Geri Dön

Factional calculus-based modeling of mechanical systems: A case study on inverted pendulum dynamics

Mekanik sistemlerin kesirli matematik tabanlı modellemesi: Ters sarkaç dinamiği örneği

PDF İndir

  1. Tez No: 894744
  2. Yazar: ESRA DEMİR
  3. Danışmanlar: PROF. DR. İBRAHİM OZKOL
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Uçak Mühendisliği, Aeronautical Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2023
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Uçak ve Uzay Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 135

Özet

Bir sistemin davranışının matematik modelinin elde edilmesi ve uygun çözüm yöntemleri kullanılarak bu modellerin çözülmesi mühendisler açısından oldukça önemlidir. Bu sayede, bu sistem henüz üretilmeden önce simülasyon ortamında test edilebilir ve sistemin gereksinimleri karşılayıp karşılamadığı kontrol edilebilir. Aynı zamanda modellenen sistemin parametreleri değiştirilerek performans iyileştirmeleri yapılabilir. Bir uçak, otomobil veya helikopter için yapılan modeller ise, bu sistemin kullanıcıları için bir eğitim ortamı oluşturabilir. Bu sebeplerden ötürü, sistemin matematik modelinin gerçeğe en yakın sonuçları verecek şekilde elde edilmesi önemli bir gerekliliktir. Bu amaçla, matematik modellerin elde edilmesinde farklı bir yöntem olarak Kesirli Matematik kullanımı bir seçenek olarak ortaya çıkar. Kesirli matematik tam sayılı türevlerin yanında kesirli, kompleks mertebeden türev ve integralle ilgilenen bir matematik dalıdır. Bu matematik kullanılarak, klasik yöntemler ile elde edilen tam sayılı türevler içeren matematik modeller yerine, kesirli mertebeden türevler içeren matematik modeller elde edilir. Kesirli türevlerin ise Riemann-Liouville, Caputo vb. gibi birkaç çeşidi vardır. Modelleme için uygun olanı seçilerek denklemler elde edilmelidir. Kesirli matematikle ilgili bahsedilenler başlık 2'de verilmiştir. Bu başlıkta öncelikle kesirli matematiğin ortaya çıkışı, nasıl gösterildiği ve klasik tam sayılı türev ile kesirli türev arasındaki ilişki açıklanmıştır. Buna ek olarak, kesirli türev tipleri de kısaca verilmiş ve bu türev ile integrallerin hesaplanmasında kullanılan özel fonksiyonlar anlatılmıştır. Başlık 3'de ise sistem modellemesi hakkında bilgi verilmiştir. Bir sistemin hareket denklemlerinin elde edilmesinde kullanılan klasik yöntemlerden en çok kullanılanları Newton ve Lagrange mekaniğidir. Newton mekaniği, matematik modelin elde edilmesinde sisteme etkiyen kuvvet ve momentlerin analizini yapar. Serbest cisim diyagramı kullanarak bu dış kuvvet ve momentleri belirler ve denklemlerde yerine koyarak çözüm sağlar. Bu yöntem, basit sistemler için oldukça kolaydır. Ancak, üzerine etkiyen kuvvet ve momentlerin belirlenmesinin oldukça zor olduğu karmaşık sistemlerde Newton mekaniği yerine Lagrange mekaniği tercih edilir. Çünkü, Lagrange mekaniği sistemlerin hareket denklemlerini elde ederken sistemin toplam kinetik ve potansiyel enerjisini kullanır. Toplam kinetik enerjiden toplam potansiyel enerjiyi çıkararak Lagrangian ifadesi elde edilir ve Euler-Lagrange denkleminde bu ifade yerine konularak hareket denklemlerine ulaşılır. Bu iki yöntem kullanılarak elde edilen denklemler tam sayılı türevler içerirler. Kesirli matematik modellerin elde edilmesi için ise farklı yöntemler mevcuttur. Kesirli Euler-Lagrange denklemi (FELE) bu yöntemlerden biridir. Bu denklem sayesinde, sistemlerin enerji denklemlerini kesirli elde etmek gibi bir yaklaşıma girmeden, klasik yöntemdeki Lagrangian ifadesi kullanılarak hesaplama yapılır. Klasik Lagrangian'daki türevlerin yerine, bu türevlerin“Kesirli Türev”karşılıkları yazılarak Kesirli Lagrangian elde edilir. FELE kullanılarak ise kesirli hareket denklemlerine ulaşılır. Bahsedilen bu konular doğrultusunda başlık 3'de öncelikle klasik modelleme için kullanılan 2 yöntem olan Newton mekaniği ile Lagrange mekaniğinin denklemleri verilmiştir. Ardından, kesirli modelleme yapabilmek için kullanılan FELE açıklanmış ve formülleri verilmiştir. Bahsedilen bu yöntemlerin de uygulamasını göstermek için 4 rotorlu hava aracının modellemesi yapılmıştır. Öncelikle hareket denklemleri Newton mekaniği kullanılarak elde edilmiş, sonrasında aynı denklemlere Lagrange mekaniği kullanılarak ulaşılmıştır. Ayrıca, literatürde hatalı olarak verilen, rotasyon içeren hareket denklemlerinin elde edilişindeki yanlışlıklar, bu başlıkta düzeltilmiştir. Son olarak ise, FELE kullanılarak 4 rotorlu sistem için kesirli hareket denklemlerine ulaşılmıştır. Burada önemli olan konu ise, kesirli modellemede kullanılacak kesirli türev tipinin seçimidir. Bir mekanik sistemin modellemesinde en önemli öncelik başlangıç ve sınır şartlarının sisteme eklenmesidir. Bu sebeple, başlangıç şartlarının fiziksel olarak yorumlanabilir şekilde denklemlere entegre edilmesi için Caputo ve Caputo-Fabrizio kesirli türevleri tercih edilebilir. Denklemlerin çözümlerinde tekilliğin de önüne geçebilmek için modellemelerde Caputo-Fabrizio kesirli türevi kullanılması tercih edilmiştir. Denklemlerin elde edilmesinin ardından ise bu denklemlerin yüksek doğrulukta sonuç verecek şekilde çözülmesi gerekir. Bu sebeple uygun çözüm yöntemi belirlenmelidir. Bu çözüm yöntemleri analitik veya nümerik olabilir. Analitik çözüm yöntemleri, denklemlerin tam sonucunu verir ve sistemin çözümünü zamana bağlı fonksiyonlar ile ortaya koyar. Bu sayede elde edilen fonksiyonların türevi ve integrali alınabilir. Bu avantajın yanında, çözümlerin sistem karmaşıklaştıkça zorlaşması ve daha uzun sürmesi de dezavantajıdır. Bu sebeple, lineer olmayan oldukça karmaşık sistemler için nümerik çözüm yöntemleri tercih edilebilir. Nümerik yöntemler ise, denklemlerin yaklaşık çözümlerini ortaya koyar ve çoğunlukla analitik yöntemlerden daha hızlı sonuç verirler. Bu sebeple, eğer ki yeterli hassasiyet değeri ile çözümler yapılırsa, mühendislik açısından uygun denebilecek sonuçlar elde edilir. Bunların yanında yarı-analitik nümerik çözüm yöntemleri de bulunmaktadır. Bu yöntemlerde ise, sistemin incelendiği süre belli bir zaman adımına bölünerek, her zaman adımı için analitik çözüm yapılarak sonuçlar elde edilir. Bahsedilenler doğrultusunda başlık 4'de analitik, nümerik ve yarı-analitik nümerik yöntemlerden bahsedilmiştir. Öncelikle, klasik modelin çözümü için güçlü bir analitik yöntem olan diferansiyel dönüşüm yöntemi verilmiş ve örnek olması için ikili sarkaç sistemine uygulanmıştır. Sonuçların gerçek değerlerden ıraksaması sebebi ile bu yöntemin zamana bağlı sistemler için uygun olmadığı görülmüştür. Ardından bu yöntemin geliştirilmiş hali olan çok adımlı diferansiyel dönüşüm yöntemi aynı sisteme uygulanmıştır. Aynı zamanda sistem, güçlü bir nümerik çözüm yöntemi olan Runge-Kutta (RK) ile çözülmüş ve iki sonucun birbiri ile tutarlı olduğu görülmüştür. Ancak çözüm süresinin çok uzun olduğu da önemli bir çıktıdır. Başlık 4'de aynı zamanda kesirli modelin çözümü için de matris yaklaşımını kullanan nümerik bir yöntem üzerinde durulmuştur. Kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü oldukça karmaşık olduğu için analitik çözüm yerin nümerik çözüm tercih edilmiştir. Aynı zamanda çok adımlı yöntemlerin kesirli diferansiyel denklemlerde kullanılamaması, bu denklemlerin analitik çözümünü kısıtlayan önemli bir faktördür. Son olarak ise, başlık 5'de, bahsedilen tüm bu yöntemler bir ters sarkaç sistemine uygulanmıştır. Ters sarkaç lineer olmayan 2 diferansiyel denklem ile modellenen ve salınımlı davranış içeren bir sistemdir. Öncelikle, bu sistemin enerji denklemleri elde edilmiş, ardından Lagrange mekaniği kullanılarak klasik hareket denklemlerine ulaşılmıştır. Bu denklemler ise DTM, MsDTM ve RK yöntemleri ile çözülmüş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. DTM sonuçlarının oldukça saptığı ancak MsDTM'in RK ile aynı sonuçları verdiği görülmüştür. Ardından bu sistemin kesirli hareket denklemleri elde edilmiş ve matris yaklaşımı ile nümerik denklemlere ulaşılmıştır. Elde edilen denklemler ise farklı kesirli mertebeler için çözülmüş ve sonuçlar tezde verilmiştir. Buradaki önemli olan konu ise, hangi mertebeden kesirli türevin, sistemin gerçek modelini vereceğinin bilinmemesidir. Bu sebeple farklı mertebeler denenerek grafiklere ulaşılmıştır. Hangi değerin doğru olduğunun tespiti için ise deneysel veriler gereklidir.

Özet (Çeviri)

Obtaining the mathematical model of a system's behavior and solving the equations of these models using appropriate solution methods is highly important for engineers. Modeling allows the system to be tested in a simulation environment before it is even produced, and it can be checked whether the system meets the requirements. At the same time, performance improvements can be made by changing the parameters of the modeled system. Models created for an airplane, car, or helicopter can provide a training environment for users. For these reasons, modeling the mathematical model of the system to give the closest results to real values is an important requirement. fractional calculus emerges as a different method for obtaining mathematical models for this purpose. Fractional calculus is a branch of mathematics that deals with fractional, complex order derivatives and integrals, in addition to integer-order derivatives. Using this mathematics, mathematical models containing fractional-order derivatives are obtained instead of integer-order derivatives obtained by classical methods. Fractional derivatives have several types such as Riemann-Liouville, Caputo, etc. Equations of motion should be obtained by choosing the appropriate one for modeling. The concepts related to fractional calculus are presented in Chapter 2. In this chapter, the emergence of fractional calculus and the relationship between classical integer-order derivatives and fractional derivatives are explained. In addition, the types of fractional derivatives are briefly given, and special functions used in the calculation of derivatives and integrals using this derivative are described. Chapter 3 provides information about system modeling approaches. The most commonly used classical methods for obtaining the motion equations of a system are Newtonian and Lagrangian mechanics. Newtonian mechanics analyzes the forces and moments that affect the system in order to obtain a mathematical model. These external forces and moments are determined using a free-body diagram. This method is quite easy for simple systems. However, Lagrangian mechanics is preferred for complex systems where determining the forces and moments acting on them is quite difficult. This is because Lagrangian mechanics uses the total kinetic and potential energy of the system to obtain the motion equations. The Lagrangian expression is obtained by subtracting the total potential energy from the total kinetic energy. Then this expression is substituted into the Euler-Lagrange equation to derive the motion equations. Equations obtained using these two methods contain integer derivatives. Different methods are available for obtaining fractional mathematical models. One of these methods is using the fractional Euler-Lagrange equation (FELE). With this equation, calculations are made using the Lagrangian expression in the classical method without obtaining the energy equations of the system in a fractional manner. The Fractional Lagrangian is obtained by replacing the derivatives in the classical Lagrangian with their“Fractional Derivative”counterparts. Fractional motion equations are then obtained using FELE. In Chapter 3, firstly, the equations for the two classical methods used for classical modeling, Newtonian and Lagrangian mechanics, are provided. Then, FELE is explained and its formulas are given. To demonstrate the application of these methods, the modeling of a 4-rotor aerial vehicle (Quadrotor System) is presented. First, the motion equations are obtained using Newtonian mechanics, and then they are obtained using Lagrangian mechanics. In addition, errors made in the open literature when obtaining the rotational motion equations have been corrected in this chapter. Finally, fractional motion equations for the quadrotor system are obtained using FELE. The important issue is the selection of the type of fractional derivative to be used in fractional modeling. The most important priority in modeling a mechanical system is adding initial and boundary conditions. For this reason, Caputo and Caputo-Fabrizio fractional derivatives can be preferred to add initial conditions into the equations in a physically interpretable way. The use of Caputo-Fabrizio fractional derivative in modeling is preferred to avoid non-singular kernel problems in solving the equations. After obtaining the equations, they need to be solved to acquire high accuracy results. Therefore, an appropriate solution method must be determined. These solution methods can be analytical or numerical. Analytical solution methods provide the exact results of the equations and express the system's solution with time-dependent functions. This allows for the derivation and integration of the obtained functions. However, a disadvantage of analytical solutions is that they become more complex and time-consuming as the system becomes more complex. Therefore, numerical solution methods can be preferred for nonlinear and complex systems. Numerical methods, on the other hand, provide approximate solutions to the equations and generally give results faster than analytical methods. Therefore, if the solutions are made with sufficient sensitivity, suitable results can be obtained for engineering purposes. In addition, there are also semi-analytical numerical solution methods. In these methods, the time interval for which the system is studied is divided into a certain time step, and analytical solutions are obtained for each time step to obtain results. In Chapter 4, analytical, numerical, and semi-analytical numerical methods are discussed. First, the differential transform method (DTM), which is a powerful analytical method for solving the classical model, is given, and it is applied to the double pendulum system as an example. It is seen that this method is not suitable for time-dependent systems because the results deviate from the Runge-Kutta (RK) solutions. Then, the improved version of this method, the multi-step differential transform method (MsDTM), is applied to the same system. At the same time, the system is solved using a powerful numerical solution method called RK, and it is seen that the two results are consistent with each other. However, it is also an important output that MsDTM's computation time is very long. In Chapter 4, a numerical method that uses matrix approach for solving the fractional model is also discussed. Since the solution of fractional differential equations is quite complex, numerical solution is preferred instead of analytical solution. At the same time, the fact that multi-step methods cannot be used in fractional differential equations is an important factor that restricts the analytical solution of these equations. Finally, in Chapter 5, all the methods mentioned have been applied to a nonlinear inverted pendulum system, which is a system modeled by two differential equations and exhibits oscillatory behavior. First, the energy equations of this system have been obtained, and then classical motion equations have been derived using Lagrangian mechanics. These equations were then solved using DTM, MsDTM, and RK methods, and the results were compared. It was observed that the results of DTM were quite deviant, but MsDTM gave the same results as RK. Then, the fractional motion equations of this system were obtained, and numerical equations were reached using matrix approach. The obtained equations were solved for different fractional orders, and the results were presented in the thesis. The important issue is that it is not known which fractional derivative order will give the actual model of the system. Therefore, graphs were obtained by trying different orders. Experimental data is required to determine which value is correct.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    444236

    Pasternak zemini üzerinde ani ve hareketli yüke maruz dikdörtgen kalın kompozit bir plakanın dinamik analizi

    Dynamic analaysis of a rectangular thick composite plate resting on a pasternak foundation subjected to sudden and moving load

    REHA GÜRSOY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. VEDAT ZİYA DOĞAN

  2. Tez No

    638082

    Klasik ve mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen plaklarin caputo kesirli türevi yardimiyla nonlokal titreşim analizi

    Nonlocal vibration analysis of classic and microstretch plates with the help of caputo fractional derivative

    SONER AYDINLIK

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2020

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. AHMET KIRIŞ

  3. Tez No

    887636

    Kesirli kalkülüs ile G-8 ülkeleri ve Türkiye'nin ekonomik verileri kullanılarak gayrisafi yurt içi hasıla büyüme oranlarının iki değişkenli fonksiyon olarak modellenmesi

    Modeling of gross domestic product growth rates as a bivariate function using economic data of G-8 countries and Turkey with fractional calculus

    ŞEYMA BEŞİR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    Ekonomiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Bilişim Uygulamaları Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ERTUĞRUL KARAÇUHA

    DR. ÖĞR. ÜYESİ NİSA ÖZGE ÖNAL TUĞRUL

  4. Tez No

    420406

    Fractional modeling of oscillating dynamic systems

    Osilasyon yapan dinamik sistemlerin kesirli dereceli modellenmesi

    ADEL AGİLA

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2015

    Mekatronik MühendisliğiAtılım Üniversitesi

    Mühendislik Sistemlerinin Modellenmesi ve Tasarımı Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. BÜLENT İRFANOĞLU

    DOÇ. DR. RAJEH EİD

  5. Tez No

    723930

    Controller design methodologies for fractional order system models

    Kesirli mertebe sistem modelleri için kontrolör tasarım yöntemleri

    ERHAN YUMUK

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA

Geri Dön