Some results on the sums of unit fractions
Birim kesir toplamları üzerine bazı sonuçlar
- Tez No: 940913
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ERGÜN YARANERİ, DOÇ. DR. HAYDAR GÖRAL
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 109
Özet
Birim kesir toplamları, geniş bir problem yelpazesine sahip olup birçok tekniğin uygulanmasına olanak tanıyan kapsamlı bir konudur. Bu tür toplamların temel bir örneği, harmonik sayılardır. Pozitif bir $n$ tam sayısı için, $n.$ harmonik sayı $$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$$ olarak tanımlanır. Bu tezde ilk olarak, birim kesir toplamlarının bir genellemesi olan Dedekind harmonik sayıları tanıtılmaktadır. Herhangi bir $K$ sayı cismi ile onun tamsayılar halkası $\mathcal{O}_K$ ve bir $n$ pozitif tamsayısı için, $n.$ Dedekind harmonik sayısı $$h_K(n) = \displaystyle \sum_{\substack{0 \neq I \subseteq \mathcal{O}_K \\ N(I) \le n}} \frac{1}{N(I)}$$ olarak tanımlanır. Buradaki birim kesirlerin paydaları, tamsayılar halkası $\mathcal{O}_K$'nın $0$'dan farklı ve normu en fazla $n$ olan ideallerinin normlarından oluşmaktadır. $K$ bir sayı cismi olmak üzere, $h_K(n)$'nin bir $n_K$ tamsayısından sonra tamsayı olamayacağı yani yalnızca sonlu $n$ tamsayısı için tamsayı olabileceği kanıtlanmıştır. Devamında ise kuadratik sayı cisimleri incelenmiş ve bazı durumlarda $n_K$ sayısı açık olarak verilmiştir. Dahası, Dedekind zeta fonksiyonları için Riemann hipotezi altında, belirli bir yerden sonra, iki farklı Dedekind harmonik sayısının farkının tamsayı olamayacağı gösterilmiş ve aynı hipotez altında kuadratik sayı cisimlerinde tamsayı olmama durumu incelenmiştir. Harmonik sayıların bir diğer genellemesi hiperharmonik sayılardır ve bu sayılar, birçok özellik ve problem ile gelir. Mez\H o, makalesinde, bariz $1$ durumu dışında bu sayıların tamsayı olamayacağı sanısını ortaya atmış ve bu sanı uzun süre açık kalmıştır. Aynı makalede şu problemi de sormuştur: Farklı indis ve dereceye sahip iki hiperharmonik sayı eşit olabilir mi? Tezde bu soru da incelenmiş ve daha genel bir probleme kısmi bir cevap verilmiştir. Ek olarak, analitik bir yöntem aracılığıyla hiperharmonik sayıların farklarının neredeyse hiçbir zaman tamsayı olamayacağı gösterilmiştir. Eswarathasan and Levine, bir $p$ asal sayısı için, $$J(p) =\{ n \in \mathbb{N} \colon \nu_p( H_n) \ge 1 \}$$ kümesini tanımlamıştır. Çalışmalarında, her $p$ asal sayısı için bu kümenin sonlu olduğu sanısı ortaya atılmıştır. Daha sonra, bu küme için bir sayaç fonksiyonu tanımlanmış ve farklı çalışmalarda bu fonksiyon için üst sınırlar elde edilmiştir. Herhangi $n$ ve $s$ pozitif tamsayıları için $s.$ dereceden $n.$ genelleştirilmiş harmonik sayı $$H_n^{(s)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s}$$ olarak tanımlanır. Bu tezde, $J(p)$ kümesinin daha genel halleri, $J(p,s)$ ve $J(p^{s},s) $, genelleştirilmiş harmonik sayılar için tanımlanıp $J(p,s)$ kümesinin sayaç fonksiyonu için üst sınır verilmiştir. Dahası, makul bir koşul altında $J(p,s)$ kümesinin sonlu olduğu kanıtlanmış, ve bu koşulu sağlamayan $p$ asal sayıları ve $s$ tamsayıları aranmıştır. Bulunan bazı örneklerin ardından, $J(p,s)$ kümesinin sonluluğuna dair anlamlı sonuçlar sunabilecek Bernoulli ve Euler sayıları ile düzensiz asallar üzerine bir analiz yapılmıştır.
Özet (Çeviri)
A unit fraction is a rational number having $1$ in its numerator and any positive integer in its denominator. This thesis is devoted to the investigation of various aspects of sums of unit fractions, a topic that covers a wide range of problems and techniques. An elementary example of such sums is the harmonic numbers. Given a positive integer $n,$ the $n^{th}$ harmonic number is defined as $$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$ We begin by presenting a generalization of the harmonic numbers called the Dedekind harmonic numbers. In order to define them, we take a number field $K$ and then consider the sum of reciprocals of norms of ideals of $\mathcal{O}_K$, the ring of integers of this number field $K$, whose norms are bounded by a given positive integer $n$. We first show that these numbers are not integers after a while. Then, we provide this specific upper bound for some quadratic number fields to guarantee that they are non-integer. Furthermore, under the Riemann hypothesis, we obtain the non-integerness of differences of these numbers together with uniform bounds for quadratic number fields and derive an asymptotic result. We then continue with another example of the sums of unit fractions called the hyperharmonic numbers. In his paper, Mez\H o proposed that these numbers are never integers, except for the trivial case $1$, and this conjecture remained unresolved for an extended period. Another question is also asked in the same paper: Can two hyperharmonic numbers of different indices and different orders be equal? A partial answer to a more generalized version of this question is given in this thesis, via a geometric approach with the help of related problems in arithmetic geometry. Afterwards, an analytic approach is followed and we deduce that the differences of distinct hyperharmonic numbers are almost never an integer. For any given prime number $p$, the set denoted by $J(p)$ was introduced by Eswarathasan and Levine. This set consists of the indices of the harmonic numbers whose numerators are divisible by this prime $p$ in their lowest terms. The size of this set for several prime numbers was calculated by several authors and some upper bounds for a counting function for this set were given. We generalize the set $J(p)$ to the generalized harmonic numbers. The generalized harmonic numbers are sums of unit fractions where they have some positive integer power $s$ of the positive integers in their denominators. We define the generalizations $J(p,s)$ and $J(p^s,s)$ of $J(p)$, deduce some finiteness results, provide congruence relations and eventually obtain an upper bound for the counting function for $J(p,s)$. Moreover, we provide an explicit criterion that implies the finiteness of our set, together with computational results, and then point out the subjects that may reveal more about the finiteness of $J(p,s)$, by introducing Bernoulli and Euler numbers together with the irregular primes.
Benzer Tezler
- Türkiye'de ekstrem sıcaklık trendleri
Extreme temperature trends over Turkey
FİSUN KEMEROĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Meteorolojiİstanbul Teknik ÜniversitesiMeteoroloji Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MİKDAT KADIOĞLU
- Bir hücresel yapay sinir ağının sabit noktalı sayı aritmetiğiyle sayısal tasarımı ve gerçeklenmesi
Digital design of a cellular neural network using fixed-point number arithmetic
BARIŞ KARAKAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MÜŞTAK ERHAN YALÇIN
- Performans yönetimi için dinamik bir stratejik kontrol modeli
A Dynamic strategic control model for performance management
SEÇKİN POLAT
Doktora
Türkçe
1992
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF. DR. MEHMET HALUK ERKUT
- Bulanık PID kontrolörleri için birleştirme operatörüne dayalı yeni bir öz-ayarlama yöntemi tasarımı
A novel self-tuning method based on aggregation operator for fuzzy PID controllers
ÇAĞRI GÜZAY
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ENGİN YEŞİL
- Sıkıştırılmış başvuru çizelgeleri kullanarak yarı-rastgele erişilebilir işlevlerin verimli mantıksal gerçeklemesi
Area-efficient compressed look-up table implementation for semi-randomly accessible functions
HASAN ÜNLÜ
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EŞREF ADALI