Geri Dön

Suppression of symmetry-breaking bifurcations of optical solitons in parity-time symmetric potentials

Parite-zaman simetrisine sahip potansiyellerde optik solitonların simetri kırılması çatallanmasının baskılanması

PDF İndir

  1. Tez No: 881411
  2. Yazar: MELİS TURGUT
  3. Danışmanlar: PROF. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2022
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 83

Özet

Doğadaki birçok olay, doğrusal olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler kullanılarak matematiksel olarak modellenmektedir. Geniş bir doğrusal olmayan dispersif kısmi türevli diferansiyel denklemler sınıfı, doğrusal olmayan dalga yayılım problemlerinde önemli bir rol oynayan ilerleyen dalga çözümlerine sahiptirler. Sıklıkla, doğrusal olmayan dalga yayılımı problemleri, doğrusal olmayan optik, Bose-Einstein yoğunlaşmaları, akışkanlar dinamiği, plazma fiziği, elastik ortamlar ve biyoloji gibi çeşitli alanlarda gözlemlenir. Bir tekil dalga veya soliton, sabit hızda herhangi bir bozulma olmadan yayılabilen bir dalga paketi veya bir darbe şeklinde olan özel bir lokalize ilerleyen dalga çözümüdür. Doğrusal olmayan optikte, solitonlar, ortamın grup hız dispersiyonu ve kendi kendine faz modülasyonu arasındaki denge nedeniyle yayılma sırasında şekilleri değişmeden ilerleyebilirler. Optik solitonlar temel yapıları ve bu özellikleri sonucunda potansiyel uygulamaları nedeniyle son yıllarda en heyecan verici araştırma alanlarından biri olmuştur. Özellikle, elektronik sinyalleri ışığa dönüştürerek uzun mesafede verileri bir fiber üzerinden iletmek için ışık dalgası teknolojisini kullanan fiber optik haberleşme sistemlerinde önemli bir yere sahiptirler. Elektromanyetik dalganın fiber optik kablolarda yayılımı aşağıda verilen kübik-kuintik doğrusal olmayan Schrödinger (CQNLS) denklemi ile modellenir: iΨ_z+Ψ_{xx}+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|4Ψ=0. Bu denklemde Ψ türevlenebilir kompleks değerli fonksiyonu, elektrik alanının yavaş değişen genliğini, Ψ_{xx} difraksiyonu (kırınımı), z yayılım uzaklığını, α ve β, sırasıyla, kübik ve kuintik doğrusal olmayanlık katsayılarını temsil etmektedir. Difraksiyonun su dalgalarındaki karşılığı dispersiyondur. Ultra kısa atımlar çalışılırken sadece ikinci mertebeden dispersiyonun değil, üçüncü ve dördüncü mertebeden dispersiyonun da modele eklenmeleri gerektiği fark edilmiştir. Okyanus ötesi ve kıtalar arası mesafelerde performans artışı için daha yüksek dereceli dispersiyonun dikkate alınması gerekir. Ayrıca, grup hız dağılımının sinyalin spektral bant genişliği içinde değiştiği kısa atım genişlikleri için dördüncü mertebeden dispersiyon (FOD) modele eklenmelidir. Ek olarak, literatürdeki birçok çalışma sayesinde sisteme eklenen bir dış potansiyelin de performans artırımı için yararlı olabileceği bilinmektedir. Bu tezde, yukarıda bahsedilen özellikler düşünülerek dördüncü mertebeden dispersiyon ve kompleks bir dış potansiyel içeren CQNLS denklemi ele alınmıştır: iΨ_z+Ψ_{xx}−γΨ_{xxxx}+V(x)Ψ+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0. Burada γ>0 dördüncü mertebeden dispersiyonun katsayısını, V(x)=V_{re}(x)+iV_{im}(x) kompleks değerli bir dış potansiyeli temsil etmektedir. Optik dalga kılavuzu enerji kazancı ve kaybı içeriyorsa, ortamın optik potansiyeli karmaşık değerli olacaktır. Bu çalışmada, aşağıda verilen parite-zaman (PT) simetrisine sahip dış potansiyel alınmıştır: V(x)=g^2(x)+c0*g(x)+ig′(x), g(x) gerçel değerli keyfi bir çift fonksiyondur, c0 ise gerçel değerli keyfi bir sabittir. Genel olarak PT-simetrik potansiyellerde, PT-simetrik solitonlar simetri kırılmasına maruz kalmazlar. Ancak bu özel potansiyel için solitonların PT-simetrisi bozulabilir. Buradaki g(x) fonksiyonu çift-tümsekli lokalize bir formda alınmıştır: g(x)=A*[exp(−(x+x0)^2)+exp(−(x−x0)^2)], A fonksiyonun maksimum genliğini ve x0 tümseklerin yerel maksimumlarının konumlarının x koordinatlarını belirlemektedir. Bilim ve mühendislik alanlarındaki birçok doğrusal olmayan dalga yayılımı problemleri integrallenemeyen denklemlerle yönetilir. Yukarıda verilen dördüncü mertebeden dispersiyon ve bir dış potansiyel içeren CQNLS denklemi de integrallenemez olduğu için analitik olarak çözmek mümkün değildir. Bu nedenle, ilgili CQNLS denkleminin soliton çözümlerinin varlığını ve dinamiklerini incelemek için sayısal yöntemler gereklidir. Birinci bölümde, tezde ele alınan problem ile ilgili kavramlar parçalara ayrılarak gerekli bilgiler verilmiştir. NLS-tipi denklemlerin yapısı temelden başlanıp, kullanım alanlarına göre gerekli bilgiler eklenerek tezde incelenecek olan problemin özellikleri ve tezin amacı açıklanmıştır. Daha sonra solitonların tarihsel gelişiminden kısaca bahsedilip, ilgili literatür taraması verilmiştir. İkinci bölümde, bu çalışmada kullanılan sayısal yöntemler yer almaktadır. İlk olarak, kare-operatör yöntemi dördüncü mertebeden dispersiyon ve PT-simetrik potansiyel içeren CQNLS denkleminin soliton çözümlerini bulmak amacıyla, Ψ(x,z)=ψ(x)exp(iμz) çözüm önerisi kullanılarak geliştirilmiştir. Burada, ψ(x) kompleks değerli lokalize bir fonksiyondur ve μ gerçel değerli yayılım sabitini temsil etmektedir. Daha sonra Fourier kollokasyon yönteminin uygulanışı genel tipte doğrusal olmayanlık içeren NLS denklemi üzerinden anlatılmıştır. Üçüncü bölümde, sayısal olarak elde edilen soliton çözümlerinin doğrusal ve doğrusal olmayan kararlılık analizini yapabilmek için, sırasıyla, dördüncü mertebeden dispersiyon ve PT-simetrik potansiyel içeren CQNLS denklemine karşılık gelen doğrusallaştırılmış operatörün doğrusal spektrumunu veren özdeğer problemi ve ayrık-adımlı Fourier yönteminin bu CQNLS denklemine uygulanışı verilmiştir. Dördüncü bölümde, dördüncü mertebeden dispersiyon ve PT-simetrik potansiyel içeren CQNLS denkleminin soliton çözümlerinin ve simetri kırılmasının varlığı incelenmiştir. Bu amaçla, dördüncü mertebeden dispersiyon katsayısı γ kademeli olarak arttırılmıştır. Dördüncü mertebeden dispersiyonun etkisi zayıf iken soliton çözümlerinde simetri kırılması meydana gelmiştir ve ilgili γ değerine ait soliton çözümlerinin çatallanma grafiği gösterilmiştir. Dördüncü mertebeden dispersiyonun etkisi arttırıldıkça simetri kırılmasının baskılandığı gözlemlenmiştir. Daha sonra, ilgili CQNLS denkleminin sayısal olarak elde edilen soliton çözümlerinin doğrusal ve doğrusal olmayan kararlılık analizleri verilmiştir. Doğrusal kararlılıkları için soliton çözümlerinin doğrusal spektrumundaki özdeğerler incelenirken, doğrusal olmayan kararlılık analizi için soliton çözümleri ilerletilerek doğrusal olmayan evrimleri incelenmiştir. Beşinci bölümde, çalışmada elde edilen tüm sonuçlar özetlenmiştir. Dördüncü mertebeden dispersiyonun, soliton çözümlerindeki simetri kırılmasını tamamen baskıladığı için pozitif etkisi olduğu sonucuna varılmıştır. Aynı şekilde, dördüncü mertebeden dispersiyonun etkisini arttırmanın doğrusal ve doğrusal olmayan olarak kararsız solitonları kararlı hale getirdiği gözlemlenmiştir. Dolayısıyla, kararlılık analizi için de oldukça güçlü ve pozitif yönde etkileri olduğundan bahsedilmiştir.

Özet (Çeviri)

Optical soliton refers to any optical field that maintains its special structure during propagation because of the balance between diffraction and self-phase modulation of the medium. The dynamics of optical solitons are investigated comprehensively due to their fundamental structures and potential applications. In particular, optical solitons play an important role in fiber optic communication system that uses pulses of infrared light to transmit information from one place to another over a long distance. The propagation of the electromagnetic wave in optical fibers is modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation iΨ_z+Ψ_{xx}+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where Ψ(x,z) is normalized complex-valued slowly varying pulse envelope of the electric field, z is the scaled propagation distance, x is the transverse coordinate, Ψ_{xx} corresponds to diffraction, α and β are the coefficients of cubic and quintic nonlinearities, respectively. A higher-order dispersion needs to be considered for performance enhancement along trans-oceanic and trans-continental distances. Fourth order dispersion needs to be taken into account for short pulse widths where the group velocity dispersion changes within the spectral bandwidth of the signal. In addition, it is known from many studies in the literature that an external potential added to the system can be also beneficial for performance improvement. In this thesis, we consider the nonlinear paraxial beam propagation in cubic-quintic nonlinearity with a complex parity-time (PT) symmetric potential and fourth order dispersion. This propagation is modeled by the following CQNLS equation iΨ_z+Ψ_{xx}−γΨ_{xxxx}+V(x)Ψ+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where γ>0 is the coupling constant of the fourth order dispersion, V(x) represents a complex PT-symmetric potential. In this thesis, we consider PT-symmetric potentials that are of the form V(x)=g^2(x)+c0*g(x)+ig′(x) where g(x) is an arbitrary real and even function, c0 is an arbitrary real constant and PT-symmetric solitons undergo symmetry breaking. We take a localized double-hump function g(x) in the form of g(x)=A*[exp(−(x+x0)^2)+exp(−(x−x0)^2)] where A and x0 are related to the modulation strength and separation of PT-symmetric potential, respectively. The soliton solutions of CQNLS equation with fourth order dispersion and a complex PT-symmetric potential are numerically obtained by means of the squared-operator method since the equation is nonintegrable. The linear stability analysis of the numerically obtained solitons is examined by linear spectrum analysis and the nonlinear stability analysis is examined by nonlinear evolution with split-step Fourier method. The existence of symmetry breaking of solitons and suppression of symmetry-breaking bifurcations have been investigated. To examine the effect of fourth order dispersion on this symmetry breaking, the coefficient of fourth order dispersion γ is incremented gradually. Consequently, we have demonstrated that the symmetry-breaking bifurcation of the solitons in this problem is completely suppressed as the strength of the fourth order dispersion increases. Moreover, increasing the strength of fourth order dispersion positively influences the linear and nonlinear stability behaviors of solitons.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    416723

    An Escher aware pattern analysis: Symmetry beyond symmetry groups

    Escher tarzı bezemelerin analizi: Simetri grupların ötesinde simetri

    VENERA ADANOVA

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2015

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ZEHRA SİBEL TARI

  2. Tez No

    65033

    Impurity effects and symmetry of the order parameter in high-temperature oxide superconductors

    Yüksek-sıcaklık oksit üstüniletkenlerinde safsızlık etkileri ve düzen parametresinin simetrisi

    MEHMET BAYINDIR

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    1997

    Fizik ve Fizik Mühendisliğiİhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi

    YRD. DOÇ. DR. ZAFER GEDİK

  3. Tez No

    818598

    Gravite ve manyetik verilerin iki boyutlu süzgeçlerle işlenmesi

    Gravity and magnetic data processing via two dimensional filters

    AYŞALI KARA

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2023

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiSüleyman Demirel Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ABDÜLKADİR ÇAKIR

  4. Tez No

    467103

    Stability analysis of multiple time-delay systems and design of time-delay filters

    Çoklu zaman gecikmeli sistemlerin kararlılık analizi ve gecikme tabanlı filtre tasarımı

    BARAN ALİKOÇ

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2017

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ

  5. Tez No

    363510

    Gemilerde baca formunun gaz akışına etkileri

    The effects of exhaust duct form on gas flow on ships

    UFUK KIRAY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2014

    Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. OSMAN AZMİ ÖZSOYSAL

Geri Dön