Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin derin öğrenme ve makine öğrenmesi algoritmaları ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of partial differential equations with deep learning and machine learning algorithms
- Tez No: 933084
- Danışmanlar: DR. ÖĞR. ÜYESİ MEHMET FATİH UÇAR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Kültür Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 56
Özet
Diferansiyel denklemler, hesaplamalı bilimlerde çeşitli doğa olayların modellenmesinde kullanılmaktadır. Sayısal yöntemler bu tür denklemleri çözmek için bir seçenek olmuştur. Yarı analitik ve yakınsak çözüm fonksiyonları da, sayısal çözümler gibi bir çok araştırmacı tarafından tercih edilmektedir. Makine öğrenmesi ve derin öğrenme yöntemlerinin alt başlığı olan yapay sinir ağları, çeşitli diferansiyel denklem türlerini çözerek sürekli çözüm fonksiyonları oluşturmak için giderek daha fazla kullanılmaktadır. Bu tezde, kısmi türevli diferansiyel denklemleri derin öğrenme ve makine öğrenimi algoritması ile modellemek için fizikle öğrenen sinir ağları (PINN) metodu kullanılmaktadır. PINN rezidü, başlangıç ve sınır koşulu parçalarından oluşan fiziksel kayıp fonksiyonunu en az indirgemek için eğitilerek kısmı diferansiyel denkleme yaklaşık çözümler üretmektedir. Sonlu bir alan üzerinde değişken katsayılı kesirli difüzyon denklemlerini, diferansiyel denklem sistemlerinin sayısal çözümlerinde PINN metodunun uygulanabilirliği gösterilecektir. Oluşan hata analizine göre, mevcut PINN yönteminin dikkate alınan hesaplama uzay-zaman alanında doğru çözümler sağlayabildiği sunulacaktır.
Özet (Çeviri)
In the domain of computational sciences, differential equations play a pivotal role in the modeling of diverse natural phenomena. Numerical methods have emerged as a prevalent approach for addressing these equations. Researchers have demonstrated a strong predilection for semi-analytic and convergent solution functions, along with a preference for numerical solutions. A notable trend in recent times has been the increased utilization of artificial neural networks, a subfield of machine learning and deep learning methods, for generating continuous solution functions through the solution of various types of differential equations. In this thesis, the physics learning neural network (PINN) method is employed to model partial differential equations with deep learning and machine learning algorithms. The PINN model is trained to minimize the physical loss function, which consists of residual, initial, and boundary condition components, thereby producing approximate solutions to the partial differential equation. The efficiency of the PINN method in numerical solutions of systems of differential equations, including fractional diffusion equations with variable coefficients over a finite domain, will be demonstrated. A detailed error analysis will be conducted to demonstrate the efficacy of the existing PINN method in producing accurate solutions within the specified computational space-time domain.
Benzer Tezler
- Kompleks geometrilerde kısmi türevli diferansiyel denklemlerin derin öğrenme yaklaşımları ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of partial differential equations on complex geometries with deep learning approaches
ÖZCAN KOLYİĞİT
Doktora
Türkçe
2023
MatematikAydın Adnan Menderes ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. KORHAN GÜNEL
- Bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin niteliksel analizi
Qualitative analysis of the solutions of some partial differential equations
HÜSNA AKAN
- Vertical vibration of suspension bridges due to traffic and vertical ground acceleration
Asma köprülerin trafik ve düşey deprem yer hareketi altında titreşimi
ALI AHANI
Yüksek Lisans
İngilizce
2018
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ABDULLAH NECMETTİN GÜNDÜZ
- Numerical modelling of wave induced soil liquefaction around buried pipelines and cables
Gömülü borular ve kablolar etrafında dalga kaynaklı zemin sıvılaşmasının sayısal modellenmesi
SELAHATTİN UTKU YILMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. VEYSEL ŞADAN ÖZGÜR KIRCA
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR