Bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin niteliksel analizi
Qualitative analysis of the solutions of some partial differential equations
- Tez No: 954159
- Danışmanlar: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Dicle Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 64
Özet
Bu çalışmada, logaritmik kaynak terimi içeren hiperbolik tipten bir kısmi diferansiyel denklemin çözümlerinin davranışı incelenmiştir. Özellikle, başlangıç koşulları yeterince büyük seçildiğinde çözümün zamana bağlı olarak üstel büyüme gösterdiği ispatlanmıştır. Enerji yöntemleri ve uygun test fonksiyonları kullanılarak, çözümün belirli normlarda alt ve üst sınırları elde edilmiştir. Bu sonuçlar, logaritmik kaynağın, denklemin dinamiğinde belirleyici bir rol oynadığını ve klasik polinomsal kaynak terimlerinden farklı olarak çözümlerde hızlı büyümeye neden olabileceğini göstermektedir. Elde edilen bulgular, ilgili denklemin matematiksel yapısına dair daha derin bir anlayış sunmakta ve benzer nitelikteki denklemler için genelleştirilebilir sonuçların kapısını aralamaktadır. Tezin ikinci bölümünde literatür bilgisi verilmiştir. Üçüncü bölümünde ise tezimizin sonraki kısımlarında kullanılacak olan bazı önemli tanım, teorem, lemma, eşitsizlik ve metodlar verilmiştir. Dördüncü bölümde tezin esas bölümünü oluşturan problem tanıtılmış ve bu problemin çözümlerinin varlığı ve patlaması potansiyel kuyu metodu ile çalışılmıştır. Potansiyel kuyu metodu, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını ve patlama durumunu analiz etmek için güçlü bir araçtır. Bu yöntem, sistemin enerjisini ve potansiyel kuyularını analiz ederek çözümlerin zaman içindeki davranışlarını öngörmeye yardımcı olur. Bu analiz, özellikle çözümün kararlılığını ve patlama durumunu anlamak için önemlidir. Yüksek mertebeden hiperbolik tipteki denklemlerin çözümlerinin varlığı potansiyel kuyu metodu ile incelenmesi dolayısıyla, bu çalışma evolüsyon denklemlerin daha geniş bir çerçeve içinde önemini ve uygulamalarını derinlemesine araştırmayı amaçlamaktadır. Tezin beşinci bölümünde logaritmik kaynak terim içeren yüksek mertebeden hiperbolik tipten bir denklemin çözümlerinin büyüme kestirimi yardımıyla patlaması incelenmiştir.
Özet (Çeviri)
In this study, the behavior of the solutions of a hyperbolic type partial differential equation with a logarithmic source term is examined. In particular, it has been proven that when the initial conditions are chosen sufficiently large, the solution exhibits exponential growth over time. By using energy methods and appropriate test functions, lower and upper bounds of the solution in certain norms have been obtained. These results show that the logarithmic source plays a decisive role in the dynamics of the equation and, unlike classical polynomial source terms, may cause rapid growth in the solutions. The findings provide a deeper understanding of the mathematical structure of the related equation and open the door to generalizable results for similar types of equations. In the second chapter of the thesis, a literature review is presented. In the third chapter, some important definitions, theorems, lemmas, inequalities, and methods that will be used in the following parts of the thesis are given. In the fourth chapter, the main problem of the thesis is introduced, and the existence and blow-up of the solutions to this problem are studied using the potential well method. The potential well method is a powerful tool to analyze the existence and blow-up of solutions to partial differential equations. This method helps to predict the time- dependent behavior of the solutions by analyzing the energy and potential wells of the system. This analysis is especially important for understanding the stability and blow-up behavior of the solution. Since the existence of solutions to higher-order hyperbolic type equations is examined via the potential well method, this study aims to explore the importance and applications of evolution equations in a broader framework. In the fifth chapter of the thesis, the blow-up of the solutions of a higher-order hyperbolic type equation with a logarithmic source term is investigated through growth estimates.
Benzer Tezler
- Bazı kısmi diferansiyel denklem modellerinde çözümlerindavranışları
On the qualitative behaviors of solutions of some partial differential equations
ABDULLAH AKŞİT
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
MatematikVan Yüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CEMİL TUNÇ
- Kesir mertebeli diferansiyel denklemlerde çözümlerin bazı davranışları üzerine
On some qualitative behaviors of solutions for fractional differential equations
KASIM MANSIZ
- Nakao eşitsizliği ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin kararlılığı
Stability of the solutions for a some partial differential equations with nakao's inequality
MEHMET SERDAR AYDIN
- Potansiyel kuyu metodu ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin varlığı
Existence of solutions of some partial differential equations with the potential well method
AYŞE DEMİRHAN
- Komornik eşitsizliği ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin kararlılığı
Stability of solutions of some partial differential equations with the komornik inequality
EVRİM AKKURT