Dejenere eliptik denklemlerde çözümlerin varlığı ve sınırlılığı
Existence and boundedness of solutions to degenerate elliptic equations
- Tez No: 946638
- Danışmanlar: PROF. DR. YUSUF ZEREN, PROF. DR. SCOTT RODNEY
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 63
Özet
Bu tez, ikinci mertebeden doğrusal ve dejenere eliptik denklemlerin zayıf alt çözümlerinin varlığı ve sınırlılığı problemini, katsayıların düzgün olmaması durumunda incelemektedir. Analiz, Cruz-Uribe ve Scott Rodney ile çalışma arkadaşlarının, aşağıdaki biçimde verilen bir dejenere operatöre karşılık gelen Dirichlet problemine dair çözümlerin sınırlı olduğunu ortaya koyan öncü çalışmalarına dayanmaktadır: \[ \begin{cases} Xu = -\Div(Q \nabla u) = fv & \text{içinde } \Omega, \\ u = 0 & \text{üzerinde } \partial\Omega, \end{cases} \] burada dejenerasyon, ağırlık fonksiyonu $v(x)$ ve simetrik, yarı pozitif tanımlı bir matris olan $Q(x)$ aracılığıyla ortaya çıkmakta; bu matris, ağırlıklı bir eliptiklik koşulunu sağlamaktadır. Bu çerçeveyi genişleterek, aşağıdaki biçimde tanımlanan ve daha genel bir yapıya sahip olan eliptik operatör sınıflarını ele alıyoruz: \[ X = -\frac{1}{v} \Div(Q \nabla) + \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{R} + \boldsymbol{S}'(\boldsymbol{G}) + F, \] Bu ifadede, $Q$ matrisine göre subunit olan vektör alanlarını içeren alt mertebeden terimler yer almakta olup, katsayıların düzgün olmayışı ve dejenerasyon ile olan etkileşimlerinden dolayı analiz açısından yeni zorluklar doğurmaktadır. Yaklaşımımız, Orlicz uzayı kuramı, De Giorgi tipi iterasyon teknikleri ve Fredholm alternatifine dayanan varyasyonel yöntemleri içermektedir. Bu araçlar sayesinde, minimal düzenlilik varsayımları altında zayıf alt çözümler için varlık, tekillik ve $L^\infty$ sınırlılık sonuçlarını elde ediyoruz. Bu sonuçlar, önceki çalışmaları genelleştirmekte ve düzgün olmayan yapıya sahip dejenere eliptik denklemlerin analizinde esnek bir varyasyonel çerçeve sunmaktadır. Birinci bölümde, çalışmanın motivasyonu verilmekte; ilgili literatür kısaca özetlenmekte ve dejenere eliptik denklemlerin matematiksel analizdeki ve uygulamalardaki önemi vurgulanmaktadır. Ayrıca tezin ana katkılarına da bu bölümde yer verilmektedir. İkinci bölüm, gerekli ön bilgilerle ilgilidir. Özellikle, dejenere Sobolev uzayları ve ilişkili fonksiyonel analiz araçları ayrıntılı biçimde sunulmuş olup, bu alanlarda çalışan araştırmacılar ve lisansüstü öğrenciler için bir başvuru kaynağı niteliği taşımaktadır. Üçüncü bölümde, problem açık biçimde formüle edilmekte, zayıf çözümlerin tanımı yapılmakta ve ele alınan Dirichlet problemine karşılık gelen bilinear formun temel özellikleri incelenmektedir. Dördüncü bölüm, ana sonuçlar ve bunların ispatlarını içermektedir. Tez, elde edilen bulguların bir özeti ve gelecekte yapılabilecek araştırmalara dair önerilerle sona ermektedir.
Özet (Çeviri)
This thesis investigates the existence and boundedness of weak subsolutions to a class of second-order linear degenerate elliptic equations with rough, non-smooth coefficients. The analysis builds upon the foundational work of Cruz-Uribe& Scott Rodney and collaborators, who established boundedness results for solutions to a Dirichlet problem involving a degenerate operator of the form $$ \begin{cases} Xu = -\Div(Q \nabla u) = f v & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{on } \partial\Omega, \end{cases} $$ where the degeneracy arises through a weight function $v(x)$ and a symmetric, non-negative definite matrix $Q(x)$ satisfying a weighted ellipticity condition. Extending this framework, we consider a more general class of elliptic operators given by $$ X = -\frac{1}{v} \Div(Q \nabla) + \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{R} + \boldsymbol{S}'(\boldsymbol{G}) + F, $$ which includes lower-order terms involving vector fields that are subunit with respect to the matrix $Q$. These terms introduce new analytical challenges, particularly due to the interaction between the degeneracy and the lack of smoothness in the coefficients. Our approach employs techniques from Orlicz space theory, De Giorgi-type iteration, and variational methods involving the Fredholm alternative. Through these tools, we establish existence, uniqueness, and $L^\infty$-bounds for weak subsolutions under minimal regularity assumptions. These results generalize previous work and offer a flexible variational framework for analyzing degenerate elliptic equations with nonsmooth structure. The first chapter provides the motivation for the study, offering an overview of the relevant literature and highlighting the importance of degenerate elliptic equations in mathematical analysis and applications. It also outlines the main contributions of the thesis. The second chapter is devoted to essential preliminaries. In particular, we give a detailed exposition of degenerate Sobolev spaces and related functional analytic tools, which may also serve as a helpful reference for students and researchers working in this area. In the third chapter, we formulate the problem precisely, define weak solutions, and investigate key properties of the bilinear form associated with the Dirichlet problem of interest. The fourth chapter contains the main results and their proofs. We conclude the thesis with a summary of our findings and propose directions for future research.
Benzer Tezler
- Ağırlıklı sobolev-poıncaré tipli eşitsizlikler
Weighted sobolev-poincaré type inequalities
RIŞVAN TEKİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
MatematikKırşehir Ahi Evran ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ TURHAN KARAMAN
- Wave propagation in an elastic medium: Generalized Davey-Stewartson equations
Elastik bir ortamda dalga yayılımı: Genelleştirilmiş Davey-Stewartson denklemleri
CENİ BABAOĞLU
Doktora
İngilizce
2006
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF.DR. SAADET ERBAY
- Simetrik frekans karakteristiğine sahip çok modlu, çok bandlı mikroşerit filtreler
Multi mode, multi band microstrip filters with symmetrical response
AYŞE NİHAN BASMACI
Yüksek Lisans
Türkçe
2011
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiPamukkale ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. CEYHUN KARPUZ
- Çift modlu mikroşerit bant geçiren filtre tasarımı
Dual-mode microstrip bandpass filter design
ALİ KÜRŞAD GÖRÜR
Yüksek Lisans
Türkçe
2011
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiPamukkale ÜniversitesiElektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga Tekn. Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. CEYHUN KARPUZ
- Polarization and phase characterization of side-polished optical fibers
Kenarı inceltilmiş optik fiberlerin polarizasyon ve faz karakterizasyonu
YUNUS EMRE KARATAŞ
Yüksek Lisans
İngilizce
2018
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET SALİH DİNLEYİCİ