üretilen tpms kafes yapılarının dinamik karakterizasyonu ve optimizasyonu
UĞUR ŞİMŞEK
Doktora
İngilizce
2021
Makine Mühendisliği Özyeğin Üniversitesi
Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. POLAT ŞENDUR
Tez No
785568
Evolutionary topology optimization of a folding missile wing for stiffness and frequency
Katlanır bir füze kanadının direngenlik ve frekans için evrimsel topoloji optimizasyonu
ATA ÜRÜN
Yüksek Lisans
İngilizce
2023
Havacılık ve Uzay Mühendisliği Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Havacılık ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MELİN ŞAHİN
DOÇ. DR. ERCAN GÜRSES

Geri Dön