Improving performance of low order robust controllers for parametric uncertain systems
Parametrik belirsiz sistemler için düşük derece dayanıklı kontrolörlerin performansının geliştirilmesi
- Tez No: 887646
- Danışmanlar: PROF. DR. MEHMET TURAN SÖYLEMEZ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Elektrik ve Elektronik Mühendisliği, Computer Engineering and Computer Science and Control, Electrical and Electronics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 141
Özet
Kontrol sistem tasarımı için kararlılık, referans takibi ve bozucu bastırma özellikle kuramsal tasarım açısından oldukça önemlidir. Kararlılık doğası gereği çoğu açık çevrim sistemde bulunan bir nitelik iken, kontrolör tasarımında kapalı çevrim için dikkat edilmesi gereken bir kavram olmaktadır. Uygulamada bir kapalı çevrimden sadece kararlı olması yani en genel anlamda, sınırlı giriş uygulandığında çıkışında yine sınırlı bir çıkış gözlemlenmesi beklenir. Ama kararlılığın yanı sıra, referans takibi de önemli isterlerden birisidir. Kapalı çevrime uygulanan basamak, rampa, sinüzoidal vb. girişlerin takibi referans takip problemi olarak adlandırılmaktadır. Pratik dünyada bozucu ve gürültü kavramları göz ardı edilemez. Bu sebeple, olası bozucuların bastırılması ve gürültülerin ise zayıflatılması kontrolör tasarımında dikkat edilmesi gereken konular arasındadır. Klasik kontrolörler olarak adlandırılan, P, PI, PD, PID ve PI-PD kontrolörlerinden P ve PD kontrolörler tip sıfır sistemler için kararlı kılma özelliğine sahipken, integral elemanı olan PI, PID ve PI-PD kontrolörler referans takip problemi için tercih sebebidir. Burada referans takibi basamak tipi girişler için geçerlidir. Referans takibi özelliği integral elemanınından gelmektedir ve integral elemanının varlığı sürekli halde bozucu bastırmada da oldukça önemli rol oynamaktadır. Bu sebeple, pratikte PID tipi kontrolörler uzun yıllardır tercih edilmektedir. Referans takip sistemlerinde çok yaygın bir tasarım yöntemi baskın kutup atama yöntemidir. Baskın kutup olacak şekilde bir karmaşık kutup çifti seçimi yükselme zamanı, oturma zamanı ve aşım gibi zaman tanım bölgesi isterlerine dayanarak yapılır. Bu kutup çifti ile ikinci deredecen bir polinom oluşturur. Kapalı çevrim transfer fonksiyonu paydası için bir model olarak seçilen bu kutup çifti ya da ikinci dereceden polinom, kapalı çevrim transfer fonksiyonu derecesi ikiden yüksek olması durumunda gerçel kısmı 5-10 kattan fazla olacak şekilde, yada bir başka deyişle, baskın bölgeden uzakta olacak şekilde yeni kutuplar veya kutup çiftleri eklenerek genişletilir. Baskın kutup atama yöntemini tercih sebebi yapan ikinci dereceden sistemlerin zaman tanım bölgesi formüllerinin biliniyor olmasıdır. Zaman tanım bölgesi isterlerinden aşımın sıfır aşım olarak seçilmesi durumunda ikinci dereceden sistemlerin formülleri geçerliliğini yitirmekte ve dahası sıfır aşıma karşı düşen kutup veya polinom seçenekleri bire bir olmamaktadır. Yani tekil bir çözüm yoktur ve bu durum derecenin ikiden büyük olduğu durumlarda da geçerlidir. Eğer birinci dereceden bir kapalı çevrim söz konusu ise o zaman kutbun konumu zaman tanım bölgesi isterlerini doğrudan seçilebilir hale getirmektedir. Baskın kutup atama yönteminde sıfır aşım ile hedeflenen sistemler kritik veya aşırı sönümlü sistemlerdir. Bu sistemler için yerleşme zamanı ifadesi literatürde yer almaktadır, fakat yöntemin kullanılabilmesi için gereken bir yerleşme zamanına karşın kutupların karmaşık düzlemde dağılımının nasıl olması gerektiğinin bilinmesidir ve literatürdeki çalışmalarda görüldüğü kadarıyla bu ilişkiden daha çok yinelemeli veya doğrusal olmayan formüller türetilmiştir. Bu durumdan ötürü, kutup dağılımı ve yerleşme zamanı ilişkisi ortaya atılmıştır. Kontrolör tasarımına yönelik örnekler de beraberinde verilmiştir. Çalışmada sıfır aşım hedeflenmektedir, fakat belirli bir sistem derecesi verilmediğinden ve önerilen yöntemin alçak geçiren filtre benzetimine dayanması aşımın tamamen sıfırlandığı anlamına gelmemektedir. Bu sebeple düşük/sıfır aşım ifadesi kullanılmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden sıfır olmayan bir kapalı çevrimde önerilen yöntem en fazla yüzde $4.32$ aşıma sebep olurken, üçüncü dereceden sıfırı olmayan bir kapalı çevrimde bu değer en fazla yüzde $8$ olmaktadır. Yüksek dereceli sistemler ve sıfırı olan sistemler için aşımın kuramsal bir analizi oldukça zor olduğundan, çoğunlukla sıfır aşım da olsa düşük ibaresinin eklenmesi gerekmiştir. Düşük veya sıfır aşım için tercih edilen en yaygın yöntemlerden bir diğeri de karakteristik oran atamadır. Baskın kutup atama yönteminde olduğu gibi bir polinomu doğrudan seçmekten ziyade, polinomun katsayıları üzerinden hesaplanan karakteristik oranlar kullanılmaktadır. Bu karakteristik oranlar da genellikle bilinen filtre yapılarından veya polinomlarından yola çıkılarak elde edilmektedir. Karakteristik oranlar seçildiyse, bir kapalı çevrime uygulamak için yüksek dereceli bir kontrolör veya bir RST yapısına ihtiyaç duyulmaktadır. Bununla birlikte, yüksek dereceli kontrolör genellikle kendiliğinden bir integratör içermez. Bu integratör eksikliği aşılabilmektedir, fakat RST yapısında kapalı çevrim transfer fonksiyonunda istenmeyen etkileri giderecek veya referans takibini sağlayacak kutup-sıfır götürmesi içeren bir önfiltre kullanılmaktadır ve bu kullanım geleneksek bir geri besleme yapısına göre dezavantajlıdır. Karakteristik oran atama eğer bahsi geçen yüksek dereceli kontrolör ve kutup-sıfır götürmesi göz ardı edilirse, karakteristik oranlardan polinom katsayılarına geçişte sistemin aşımı belirlenmişken diğer zaman tanım bölgesi değişkenleri zaman sabiti ile rahatlıkla ayarlanabilmektedir. Bu avantajın korunabilmesi için yüksek dereceli kontrolör şarttır. Karakteristik oran atama yöntemi temelde Bode genlik grafiğindeki kritik frekansların ve bu frekansların oranlarının hesabına dayanmaktadır. Bu oranlar ile birlikte, artan frekansa karşılık Bode genlik eğrisinin monoton azalan olması için gereken koşullar karakteristik oranlar ile ifade edilmektedir. Bunun için genel şartlar verilebilirken bu oranlar bir filtre üzerinden de hesaplanabilmektedir. Karakteristik oran atamanın da temeli olan Bode genlik eğrisinin artan frekansa karşılık monoton azalan olması azami yassılık(maximally flatness) olarak adlandırılmaktadır. Buradan yola çıkarak bu çalışmada görülmüştür ki, kapalı çevrim transfer fonksiyonunun karesel genliği, ya da güç genliği, kullanılarak düşük/sıfır aşım için gereken koşullar elde edilebilmektedir. İkinci dereceden sıfır olmayan bir kapalı çevrim ele alındığında karakteristik oran 2 olmak üzere karakteristik oran atama yöntemi ile aynı koşullar elde edilmektedir. Yüksek dereceler için elde edilen koşullarda karakteristik oran atama yönteminden daha karmaşık ifadelere ulaşılmaktadır. Bir kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normunun bir olması için gereken koşullar araştırıldığında önerilen yöntemde kullanılan koşulların ortaya çıktığı görülmüştür. Bu durumla birlikte, sonsuz normunun bir olması ile aşım arasındaki bağlantı da araştırılmıştır. Burada asıl katkı, sıfırı olan sistemler ve birçok pratik sistem modeli olarak kullanılan FOPDT ve SOPDT sistemler için güç genliği üzerinden düşük/sıfır aşım için eşitsizliklerin elde edilmesidir. Burada ifadeler doğrusal olmayan yapıda olabilmektedir. FOPDT sistemler için PI kontrolör tasarlanmak istendiğinde ve sistemdeki ölü zaman ifadesi yerine birinici dereceden Pad\'e yaklaşıklığı kullanıldığında eşitsizlikler doğrusal olmakla birlikte, bir başlangıç noktası ve buna karşılık bir başlangıç kontrolörü elde edilmektedir. Bunun sebebi, eşitsizliklerin bir parametre uzayında olası tasarımlar kümesine karşılık düşmesi ve bir eniyileme probleminin tanımlanabilmesidir. Bu basitlik, bir SOPDT sistem için PI-PD kontrolör tasarımında ikinci dereceden Pad\'e yaklaşıklığı kullanımı durumunda söz konusu değildir. Ortaya atılan kontrolör tasarımına dair en iyileme problemleri doğrusal olmayan çözücüler ile çözülmektedir. FOPDT sistemler için PI kontrolör tasarımında elde edilen başlangıç kontrolörü kararlılığı garanti etmemektedir. Bunun sebebi ne karakteristik oran atamada ne de çalışmada elde edilen yöntemde kararlılık garanti edilmemesindendir. Önerilen yöntem kapalı çevrimin frekans yanıtının genliğinin karesini, diğer bir deyişle frekans yanıtının güç genliğini incelediğinden, kapalı çevrim faz grafiği dikkate alınmadığından kararlı çözümler vaat etmemektedir. Karakteristik oran yaklaşımından farklı olarak PI ve PI-PD kontrolör tasarlanmaktadır. Bu durum yüksek dereceli kontrolör veya RST yapısında kutup sıfır götürmesi içeren ön filtre ihtiyacını ortadan kaldırmıştır. Fakat, önerilen yöntem aşımı düşük veya sıfır yapacak seçimlerde bulunurken diğer zaman tanım bölgesi isterleri için dolaylı bir tasarım yolu izlemektedir. Zaman tanım bölgesi isterlerine kapalı çevrimin hızlandırılması ve yavaşlatılması olarak yaklaşılmaktadır ve bu durum kapalı çevrim karakteristik polinomun kutuplarının karmaşık düzlemde sola veya sağa ötelenmesi ile ayarlanmaktadır. Önerilen eşitsizliklerin karakteristik oranlar ile olan denkliği kapalı çevrim karakteristik polinom katsayılarının pozitif olması şartına bağlıdır, ki bu şart kararlılık gerek koşuludur. Bu durumda çalışmada önerilen eşitsizlikler incelendiğinde genel bir yapının olduğu, bir karesel terim ile iki adet terimler toplam veya farkı şeklinde olduğu görülmektedir. Parametrik belirsizlik içeren bir polinom ele alındığında, bu yapıdan yola çıkarak, düşük/sıfır aşım kriterinin tüm parametrik belirsizlik uzayında sağlanıp sağlanmadığını eşitsizlikleri bu sürekli ve çok boyutlu uzayda incelemek yerine, çalışmada önerilen her bir eşitsizliğin ayrık bir uç noktada sağlanmasının gerek ve yeter olduğudur. Burada, eşitsizlikler bir“ve”işlemine tabii olduğundan bu uç nokta kolaylıkla elde edilebilmektedir. Bu durum, dayanıklı kontrolör tasarımına imkan tanımıştır. Çalışmada tasarlanan FOPDT için PI ve SOPDT için PI-PD kontrolörler için dayanıklı kontrolör tasarımı da önerilmiştir. Burada dikkat gerektiren konu, kararlılık gerek şarttan gelen ve karakteristik oran atama ile denk düşmesi için eklenen polinom katsayılarının pozitifliğinin eklenmiş olmasıdır. Bu durum ölü zaman için kullanılan Pad\'e yaklaşıklığı ile kapalı çevrim sıfır polinomunda bozulmaktadır, çünkü yaklaşıklığın derecesine göre sağ yarı düzlem sıfır ve sıfır çiftleri eklenmekte ve bu ise polinom işaretlerinin bazılarının negatif olmasına sebep olmaktadır. Bu durum için çalışmada mutlak değer kullanılarak olası en uç koşul eşitsizlikte aranmış ve tasarım önerilmiştir.
Özet (Çeviri)
The classical control problem deals with the design of closed-loop systems that are stable with fixed controller structure, the P, PI and PID type controllers. In addition to stability, reference tracking, noise attenuation and disturbance rejection can be addressed during the controller design. One of the popular design methods for reference tracking is the dominant pole placement method. The time domain specifications are adjusted based on a second-order polynomial and additional poles out of the dominant region, the region of the poles of the second-order polynomial, are added to the polynomial. The polynomial is then equated to the characteristic polynomial of the closed-loop transfer function. In the end, it is desired to end up in a dominant pole pair to dominate the behavior of the closed-loop system. For the dominant pole placement method, a certain settling time and overshoot value are chosen according to the application and based on these a complex pole pair or in other words the second-order polynomial is defined. For closed-loop systems with zero overshoot, the formulae used during the dominant pole placement method lose their validity, since the damping ratio is greater than or equal to one. The damping ratio for zero overshoot is an inequality that implies that there are multiple solutions. The damping ratio inequality defines the family of critically and over-damped all-pole systems. The settling time of such systems is investigated in the literature, however, most are only for analysis purposes. To be able to synthesize controllers, it is necessary to be able to choose a settling time value and convert this information into some pole locations on the s-domain. Since most of the work uses iterative models, a new method for this“inverse”relation between settling time and poles is proposed. The model proposed is developed for over-damped systems up to order three, but it has been mentioned that for higher-order systems the precision of the model loses significance. Several examples of controller synthesis are provided. A different approach is the characteristic ratio assignment method, which uses the coefficients of the polynomial to calculate the ratios instead of using the poles directly. The characteristic ratios are chosen based on filters with known characteristics so that the designed closed-loop system has the same properties. A common choice is the Butterworth filter for low overshoot characteristics. Hence, the problem encountered during the dominant pole placement is solved, but at the cost of losing the ability to fix the structure of the controller. Since, the CRA method designs controllers equal to the order of the plant, resulting in a closed-loop system twice the order of the plant. This is not desirable considering the practical world. Another loss is the lack of the integrator in the controller in the feedforward path, where because of it the reference tracking is less robust. The CRA method is based on the maximally-flatness property of a system, which uses the frequency domain Bode gain to come up with low overshoot step responses. This work combines the aforementioned design methods, by choosing classical controllers and the maximally-flatness property of the CRA method. The closed-loop transfer function is calculated with the chosen classical controller and the gain of the closed-loop transfer function is computed in the frequency domain. The magnitude square, also called the power gain, of the closed-loop system is obtained and a direct low-pass inequality is stated, which results in inequalities that for low-degree systems resemble the characteristic ratios. These inequalities then are used to ensure low or even zero overshoot. Due to the difficulty of assessing the overshoot of high-order systems, the resulting overshoot is called low or zero. From numerical studies, it is observed that most of the designs prohibit zero overshoot. It has been shown that using the inequalities obtained by setting the power gain of a transfer function less than or equal to one and setting the infinity norm of a transfer function equal to one are strongly connected. Thanks to this connection, the term“low or zero overshoot”for first and second-order transfer functions is calculated. It has been proposed that inequalities arising by setting the power gain to less than or equal to one or setting the infinity norm equal to one can be used to enforce low or zero overshoot. Based on this a design approach is given where the controller is a PI or PI-PD controller, the plant is a FOPDT or SOPDT plant and based on the closed-loop the inequalities are added to design such a controller. Since the FOPDT and SOPDT plants include delay in their models, the Pad\'e approximation method is used during the design steps. The Pad\'e approximation method substitutes the nonlinear delay term with a set of zeros in the right-half-plane and poles in the left-half-plane. The design conditions are obtained as inequalities and introducing interval-type uncertain parameters with lower and upper bounds results in a robust design problem that can be simplified by checking specific corner points instead of the whole uncertain family. A theorem is stated for this reduction, which simplifies the robust design problem, significantly. The optimization problems for robust PI controller design for FOPDT and robust PI-PD controller design for SOPDT systems are stated. Some numerical case studies are given to back up the optimization problems. The unique aspect of this work is summed up as follows; \begin{itemize} \item inequalities from polynomial coefficients are produced based on maximally-flatness properties, which is more powerful than CRA since it takes zeros into account \item a general formula is worked out for the inequalities \item nominal low-order controllers are designed with characteristic-ratio-like inequalities \item the structure of the proposed inequalities is exploited and a reduction theorem is proposed for plants with uncertainty \item based on the proposed theorem robust controller design problem is stated \item a settling time model for critically and over-damped systems is proposed \item it has been shown that the proposed settling time model can be used to determine the locations of the poles with prefixed settling time \end{itemize} During this work a settling time model for over-damped systems is proposed which can be used to determine the settling time by plugging in the poles and to determine the locations of the poles by choosing a prefixed settling time. It has been shown that it is possible to design controllers with the proposed settling time. It has been observed that using the maximally-flatness approach in order to get low or zero overshoot design or setting the H infinity norm of the closed-loop equal to one produce the same conditions. Using these conditions it is possible to get low or zero overshoot. Due to the structural advantage of the proposed inequalities a theorem that reduces the complexity of evaluating and ensuring that the inequalities hold for every point in the uncertainty space is proposed. Both nominal and robust PI and PI-PD controller design for FOPDT and SOPDT systems is stated.
Benzer Tezler
- Güç sistemlerinin kararlılığı için senkron generatörün uyartımının kayma kipli kontrolü
Sliding mode excitation control of synchronous generator for power systems stability
MUSTAFA NALBANTOĞLU
Doktora
Türkçe
2009
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiFırat ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. AHMET ORHAN
- Matkap uçlarının Ark PVD ile Tin kaplanmasında proses parametrelerinin Taguchi metodları ile optimizasyonu
Başlık çevirisi yok
ÖZGÜL KELEŞ
- Elektrikli araçlar için asenkron makinelerde rotor oluk geometrilerinin uzay harmonik ve işletme başarımı üzerine etkilerinin tespitine katkılar
Contributions to determine the effects of different rotor slot geometries on space harmonics and performance in induction machines for electric vehicles
ABDULSAMED LORDOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektrik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ DERYA AHMET KOCABAŞ
- İnsansı robotların tüm vücut kinematik ve dinamik modellenmesi ve kontrolü
Whole body kinematic and dynamic model and control of humanoid robots
EMRE SARIYILDIZ
Doktora
Türkçe
2016
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HAKAN TEMELTAŞ
- Passive realizations of series elastic actuation: effects of plant and controller dynamics on performance and passivity of haptic rendering
Seri elastik eyleme için pasif gerçekleştirilmeler: kontrolcü ve sistem dinamiğinin haptik geri-beslemenin pasifliğine ve performansına etkileri
CELAL UMUT KENANOĞLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Mekatronik MühendisliğiSabancı ÜniversitesiMekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. VOLKAN PATOĞLU