Değişken katsayılı evolüsyon denklemlerin çözümlerinin davranışı
Behavior of solutions of variable coefficient evoluation equations
- Tez No: 951372
- Danışmanlar: PROF. DR. ERHAN PİŞKİN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Dicle Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 130
Özet
Evrendeki olayları anlamak için kısmi türevli denklemler oldukça önemli araçlardır. Örneğin; bir keman telinin titreşimi, ses dalgaları, bir çubuktaki ısı iletimi...gibi bir çok olay kısmi türevli denklem olarak modellenmektedir. Kısmi diferansiyel denklemlerde bağımsız değişkenlerden biri zaman (t) olan denklemlere evolüsyon denklemler denir. Evolüsyon denklemler zamanla değişen fiziksel sistemleri modellemek için kullanılan diferansiyel denklemler sınıfıdır. Bu denklemler, matematiğin yanı sıra fizik, mekanik ve malzeme bilimi gibi diğer disiplinlerde de büyük önem taşır. Ayrıca gerçek hayatta birçok fiziksel süreç, ortam koşullarının zamana veya konuma bağlı olarak değişim göstermesi nedeniyle sabit katsayılı matematiksel modellerle tam olarak ifade edilemez. Bu gibi durumlarda değişken katsayılı diferansiyel denklemler kullanılarak daha gerçekçi modellemeler yapılabilir. Örneğin, ısı iletimi, dalga yayılımı, difüzyon ve akışkanlar dinamiği gibi birçok alanda, ortamın sıcaklık, yoğunluk veya elastikiyet gibi özellikleri zaman veya mekân içinde değişkenlik gösterir. Böyle sistemlerin analizinde değişken katsayılı denklemler kaçınılmaz bir ihtiyaç haline gelir. Bu bağlamda tezin ilk bölümünde diferansiyel denklem teorisine, mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan evolüsyon denklemlere ve çözümlerin davranışına kısaca değinilmiştir. İkinci bölümünde tezde geçen denklemlerin fiziksel anlamları ve bu denklemler ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem, eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir. Ayrıca çözümlerin varlığı, azalması ve patlaması ile ilgili lemmalar verilmiştir. Dördüncü bölümünde değişken katsayılı güçlü sönüm terimli dalga denkleminin çözümlerinin patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümünde doğrusal olmayan sönüm ve kaynak terime sahip ağırlıklı m-biharmonik denklemin çözümlerinin varlığı, azalması ve patlaması çalışılmıştır. Altıncı bölümünde tekil potansiyele sahip yüksek mertebeden bir reaksiyon difüzyon denkleminin çözümlerinin global varlığı ve patlama zamanı için üst ve alt sınır çalışılmıştır. Yedinci bölümünde değişken katsayılı gecikme terimli Petrovsky denklemi için çözümlerin azalması çalışılmıştır.
Özet (Çeviri)
Partial differential equations are essential tools for understanding phenomena in the universe. For instance, many events such as the vibration of a violin string, sound waves, or heat conduction in a rod can be modeled using partial differential equations. When one of the independent variables in a partial differential equation is time (ttt), such equations are called evolution equations. Evolution equations constitute a class of differential equations used to model physical systems that change over time. These equations are of great importance not only in mathematics but also in other disciplines such as physics, mechanics, and materials science. Moreover, in real-world scenarios, many physical processes cannot be accurately represented by constant-coefficient mathematical models due to the fact that environmental conditions often vary with time or space. In such cases, variable-coefficient differential equations provide more realistic modeling. For example, in areas like heat conduction, wave propagation, diffusion, and fluid dynamics, properties of the medium—such as temperature, density, or elasticity—may vary in time or space. Analyzing such systems inevitably requires the use of variable-coefficient equations. In this context, the first part of the thesis briefly introduces the theory of differential equations, the evolution equations arising in applied sciences such as engineering and physics, and the behavior of their solutions. In the second chapter, the physical interpretations of the equations considered in this thesis are discussed, along with a historical overview of the related studies conducted up to the present day. In the third chapter, the fundamental definitions, lemmas, theorems, inequalities, and equalities that will be used throughout the thesis are introduced. In addition, several lemmas regarding the existence, decay, and blow-up of solutions are provided. In the fourth chapter, the blow-up behavior of solutions to a variable coefficient strongly damped wave equation is investigated. In the fifth chapter, the existence, decay, and blow-up of solutions for a weighted m-biharmonic equation with nonlinear damping and source terms are studied. In the sixth chapter, the upper and lower bounds for the global existence and blow-up time of solutions to a higher-order reaction-diffusion equation with singular potential are examined. In the seventh chapter, the decay of solutions to a variable coefficient Petrovsky equation with delay term is analyzed.
Benzer Tezler
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- Numerical simulation of unsteady quasi-one-dimensional bubbly cavitating nozzle flows
Sanki-bir-boyutlu lülelerde daimi olmayan kavitasyonlu kabarcıklı akışların sayısal benzetimi
ZAFER BAŞKAYA
Doktora
Türkçe
2011
Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CAN FUAT DELALE
- Suppression of symmetry-breaking bifurcations of optical solitons in parity-time symmetric potentials
Parite-zaman simetrisine sahip potansiyellerde optik solitonların simetri kırılması çatallanmasının baskılanması
MELİS TURGUT
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- A fourier pseudo-spectral method for the higher-order boussinesq equation
Yüksek mertebeden boussinesq denklemi i̇çin fourier spektral yöntemi
GÖKSU TOPKARCI
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. GÜLÇİN MİHRİYE MUSLU
- İçerisinde akışkan bulunan değişken yarıçaplı elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı
Nonlinear wave propagation in fluid filled tapared elastic tubes
ALİ ERİNÇ ÖZDEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. NALAN ANTAR