Geri Dön

İçerisinde akışkan bulunan öngerilmeli ince elastik tüplerde nonlineer dalga yayılması

Nonlinear wave propagation in a prestressed fluid-filled thin elastic tabes

  1. Tez No: 100750
  2. Yazar: NALAN ANTAR
  3. Danışmanlar: PROF.DR. HİLMİ DEMİRAY
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Mühendislik Bilimleri, Engineering Sciences
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 1999
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 135

Özet

İÇERİSİNDE} AKIŞKAN BULUNAN ONGERILMELI İNCE ELASTİK TÜPLERDE NONLİNEER DALGA YAYILMASI ÖZET Literatürde, içerisinde akışkan bulunan tüplerde basınç dalgası yayılımı problemi bir çok araştırmacı tarafından incelenmiştir. Bu problemin biyomühendislik açısından önemi, damarlar daki kan akımının pulsatif bir akım olarak modellenmesidir. Damarlarda, dalga yayılımı üzerine yapılan çalışmaların çoğunda nonlineer etkiler ihmal edilmiş ve dalgaların sadece dispersif karakterleri incelenmiştir. Oysa, akışkanın konvektif terimlerinden veya tüp malzemesinin bünye bağıntısından ileri gelen nonlineer etkiler işin içine sokulduğu zaman nonlineeritenin mertebesine bağlı olarak, sonlu fakat küçük genlikli dalgaların yayılmasının incelenmesi gerekir. Bu çalışmada İÇİ viskoz ve viskoz olmayan sıkışmaz bir akışkan ile dolu elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılımı probleminin asimptotik analizi yapılmıştır. Birinci bölümde kısaca konunun tarihsel gelişiminden söz edilmiş ve bu konuda yapılmış teorik çalışmalar özetlenmiştir, ikinci bölümde ise çalışmanın esas konusunu oluşturacak olan, içerisinde sıkıştırılamayan viskoz akışkan bulunan öngerilmeli ince elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı probleminde kullanılacak olan alan denklemleri elde edilmiştir. Bölüm 3'te bu çalışmada kullanılacak olan pertürbasyon yöntemleri hakkında kısa bilgiler verilmiştir. Bölüm 4'te içerisinde viskoz akışkan bulunan ince elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların yayılımı problemi indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Dispersiyon, dissipasyon ve nonlineerite arasındaki dengeye bağlı olarak pertürbasyon açılımmdaki en düşük mertebeden terimleri yöneten denklemlerin, Korteweg-de Vries-Burgers ve Korteweg-de Vries denklemleri olduğu gösterilmiştir. Bu denklemlerin ilerleyen dalga çözümleri ve elde edilen bir kısım sayısal sonuçlar yine aynı bölümde verilmiştir. Reynolds sayısının çok büyük veya viskozitenin çok küçük olduğu durumlarda akımın davranışı büyük ölçüde ideal akışkanmkine yaklaşır ve viskoz etkiler sınır yakınında ince bir tabakada sınırlandırılır. Yine aynı bölümün içinde viskozitenin küçük olduğu varsayılmış ve sınır tabakası yaklaşımı kullanılarak zayıf nonlineer dalgaların yayılması incelenmiştir. Dispersiyonun mertebesine bağlı olarak viskozite-KdV ve viskozite-Burgers denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlere ilerleyen dalga tipinde çözüm elde etmek oldukça zordur. Bu nedenle bu bölümün sonunda V-KdV denklemi için sayısal çözüm verilmiş ve elde edilen sonuçların tartışması Bölüm 4'ün sonunda sunulmuştur. Bölüm 5'de, içi viskoz olmayan akışkanla dolu nonlineer elastik tüpte zayıf nonlineer, fakat kuvvetli dispersif ortamlarda dalgaların genlik modülasyonu incelenmiş ve böyle bir ortamda yönetici denklem olarak nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Beşinci bölümün en son kısmında Nonlineer Schrödinger denkleminin bazı özel çözümleri verilmiş ve düzlem dalga çözümlerinin kararlılığı bazı malzemeler ve başlangıç şekil değiştirmeler için sayısal olarak incelenmiştir. vıTemel Denklemler Nonlineer elastik tüpün hareket denklemleri A* ( ± \ 9 Wr Ju 9Vr dVz\du x=l+u +ıan»L]-[1 A, dz V A dhz dz dw\ 5E az / dA.0 sdu (dVr dVz\ n dVzdu İP0+p)dz--U{-dz- + -o7 +2u^7dz- J z=l + u + d (\ as öz VAöAz ma,. (1) (2) Burada m,iü radyal ve eksenel yöndeki yer değiştirmeleri, p akışkan basınç fonksiyonunu, Vr, Vz akışkanın radyal ve eksenel yöndeki hız bileşenlerini, v kinematik viskoziteyi, E şekil değiştirme enerjisi fonksiyonu, ar, az ise ivme bileşenlerini göstermektedir. E şekil değiştirme enerjisi fonksiyonunun, A$ ve Az'in analitik bir fonksiyonu olduğu kabul edilerek, u - 0, du/dz = 0 ve dw/dz = 0 civarında seriye açılmıştır. Bu açılımlar (1) ve (2) denklemlerinde yerine yazıldığında nonlineer elastik bir tüp için hareket denklemleri yerdeğiştirmeler ve onların türevleri cinsinden elde edilebilir. Ana metinde yer alan bu denklemler yer tasarrufu nedeniyle burada verilmemiştir. Akı§kan denklemleri : Kan sıkışmaz Newtoniyen tipte bir akışkan gibi alınarak silindirik koordinatlarda hareket denklemleri aşağıdaki şekilde verilebilir dVr, Tr dVr, rr dVr dp _ C?Vr_ \_dVr_ _ Vr_ ^K dx dx2 x dx x2 dz2 _ı_ dp t d2Vz 1 dVz + dx2 x dx + d2Vz dz2 ), (3) (4) (5) Bu alan denklemlerinin aşağıdaki sınır koşulunu'sağlaması gerekir Vr du du dw dw._! ~dt+l)z“dt^ ~~dz~' \x=l+u (6) Zayıf Nonlineer Dalgalar (l)-(6) denklemleri kullanılarak dissipatif ve dispersif ortamlarda küçük fakat sonlu genlikli dalgaların yayılımı indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak vuincelenmiştir. Bunun için aşağıdaki şekilde koordinat dönüşümü tanımlanabilir £ = ea{z-gt), r = ea+lgt. (7) Burada e nonlineeritenin küçüklüğünü sembolize eden bir parametre, a ise daha sonra belirlenecek olan bir sabittir. Ayrıca alan değişkenlerinin aşağıdaki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabileceği kabul edilmiştir oo oo oo u = £ enun(£, r), w = £ et-^wnit, t), p = £ 6»pB(£, r) n=l n=l n=l OO oo n=l n=l Burada un, wn, pn,Vrn ve Vzn alan denklemlerinin çözümü sonucunda belirlenecek olan fonksiyonlardır. (7) dönüşümü ve (8) açılımları alan denklemlerinde yerine yazılır ve v = ç?v olduğu varsayılıp e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler sıfıra eşitlenirse, bir diferansiyel denklemler sınıfı elde edilir. Sırasıyla 0(e) ve 0(e2) mertebesindeki denklemler çözülecek olursa aşağıdaki evolüsyon denklemleri bulunur (z) a = 1/2 ve Ş - 1/2 hali : Bu durumda yönetici denklem dissipasyonun, dispersiyonun ve nonlineeritenin denge durumunda olduğu Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) denklemine indirgenir dU TTdU d3U d2U n -^ + ^U-+lı2- + ^W = 0. (9) (ii) a = 1/2 ve f3 = 3/2 hali : Bu durumda yönetici denklem dispersiyonun ve nonlineeritenin denge durumunda olduğu Korteweg-de Vries (KdV) denklemine indirgenir dU TTdU d3U n ^ + ^+,ıW = 0 (10) Yaklaşık Akışkan Denklemleri : Bu kısımda alan değişkenleri radyal koordinatla değişmeyen yaklaşık akışkan denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemler aşağıdaki şekilde verilebilir du (1 + u) dv du.,,. dv_ dv_ dp_-\LcPv_ 2 (dV*\ Burada v akışkanın eksenel yöndeki ortalama hızını, R ise Reynolds sayısını vıııgöstermektedir. Akışkan için,bu yaklaşık denklemler kullanılarak içerisinde akışkan bulunan öngerilmeli elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılması incelenmiştir. Nonlineerite, dissipasyon ve dispersiyon arasındaki dengeye bağlı olarak, evolüsyon denklemleri sırasıyla Korteweg de Vries-Burgers,Korteweg-de Vries ve nonlineer diferansiyel denklemleri elde edilmiştir. Sınır tabakası yaklaşımı : Bu kısımda, içerisinde viskoz akışkan bulunan ince elastik bir tüpün nonlineer hareket denklemleri alınarak zayıf nonlineer dalgaların yayılımı sınır tabakası yaklaşımı kullanılarak incelenmiştir. Akışkan için, (11) ve (12) ile verilen yaklaşık denklemleri alınmıştır. (7) dönüşümü ve y = (ve)~l gl'2(l - r + u), F= (ea+2R)~1'2 kordinat dönüşümü (12) denkleminde yazılırsa dv dv dp dv e2a+2 d2v 2vg1l2e f dVz\ n /10, -9K+9efr + K+vYr^rw+T^{iîy-)=0 (l3) bulunur. (8) açılımı (l)-(2) ve (11)-(13) denklemlerinde yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler sıfıra eşitlenirse diferansiyel denklemler sınıfı elde edilir. Bu diferansiyel denklemler sınıfı çözülürse aşağıdaki master denklem elde edilir eu. _,. eu,”_, eru_ 2a+l smj_ 1/2 /av* gT,VlV ^+V2 «?-> _ +Fs e- ^W ^) = 0. (14) Burada dVz\/dy terimi sınır tabakası denklemleri kullanılarak bulunacaktır. y = (ue)~1g1/2(l - r + u), V - (ea+2i?)-1/2 kordinat dönüşümü Navier-Stokes denklemlerinde yazılırsa sınır tabakası denklemleri ve sınır koşulları elde edilmiştir. Bu denklemler Duhamel teoremi kullanılarak çözülür ve a = 1/2 ve a = 3/2 seçilerek (14) denkleminde yazılırsa sırasıyla viskozite-KdV ve viskozite-Burgers denklemleri elde edilir dU_ dr dU_ dr + ¥ı U ^ + fr |^ = 2/Z4 g*/2(l + l)J U& + r,, r) (r^)-1/2 drj oo + fr U ^ = 27J4 gz'2(l + V-)J U& + V: r) (ıpr)“1'2 A/. (15) Nonlineer Dalga Modülasyonu Bu kısımda, içerisinde akışkan bulunan tüplerde zayıf nonlineer dalgaların genlik modülasyonu incelenmiştir. Eksenel yöndeki bağdan (tethering) dolayı tüpün eksenel yöndeki yerdeğiştirmesi ihmal edilmiştir. İç basıncın etkisi altında bir tüpün radyal yöndeki hareket denklemi aşağıdaki şekilde verilebilir, d2u,”“ N d2u d2u 2 82u IX+ (fa + Po - Şı) u2 + (a0 - aj) u - - ~ai f- J + {03 +h~fa- Şo) u3 + (ai - a2 - a0) u2 - + -{-2a2 + aı)u^ + -(«”-*) (^J ^. (16) Bu problemde indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılmıştır. Bu amaca yönelik olarak aşağıdaki koordinat dönüşümü tanımlanabilir f = e (z - Ai), r = e2 t. (17) Burada A bir sabit olup daha sonra bu sabitin grup hızına eşit olduğu gösterilecektir. Alan değişkenlerinin (z, t) hızlı değişkenleri ile (£,r) yavaş değişkenlerinin fonksiyonu olduğu farzedilmiştir. Yukarıdaki koordinat açılımından faydalanarak türev ifadeleri aşağıdaki gibi verilebilir d d d d d, d 2 d âz-^âz- + e^; m^di-eXdl + ed^- (18) Alan değişkenlerinin aşağıdaki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabileceği varsayılmıştır. oo {it, p, Vr, K} = 5^£n{Wn, Pn, Vrn, Vzn) 71=1 oo {«», Pn, Kn, Vzn}= £ [Unl\ Pnl\ Vİ2, Vİ5} exp[il(ut - kz)\ (19) Z= - oo Burada un'nin reel olabilmesi için Un - Un koşulunun sağlanması gerekir. (19) açılımları ve (17) dönüşümleri (16) ve akışkan denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre düzenlenirse bir diferansiyel denklemler hiyerarşisi elde edilir. Bu denklemlerin çözülmesiyle aşağıdaki nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir dU d2U İ-^+P-qçT + 9\U\U = 0. (21) NLS denkleminin kararlı çözümleri genellikle Jokabiyen elliptik fonksiyonları cinsinden ifade edilir ve özel durumlarda düzlem dalga, faz sıçrama, karanlık ve parlak zarf solitonlarmı içerir.

Özet (Çeviri)

NONLINEAR WAVE PPROPAGATION IN A PRESTRESSED FLUID-FILLED THIN ELASTIC TUBES SUMMARY The propagation of pressure pulses in fluid-filled distensible tubes has been studied by several researchers in the current literature. Such problems have been investigated, especially, in view of their applications to physiological problems involving pulse propagation in large blood vessels. In most of the works on wave propagation in compliant tubes, small amplitude waves have been considered, ignoring the nonlinear effects and focused on the dispersive character of the waves. However, when the nonlinear effects arising from the convective terms of fluids and/or the constitutive relations of tube materials are introduced, one has to consider either finite amplitude, or small-but-finite amplitude waves, depending on the order of nonlinearity. In this work, the propagation of weakly nonlinear waves in a prestressed thin elastic tubes filled with an incompressible viscous or inviscid fluid is studied. In Chapter 1, the historical evolution of the subject and some theoretical works in the existing literature on this area are presented. In Chapter 2, the nonlinear field equations that we need in studying the propagation of weakly nonlinear waves in fluid filled elastic tubes are obtained. The perturbation methods that we shall utilize in this work is briefly discussed in Chapter 3. In Chapter 4, employing the reductive perturbation method, the propagation of weakly nonlinear waves in elastic tubes, filled with a viscous fluid, is studied. Depending on the balance between the nonlinearity, dispersion and/or dissipation, the evolution equations are obtained as Korteweg-de Vries Burgers and Korteweg-de Vries equations. A progressive wave type of solution to these equations is sought and the numerical analysis of them is also given in the same chapter. In this case small viscosity (or large Reynolds number), the behaviour of viscous fluid is quite close to that of ideal fluids and viscous effects are confined to a very thin layer near the boundary. Assuming that viscous effects are very small, using the boundary layer approximation the propagation of weakly nonlinear waves is investigated in the same chapter. Depending on the order of dispersion the viscous-Korteweg-de Vries and viscous-Burgers equations are obtained. It is not so easy to obtain a progressive wave type of solution to these equations. Therefore, a numerical solution for viscous-Korteweg-de Vries equation are given and a discussion of the obtained results is presented at the end of Chapter 4. Finally, in Chapter 5, In the final section of Chapter 5 the amplitude modulation of weakly nonlinear waves in a fluid filled elastic tube is examined for strong dispersion and nonlinear Schrödinger equation is obtained. In the final section of Chapter 5 some special solutions of the NLS equation are given and the modulational instability of the plane wave solution is discussed for some elastic materials and initial deformations. XIBasic equations Nonlinear equations of elastic tube A* + A6 + {PO +P) ~2V~Q ^V dVr dVz\ d dz dx J dz yu ? x=l+« d fldUdu dz V A dkz dz dw\ ÖE dz J 8Kb ma ri. du fdVr dVz\ dVzdu d (\ d£ dz V A5A2 = maz, (1) x=l+u (2) where u,w are the radial and the axial displacements, p is the fluid pressure function, A and Ag are the stretches in the related directions,,Vr and Vz are the fluid velocity components in the radial and axial directions, v is the kinematic viscosity of the fluid, S is the strain energy density function, ar and az are the accelaration components in the radial and axial directions. Assuming that the strain energy density function E is analytic in A# and Az, we may expand it into a power series around u - 0, dw/dz = 0 and du/dz - 0. If these expansions are substituted into equations (1) and (2) we obtain the nonlinear equations of motion of elastic tubes in terms of radial and axial displacements and its derivatives. However for the sake of saving some space these equations are not given here. Equations of fluid : Treating blood as an incompressible Newtonian fluid, the equations of motion in the cylindrical polar coordinates can be given as follows dt r dx z dz dx dVz dt dVr dx + VT dVz dx Vr dV2 + V2 dV, + - + x dz z dz = 0. z + dp dz d2Vr. ldVr dx2 d2Vz + x dx ldVz dx2 ' x dx x' d2Vr dz2 ), + + d2Vz dz2 ), (3) (4) (5) These field equations must satisfy the following boundary condition du du dw dt + dz dt dw\~x -z-\ =vr x=\-\-u' (6) Weakly Nonlinear Waves Using the equations (1) and (6) the propagation of small but finite amplitude waves in a dispersive and dissipative medium will be studied, in the long wave limit, through the use of reductive perturbation method. For this purpose we xnintroduce the following stretched coordinates t = ea(z-gt), T = ea+igt (7) where e is a small parameter measuring the weakness of dispersion, nonlinearity and dissipation; a is a positive constant whose value will be determined later. We further assume that the field quantities can be represented by asymptotic series as oo oo oo u = Y, «“«»& T)> w = E tn~l'2wn{Z, r), p = Y znPn(t, r) 71=1 71=1 71=1 OO oo Vr = Y en+1/2^(e, r; x), VZ = Y *n Vznit, T\ *). (8) n=l n=l where un, wn, pn,Vrn and Vzn are some unknown functions to be determined from the solution of the field equations. Introducing the transformation (7) expansion (8) into eq. (l)-(6) and assuming that a = 1/2 and v - vt$ setting the like powers of e equal to zero we obtain the sets of differential equations. If we solve the 0(e) and 0(e2) order equations, we obtain the following evolution equations. {%) a = 1/2 and (3 = 1/2 : In this case the governing equation is obtained as the following Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) equation dU dU d3U d2U _+AilZ7_ + M2- + /x,- = 0, (9) which is obtained by balancing the non-linearity with dispersion and dissipation. (ii) a = 1/2 and (3 = 3/2 : In this case the governing equations reduce to the well-known Korteweg-de Vries equation dU TTdU d3U n *+^-âf + ”»âğr = o, (io) which results from the balance of nonlinearity with dispersion. Approximate fluid equations : In this section we obtain a set of approximate fluid equations whose field variables do not change with the radial coordinate. These equations can be given as follows du (1 +u) dv du,_“. du dv_dp_ ^dN_ 2 (dvA dt+Vdz + dz~ Rdz*+ R(l + u)\dr ) r=1+u { ] where v is the averaged fluid velocity in the axial direction and R is the Reynolds xmnumber. Using the approximate equations for the fluid body we study the propagation of weakly nonlinear waves in a fluid-filled non-linear thin tube. Depending on the balance between the nonlinearity, dissipation and dispersion, the evolution equations are obtained as the Korteweg de Vries-Burgers equation, the Korteweg-de Vries equation, and the nonlinear differential equation, respectively. Boundary layer approximation : In this section, employing the nonlinear equations of an elastic thin tube containing an incompressible viscous fluid, the propagation of weakly nonlinear waves is studied by use of the boundary layer approximation. For the fluid body, the set of approximate equations, which are given the equations (11) and (12), is employed. Introducing the transformation (7) and the coordinate transformation y = gll2(ve)~l{l - r + u), v = (ea+2.R)-1/2 into the equation (12) we obtain 9., *» dv e2”+2 d2v 2Fj“2? (dV,\ -'T(+9efr + Tt+vTC^W + -(TTu){-w),=r0- (1S) Substituting the expansion (8) into the fields equations (l)-(2) and (11)-(13), setting the coefficients of the same power e equal to zero, we obtain a set of differential equations. Solving these differential equations we obtain the following master equation dU TTdU 2a_i d3U 2a+i92U _ ll2fdVzl\ n,_ Here dVz\/dy will be obtained by using the boundary layer equations. Substituting coordinate transformation y = g1'2(ve)~1(l - r + u), v = (ea+2-R)-1/2 into Navier-Stokes equations we obtain the boundary layer equations and the boundary conditions. Solving these equations by use of Duhamel theorem and substituting it into the equation (14) and choosing a = 1/2 and a = 3/2 we obtain viscosity-KdV and viscosity-Burgers equations, respectively rv-i dU. _ ”dU. _ d3U dr o oo ft tf fjr = 2ft g*'2{l + \)j UM + 17, r) {7,*)-1/2dr,. (15) dU“ dU â7 + - Nonlinear Wave Modulation In this section we shall examine the amplitude modulation of weakly nonlinear waves in a fluid- filled non-linear thin elastic tube. Due to axial tethering, no axial displacement is allowed. The nonlinear equation of motion in the radial direction, under the effect of inner pressure may be xivgiven as follows i d2u d2u d2u o d2u,n n n s 2 / N ^ U 1 / 8u \ + (S2+/30-Si)u2 + (a0-al)u---a1 f- J d2u + (Aj + Pi - fc - Şo) uz + (ax -a2- a0) u2 - 1, n. (duy 3, N (duy d2u, s + -(-2a2 + a1)u - +-(«o-7i) U”^T- (16) 2 3, ^ fduV dh r _, _“ j +ğ(ao-7ı) (^J ^2 We employ the reductive perturbation method and introduce the following coordinate stretching t = e(z- At), t = e2t, (17) Here e is a small parameter measuring the weakness of nonlinearity, A is a constant which will be shown to be the group velocity. We further assume that the field quantities are functions of fast variables (z, t) and also slow variables (£, r). Thus the following substitution is permissible: d d d d d, d 2 d We shall assume that the field variables are expressible as asymptotic series in e. oo {u, p, Vr, Vz} = ]Pen{un, p”, Vrn, Vzn}, n=l oo K, Pn, Vrn, Vzn) = £ [u«\ P%\ Vff, V$) exp[il{ut - kz). (19) l=- oo For un to be real the condition Un - Un should be satisfied. Introducing the substitution (18) and the expansions (19) into the field equations (16), and Navier-Stokes equations and setting the coefficients of the same power of e equal to zero, we obtain the set of differential equations. If we solve this set of differential equations we obtain the following Nonlinear Schrödinger equation dU d2U ij; + p-ğp + q\U\U = 0. (20) The steady-state solution of the NLS equation, which generally represents the wavetrains expressible in terms of the Jacobian elliptic functions, include a bright and dark envelope solitons, a phase jump and a plane wave with a constant amplitude, as special cases. xv

Benzer Tezler

  1. Tez No

    100675

    İçerisinde akışkan bulunan viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga modülasyonu

    nonlinear wave modulation in viscoelastic and elastic thin tubes filled with an inviscid fluid

    GÜLER AKGÜN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1999

    Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF.DR. HİLMİ DEMİRAY

  2. Tez No

    166628

    İçerisinde akışkan bulunan değişken yarıçaplı elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı

    Nonlinear wave propagation in fluid filled tapared elastic tubes

    ALİ ERİNÇ ÖZDEN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2005

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. NALAN ANTAR

  3. Tez No

    68899

    Ön gerilmeli elastik tüp içerisinde pulsatif akımın incelenmesi

    An investigation of pulsatile flow in a prestressed thin elastic tube

    İLKAY BAKIRTAŞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik Üniversitesi

    Mekanik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HİLMİ DEMİRAY

  4. Tez No

    223418

    İçerisinde parçacıklı viskoz akışkan bulunan öngerilmeli lifli viskoelastik kalın tüplerde harmonik dalga yayılımı

    Propagation of harmonic waves in prestressed fiber viscoelastic thick tubes filled with a viscous dusty fluid

    RAHMİYE ERGÜN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2008

    Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. ALİ ERCENGİZ

  5. Tez No

    178928

    İçerisinde parçacıklı akışkan bulunan öngermeli, lifli, tabakalı elastik kalın tüplerde harmonik dalga yayılımı

    Harmonic wave propagation in thick prestressed fibrous layered elastic tubes filled with fluid containing dusty particles

    HAKAN EROL

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2008

    BiyomühendislikEskişehir Osmangazi Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HASAN GÖNEN

Geri Dön