Geri Dön

Viskoelastik çubukların kuazi-statik ve dinamik analizi

Quasi-static and dynamic analysis of viscoelastic beams

  1. Tez No: 100748
  2. Yazar: FETHİ KADIOĞLU
  3. Danışmanlar: PROF.DR. A. YALÇIN AKÖZ
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 1999
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 107

Özet

VISKOELASUK ÇUBUKLARIN KUAZI-STATIK ve DİNAMİK ANALİZİ ÖZET Malzemelerin viskoelastik özelliği, yapıların titreşiminde sönüme yol açar. Bu açıdan viskoelastik kabul olumlu sonuç verir. Doğadaki bütün malzemeler çevre koşullarına bağlı olarak az çok viskoelastik özellik gösterir. Viskoelastik teori ile hesap elastik teoriden daha karmaşık olduğu halde, viskoelastik teori gerçeğe daha uygun olduğu için bazı yapılarda viskoelastik teori kullanılır. Viskoelastik problemlerin analizi için çeşitli metodlar geliştirilmiştir. Bazı koşullan sağlayan viskoelastik yapı problemleri, karşıtlık prensibini kullanarak elastik yapı gibi çözülebilmektedir. Laplace ve Fourier dönüşüm metodlan da viskoelastik problemlerin çözümünde geniş ölçüde kullanılmaktadır. Karmaşık geometri ve dış yüklere sahip yapılan kapalı formda çözmek her zaman mümkün değildir ve sayısal tekniklere başvurmak gerekir. Bu çalışmada, Poisson oram ve elastisite modülünün her ikisi için de genel viskoelastik özelliğe sahip lineer Timoshenko ve Euler-Bernoulli kirişlerin, kuazi-statik ve dinamik analizi için sonlu eleman formülasyonu geüştirilmiştir. Fonksiyoneller elde edilirken Gateaux türevi yaklaşımı kullanılmıştır. Aynca, alan denklemlerinden ve sınır koşullarından zamana göre türevleri kaldırmak için Laplace-Carson dönüşümü kullanılmıştır. Dönüşmüş uzayda yeni karışık sonlu eleman formülasyonlan elde edilmiştir. Ters dönüşüm için Schapery kollokasyon ve Fourier metodlan kullanılmıştır. Sayısal ters Laplace dönüşümüne büyük özen gösterilmiştir. Kullanılan Shapery kollokasyon, en büyük duyarlılık derecesi (maximun degree of precision), Durbin ve Dubner&Abate gibi sayısal ters dönüşüm metodlan aynı problemleri çözmek için kullanılmıştır. Metodlann performansı çeşitli problemlerle test edilmiş ve sonuçlar karşılaştmlarak tartışılmıştır. Bütün uygulamalarda Kelvin ya da Üç Parametreli Kelvin modeli kullanılmıştır. Bu modellerden bazılan şunlardır: 1. Maxwell Sıvısı: yük ansızın uygulandığında elastik olarak davranır. Fakat yerdeğiştirme zaman arttıkça belirsizce artar. 2. Kelvin Modeli' nde yerdeğiştirme, zamanın sonsuza gitmesi durumunda sonlu bir değere yaklaşır. Fakat yük aniden uygulandığında yapı elastik davranmaz. 3. Üç Parametreli Kelvin Modeli: Bu model elastik davranır ve zaman sonsuza gittiğinde yerdeğiştirme sonlu bir değere yaklaşır. Bu nedenle Üç Parametreli Kelvin modeli standart lineer malzeme olarak bilinmektedir. Bu model bir yay ve sönüm kutusu ile temsil edilerek Şekil l'de gösterilmiştir.o dY,(t-x) Cif = k'AJY1(0)f(t) + J-^-^f(x)dx XIformundadır. Burada Y(t), Yı(t) sırasıyla eğilme momenti ve kesme kuvveti için gevşeme çekirdekleridir. Bunlar malzemeye bağlı olarak keyfi seçilebilirler. Sembolik formda sınır koşullan, (6) şeklinde olup şapkalı değerler bilinen değerlerdir. Elbette bu sınır şartlan özel problemlere ait değildirler. Bu sınır şartlan, fonksiyonledeki sınırlan kapsaması için imkan sağlar. Sınır şartlarının açık formlan bazı varyasyonel işlemlerden sonra elde edilecektir. Sınır şartlan ve alan denklemlerinden zamana göre türevleri kaldırmak için Laplace- Carson dönüşüm metodu kullanılacaktır. Gerçel bir fonksiyonun Laplace-Carson dönüşümü, f (P) = P f (P) (?) şeklinde olup gerçel bir fonksiyonun Laplace dönüşümü, f(p) = L[f(t)]=îe-Ptf(t)dt (8) iken ters dönüşümü ise a+joo a +100 f(t) = L-1[f(p)]= JeP* f (p) dp (9) a-ıoo şeklindedir. İntegrasyon, sanal düzlemde sanal eksene paralel sonsuz bir doğru boyunca hesaplanmaktadır. Öyle ki, f(p) fonksiyonunun bütün tekil noktalan bu doğrunun solunda yer almaktadır. Denge ve kinematik denklemleri ile (4) ve(6) denklemlerinin Laplace-Carson dönüşümlerini alalım. Böylece alan denklemlerini Laplace-Carson uzayında elde etmiş olacağız. Bu denklemler operatör formda aşağıdaki gibi yazılabilir. Q=Ly-f (10) Operatörün açık formu, xıım 'öt2 O O ds O O OOOO O d_ ds O O O O O O O d_ ds tx O O O O O O d_ "ds O O -1 O O O O O -tx O O O 000 -1 O 0 0 0 0 O -10 0 0 0 _ O D -1 o o o o o o o o o r o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0-100 O -10 0 0 (11) şeklindedir. Q operatörü potansiyel ise = eşitliğini sağlamalıdır. (12) ifadesi sağlatıldıktan sonra fonksiyonel Ky) = î rfn (12) (13) şeklinde elde edilir. (13) ifadesi içine (10) ifadesi yerleştirilirse, viskoelastik çubuklar için fonksiyonel i(y) = tr dT U'^s~ + [txQ, dM ^ ds -[q,u]-[m,fİ] D* M,M 1 -^İC T,T ü,T| +| n,M (14) (T-T),ü + (M -M), a şeklinde elde edilmiş olur. Burada, [, ] iç çarpımı gösterir ve [f,g] = jfgdz (15) şeklinde ifade edilir. (14) ifedesindeki fonksiyoneldeki değişkenler Laplace-Carson uzayındadır. Bu nedenle, sonlu eleman formülasyonu aynı uzaya aittir. Sonlu eleman metodu, uygun esasların oluşumunda sistematik teknik ve genellik sağlar. Şekil fonksiyonundaki düzenlilik fonksiyoneldeki türevlerin maksimum derecelerine bağlıdır. (14) ifadesinde verilen fonksiyonelde, değişkenlerin birinci türevleri vardır. \\i[ şekil fonksiyonları için eleman formülasyonunu doğrulamak tandık ve süreklilik koşullarını sağlamakla mümkündür. Sonlu eleman için şekil fonksiyonları xıııvi=d-9 v2=S (16) şeklinde olup burada doğru ve daire eksenli viskoelastik çubuklar için, Zj-Zi öj-öj şeklindedir. (14) ifadesindeki fonksiyonelde, uygulanan yükler ve iki nodlu değişkenler, \\i[ şekil fonksiyonları ile doğrusal eleman üzerinde aşağıdaki gibi yazılabilir. 2 2 2 u = Sut Vi M = EMj vj q = Zqi Vi (18) i=l i=l i=l (14) ifadesindeki fonksiyonel içine bu yaklaşımlar yerleştirilir ve nodal değişkenlere göre ekstrem yapılırsa, viskoelastik çubuk için eleman matrisi operatör formda N-{yj} = [fi] 09) şeklinde elde edilir. Parametrelerin tümü Laplace parametrelerinin fonksiyonlarıdır. Böylece dönüştürülmüş uzayda yeni sonlu eleman formülasyonlan türetilmiştir. Burada viskoelastik alan denklemleri ve sınır koşullarının Laplace dönüşümü yaklaşımında elde edilenler, aynı geometriye sahip elastik cisim için alan denklemleri ile üst üste düşer. Bu formülasyonda elastisite modülü operasyonel modüllerle yerdeğiştirilmiştir. Sayısal çözümler, p dönüşüm parametresinin farklı sayısal değerleri için elde edilmiştir. Son adım sayısal ters Laplace işlemidir. Ters Laplace dönüşüm teknikleri literatürde verilmiştir. Bu çalışmada, Schapery kollokasyon, en büyük duyarlılık derecesi, Dubner&Abate ve Durbin metodlan kullanılmıştır. Metodlann performansı çeşitli kuazi-statik ve dinamik problemler için test edilmiştir. Bu formülasyonun özellikleri:. Schapery kollokasyon ters dönüşüm metodu, zamana göre sabit yükler altındaki kuazi-statik problemler için çok uygundur.. Zamana göre değişen yükler uygulandığında, kuazi-statik ve dinamik problemler için Fourier dönüşümlerine dayanan ters dönüşüm metodlan iyi sonuçlar vermektedir. Çözümde, zaman arttığında, seride kullanılan elemanların sayısına bağlı olarak salınım görülmektedir.. Bu metod düzensiz geometriye ve zamana bağlı yüklemeler altındaki çeşitli yapılara uygundur.. Timoshenko kirişinin ve konvansiyonel kirişinin kuazi-statik davranışı kapalı olarak bulunmuştur.. Bu metod ile kayma kilitlenmesi gözlenmemektedir.. Serbest titreşim analizinden, titreşimin zamanla söndüğü görülmüştür. Sönümlenme zamanı viskozite katsayısına göre doğru orantılıdır.. Titreşimde kiriş yüksekliğinin etkisi incelenmiştir. Titreşimin frekansının kirişin yüksekliği ile orantılı olduğu görülmüştür.. Bu metod üç boyutlu çubuklar, plaklar ve kabuklar gibi diğer yapılar için de uygundur. xıv

Özet (Çeviri)

QUASI-STATIC and DYNAMIC ANALYSIS OF VISCOELASTIC BEAMS SUMMARY In the course of time, engineers have become increasingly conscious of the importance of the viscoelastic behaviour of many materials and mathematical formulations have been applied. Viscoelastic materials can be used to reduce the vibration of structures. Some more information about viscoelasticity can be found in literature. Although the calculation by viscoelastic theory is more complex than the elastic theory, but viscoelastic theory gives more realistic result. Various methods have been developed to analyse of viscoelastic problems. Satisfying some requirements, the problem of viscoelastic structures can be solved as elastic structure, employing correspondence principle. The Laplace and Fourier transform methods have been widely used in solution of viscoelastic problems. The problems have complex geometry and constitutive relations, closed form solution are often not possible and numerical techniques should be employed. The applications of the numerical methods to viscoelastic problems have been presented by numerous authors. In this study, the linear Timoshenko beam and Euler-Beraoulli beam having the general form of relaxation modulus for both Poisson ratio and elasticity modulus are analysed for quasi-static and dynamic responses. The Gateaux differential approaches is employed to construct the functional. In order to remove the time derivatives from the governing equations and boundary conditions, the method of the Laplace-Carson transform is utilized. New mixed finite element formulations were derived in the transformed space. For the inverse transform Schapery collocation and Fourier method were used. The special attention is given to the numerical inverse of Laplace transform. The available numerical inverse transform methods; such as Shapery, Fourier, Durbin, Dubner, Maximum Degree of Presicion (MDOP) are used to solve the same problems and results are compared and disscussed in the applications. The performance of the method is tested through various problem. In all applications Kelvin or three parameter Kelvin model is employed. These models: 1. It is well known that Maxwell fluids have an elastic response to the suddenly applied load. But, displacement increases indefinitly as the time increases. 2. In the Kelvin model, displacement approaches finite value for t -» oo, but the structure does not have an elastic response to the suddenly applied load. 3. A three parameter solid model has an elastic response and displacement approaches finite value for t -» qo. Therefore, three parameter materials are known as standard linear materials. This model represented by a spring-dashpot model is illustrated in Figure 1. xva - o- iyv*vv>- 11 E, -o ? Figure 1 The model of Three Parameter Viscoelastic Material ( TPM ). To represent viscoelastic behaviour, the two constitutive relations (one for the bending and one for the shear force) in hereditary integral form are assumed. The uniaxial stress-strain relation for viscoelastic materials can be written in hereditary form }dY(t-x) o(t)aY(0)8(t) + J ; ;s(t)dx (D where o(t), e(t), Y(t) are time dependent stress, strain and relaxation modulus. The inverse relation can be writen as follows fdJ(t-x) e(t) = J(0)o(t)+J-^-^G(T)dT (2) where J(t) is time dependent creep modulus. Similar relations are also written for shear stress and shear strain. T(t) = Yi(0)y(t) + J,); ' y(x) dx o d(t-c) fdJift-x). Y(t) = Ji(0)T(t) + J ); T/T(x)dx o d(t-T) (3) Using these constitutive relations, bending rigidity and shear rigidity can be written in simple forms using two operators, -M + D*c5 = 0 -T + C*y = 0 (4) where Di* and C* are defined as: * Dif = V o d(t-t) J * f }dY,(t-x) Cif = k'AJYi(0)f(t) + f,;tV T/f(T)dx L o d(t_t) (5) XVIwhere If is inertia moment, A is cross-section area, k' is shear coefficient, Y(t), Yi(t) are relaxation kernels for bending moment and shear force respectively. They can be arbitrarily chosen depending on materials., The boundary conditions in symbolic form are T-T = 0 on Ej. M-M = 0 onfj^ A (6) -Q+Q=0 onTQ -u + ü = 0 on Tj where the variables with hat are known values. Of course these boundary conditions do not belong to a specific problem. These boundary condition serve to include boundary terms to the fiinctionals. Explicit forms of the boundary conditions will be obtained after some variational manipulations. In order to remove the time derivatives from the governing equations and boundary conditions, the method of the Laplace-Carson transform will be utilized. The Laplace- Carson transform of a real function is f (P) = P f (P) (?) where the Laplace transform of a real function is f(p) = L[f(t)] = Je-Ptf(t)dt (8) 0 and inverse transform is obtained as a+ioo a-ioo f(t) = L-1[f(p)]= JeP^dp (9) The integration is carried out in the plane of the complex variable p along an infinite straight üne parallel to the imaginary axis and situated so that all singular points of function f(p) are located to the left of this straight line. Taking Laplace-Carson transform of equations (4), (6) and that it is well known equilibrium and kinematic relations, are obtained. The field equations are obtained in Laplace-Carson space. These equations can be written in operator form. Q=Ly-f (10) The explicit form of the operator is xvnQ = m u n M f Y ü n ü î M q m 0 0 0 0 T M -n -ü If the operator Q is potential - \ * = must be satisfied. After satisfying the above equation the functional is obtained l i(y) = Jrfn o Inserting equation (10) into equation (13) the functional for viscoelastic beam is i(y) = - 3,-rr -[q,u]- m,Q + ü,T + Jf Q,M + (T-T),u a (M-M),Q where [, ] is inner product which is defined as [f,g] = Jfgdz (11) (12) (13) (14) (15) The functional variables in equation (14) are in Laplace-Carson space. Therefore the finite element formulation belongs to the same space. The finite element method provides a general and systematical technique for constructing the appropriate basis. The regularity of the shape function depends on the maximum degree of derivatives in the functional since the first derivatives of the variables exist in the functional given in equation (14). Conforming element formulation for the shape function \\i[ must satisfy completeness and compatibility requirements. The shape functions for finite element are xvmvı = (i-9 V2=4 (16) where for straight and circular viscoelastic beam ^=^L. ^ = ±A. (17) Zj-Zi 0j-9i Two nodal variables and applied loads given in equations (14) are expressed by shape functions vj/j in the element. 2 2 2 u=ZuiVi M=SMiV|/i q=ZqiM/i (18) i=l i=l i=l Inserting these approximations into the functional equation (14) and extremizing with respect to nodal variables yields the following element matrix for viscoelastic beam in operator form: N-|yj) = [fi] 09) All of the parameters are functions of Laplace parameter. The new mixed finite element formulations are derived in transformed space. In these approaches the Laplace transform of viscoelastic field equations and boundary conditions are formally identical with the equations for an elastic body of the same geometry. In this formulation elastic modulus is replaced by the operational modulus. And the numerical solution is obtained for different numerical values of the transform parameter p. The final step is numerical Laplace inversion process. The classification of Laplace inversion techniques are given in literature. In this study, the Schapery collocation method, Maximum degree of precision method, Dubner Abate method and Durbin method are employed. The performance of the method is tested through various quasi-static and dynamic problems. The properties of this formulation briefly are:. The Schapery collocation inverse transform method is very suitable for quasi-static problems under the loads which are constant with time.. If the applied load varies with time, Fourier inverse transform method gives good results for both quasi-static and dynamic problems. In the solution, the oscilation is observed when time increases, depending on the number of elements used in the series.. This method is suitable to handle various structures with irregular geometries and time dependent loading.. It is found that the responses of the Timoshenko beam and the conventional beam of quasi-static behaviour are very close.. This methods avoids shear locking.. From the free vibration analysis, it is observed that the vibration is damping with time. Damping time is inversely proportional with the viscocity coefficient.. The effect of beam height on the vibration is investigated. It is found that the frequency of vibration is inversely proportional to the depth of the beam.. The established method is very suitable for other structures, such as three dimensional beams, plates and shells. This type of problems are under study. xix

Benzer Tezler

  1. Tez No

    398121

    The dynamic analysis of non-cylindrical viscoelastic helical bars using mixed finite element method

    Silindirik olmayan viskoelastik helisel çubukların karışık sonlu eleman yöntemi ile dinamik analizi

    MERVE ERMİŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2015

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET HAKKI OMURTAG

  2. Tez No

    297001

    İzleyici olmayan basınç kuvveti altındaki doğrusal kauçuk benzeri viskoelastik çubukların zamana bağlı davranışı

    The time dependent behavior of linear rubber-like viscoelastic rods subjected to non-follower compressive force

    AHENK AYTAÇLI

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2011

    İnşaat MühendisliğiYıldız Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. R. FARUK YÜKSELER

  3. Tez No

    485347

    Longitudinal wave characteristics of magnetic field sensitive viscoelastic polymeric rods

    Manyetik alana duyarlı viskoelastik polimer çubuklarda eksenel dalga karakteristikleri

    GÜLEN DİLARA GÜNALP

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2017

    Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. CEMAL BAYKARA

  4. Tez No

    315218

    Analysis of dynamic behavior of viscoelastic helicoidal rods with mixed finite element method.

    Viskoelastik helisel çubukların dinamik davranışının karışık sonlu elemanlar yöntemiyle analizi.

    ÜMİT NECMETTİN ARIBAŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2012

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET HAKKI OMURTAG

  5. Tez No

    739468

    Fonksiyonel derecelenmiş malzeme ve değişken kesitli silindirik ve silindirik olmayan viskoelastik helisel çubukların dinamik analizi

    Dynamic analysis of cylindrical and non-cylindrical viscoelastic helical rods with functionally graded material and variable cross-section

    YAVUZ ÇETİN CUMA

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2022

    İnşaat MühendisliğiAdana Alparslan Türkeş Bilim Ve Teknoloji Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. FARUK FIRAT ÇALIM

Geri Dön