Random holomorphic sections associated with a sequence of line bundles on compact kähler manifolds
Kompakt kähler manifoldlar üzerindeki bir dizi doğru demetleriyle ilişkili rassal holomorfik kesitler
- Tez No: 898326
- Danışmanlar: DOÇ. DR. TURGAY BAYRAKTAR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 110
Özet
Rassal polinomların sıfırlarının incelenmesi, matematik ve fizik alanlarındaki çeşitli bağlantılar nedeniyle oldukça ilgi çekici bir konudur. Özellikle, bu sıfırların dağılımı, kaotik dinamikler ve kuantum ergodikliğini anlamak için kritik öneme sahiptir, çünkü kaotik kuantum sistemlerdeki özfonksiyonların nodal kümelerinin davranışını modellemektedir. Bu temel fikirler üzerine inşa edilerek, kavramlar rassal holomorfik kesitler aracılığıyla doğal olarak daha yüksek boyutlara genişletilmektedir ve rassal polinomları genelleştirerek, ortaya çıkan stokastik Kähler geometrisi alanının temelini oluşturmaktadır. Bu tezde, stokastik Kähler geometrisi alanında birbirleriyle bağlantılı iki problem ele alınmıştır. Çalışmamız, kompakt Kähler manifoldları üzerinde Hermisyen holomorfik doğru demetleriyle ilişkilendirilen rassal holomorfik kesitlerin sıfırlarının eş dağılımı ve istatistiksel dalgalanmalarına odaklanmıştır. İlk bölümde, bir kompakt Kähler manifoldu $X$ üzerinde $\mathscr{C}^{2}$ sınıfı metriklere sahip pozitif Hermisyen holomorfik doğru demetlerinin bir dizisiyle ilişkili rassal holomorfik kesitlerin sistemlerindeki sıfırlar için bir eş dağılım fenomeni kanıtlanmıştır. Bu sonuca, herhangi bir $k$ eşboyutundaki rassal sıfır akışlarının beklenen \linebreak dağılımlarını ve varyans sınırlamalarını analiz ederek ulaşılmıştır. Bu sonuçlar, Gaussian, Fubini-Study ve sınırlı yoğunluk fonksiyonlara ve logaritmik olarak azalan kuyruklara sahip olasılık dağılımlarını içerecek şekilde önceki sonuçları geliştirmiştir. İkinci bölümde, standart Gauss holomorfik kesitlerinin sıfırlarıyla ilişkilendirilen rassal sıfır akımları için bir merkezi limit teoremi elde edilmiştir. Bu teorem, holomorfik doğru demetlerinin dizileri çerçevesinde ispatlanmış olup, rassal sıfır kümelerinin lineer istatistiklerinin asimptotik normalitesini göstermektedir. Ek olarak, Demaily'nin $\bar{\partial}$-operatörü için $L^{2}$-sınırlamalarından gelen karmaşık diferansiyel geometri tekniklerini kullanarak, diagonale yakın ve diagonal Bergman çekirdeklerinin birinci dereceden asimptotiklerini ve yeterince hızlı azalan üst sınırlar elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
The study of zeros of random polynomials is a fascinating subject due to its numerous connections within mathematics and physics. In particular, the distribution of these zeros is crucial for understanding chaotic dynamics and quantum ergodicity, as it models the behavior of nodal sets of eigenfunctions in chaotic quantum systems. Building upon these ideas, the concepts naturally extend to higher dimensions through random holomorphic sections, which generalize random polynomials, giving rise to the emerging field of stochastic Kähler geometry. This thesis investigates two interconnected problems within the realm of stochastic Kähler geometry, focusing on the equidistribution and statistical fluctuations of zeros of random holomorphic sections associated with Hermitian holomorphic line bundles on compact Kähler manifolds. In the first part, we establish an equidistribution phenomenon for zeros of systems of random holomorphic sections associated with a sequence of positive Hermitian holomorphic line bundles with $\mathscr{C}^{2}$ metrics on a compact Kähler manifold $X$. This is achieved through variance estimates and an analysis of the expected distributions of random zero currents of integration in any codimension $k$. Our results extend previous findings in the field by encompassing a broader range of probability distributions, including Gaussian, Fubini-Study measures, and probability measures with bounded densities and logarithmically decaying tails. In the second part, we establish a central limit theorem for random currents of integration along the zero divisors of standard Gaussian holomorphic sections. This theorem, proved within the framework of sequences of holomorphic line bundles, demonstrates the asymptotic normality of smooth linear statistics of random zero divisors. Along the way, using methods from complex differential geometry, such as Demailly's $L^2$-estimates for the $\bar{\partial}$-operator, we obtain first-order asymptotics and upper decaying estimates for near and off-diagonal Bergman kernels.
Benzer Tezler
- Simulation of a homomorphic encryption system
Homomorfik bir şifreleme sisteminin simülasyonu
HANİFE ÇAĞIL BOZDUMAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiGazi ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ERKAN AFACAN
- Çam (Pinus sp.) türlerinde genetik polimorfizmin DNA markır teknolojisi ile tanımlanması
Başlık çevirisi yok
FUNDA ŞENTÜRK
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
BiyolojiGebze Yüksek Teknoloji EnstitüsüBiyoloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ABDULKADİR AKÇİN
- Improved security and privacy preservation for biometric hashing
Biyometrik kıyım için arttırılmış güvenlik ve mahremiyet koruması
ÇAĞATAY KARABAT
Doktora
İngilizce
2013
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiSabancı ÜniversitesiElektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. HAKAN ERDOĞAN
- Extensions to Asmuth Bloom secret sharing scheme
Asmuth Bloom sır paylaşım yöntemine eklentiler
OĞUZHAN ERSOY
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiBoğaziçi ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EMİN ANARIM
- Privacy-preserving protocols for IEEE 802.11s-based smart grid advanced metering infrastructure networks
Başlık çevirisi yok
SAMET TONYALI
Doktora
İngilizce
2018
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolFlorida International UniversityProf. KEMAL AKKAYA