Yüksek mertebeden doğrusal olmayan reaksiyon-difüzyon modellerinde dinamik geçişler
Dynamic transitions in higher-order nonlinear reaction-diffusion models
- Tez No: 1011632
- Danışmanlar: PROF. DR. MUSTAFA TAYLAN ŞENGÜL
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Marmara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışmasında, bir uzay boyutunda ve sınırlı bir aralık üzerinde tanımlanan yüksek mertebeden doğrusal olmayan terimler içeren reaksiyon–difüzyon modellerinin birinci dinamik geçişlerinin kapsamlı bir karakterizasyonu sunulmaktadır. Çalışmanın temel amacı, kontrol parametresinin kritik değeri aşmasıyla ortaya çıkan birinci dinamik geçişin, sistemin yüksek mertebeden doğrusal olmayan yapısı tarafından nasıl belirlendiğini eksiksiz biçimde ortaya koymaktır. Bu doğrultuda, merkez manifold indirgeme yöntemi ile dinamik geçiş teorisinin sınıflandırma tekniği birlikte uygulanmış ve orijinal sistemin kritik parametre civarındaki davranışı indirgenmiş denklem aracılığıyla belirlenmiştir. Tez kapsamında, hem skaler reaksiyon–difüzyon denklemlerinin hem de iki bileşenli genel reaksiyon–difüzyon sistemlerinin birinci geçiş dinamikleri ayrıntılı biçimde incelenmiştir. Çalışmanın en önemli katkısı, geçiş karakterini belirleyen kritik indeks ve geçiş sayısı için, doğrusal olmayan operatörün Taylor katsayıları ile doğrusal operatörün spektral özellikleri cinsinden tam ve kesin formülasyonların türetilmesidir. Böylece geçiş sayısının, hem kritik modun öz-etkileşimlerinden hem de kararlı modlarla olan çapraz-etkileşimlerinden kaynaklanan iki farklı türdeki katkı ile belirlendiği ortaya konmuştur. Elde edilen formülasyonlar sayesinde, sistemin sürekli, sıçramalı veya karma geçiş türlerinden hangisini sergileyeceği parametreler cinsinden sistematik olarak sınıflandırılmış; ayrıca yüksek mertebeden doğrusal olmayan terimlerin geçiş mekanizmasında belirleyici rol oynadığı kesin biçimde gösterilmiştir. Bu analizler, literatürde çoğunlukla özel modellere odaklanan ve genel formdaki denklemleri düşük mertebeli doğrusal olmayan terimlerle sınırlayan çalışmaları genelleştirmekte ve doğrusal olmayan reaksiyon–difüzyon modelleri için geçerli genel bir sınıflandırma sunmaktadır. Bu çalışma, yüksek mertebeden doğrusal olmayan yapının birinci dinamik geçişler üzerindeki etkisini açık ve hesaplanabilir bir çerçevede ortaya koyarak literatürde bu konuya ilişkin önemli bir boşluğu doldurmaktadır.
Özet (Çeviri)
In this thesis, a comprehensive characterization of the first dynamic transitions of reaction–diffusion models with higher-order nonlinear terms defined on a bounded interval in one spatial dimension is presented. The primary objective is to characterize how the first dynamic transition, occurring when a control parameter crosses a critical value, is governed by the higher-order nonlinear structure of the system. To achieve this, the center manifold reduction method is combined with the standard classification framework of dynamic transition theory, and the behavior of the original system near the critical parameter value is analyzed through the reduced equation. Within the scope of the thesis, the first transition dynamics of both scalar reaction–diffusion equations and general two-component reaction–diffusion systems are investigated in detail. The main contribution is the derivation of exact formulations for the critical index and the transition number, expressed in terms of the Taylor coefficients of the nonlinear operator and the spectral properties of the linear operator. It is shown that the transition number is determined by two distinct contributions arising from the self-interactions of the critical mode and the cross-interactions with the stable modes. These formulations allow the transition type (continuous, jump, or mixed) to be classified directly in terms of system parameters. Furthermore, it is rigorously shown that higher-order nonlinear terms play a crucial role in the transition mechanism. The results extend analyses previously restricted to low-order nonlinearities and provide a general, computable classification framework for nonlinear reaction–diffusion models, thereby filling an important gap in the literature.
Benzer Tezler
- Reduced-order modeling of cross-diffusion systems
Çapraz difüzyon sistemleri için model indirgeme yöntemleri
GÜLDEN MÜLAYİM
Doktora
İngilizce
2022
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiBilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BÜLENT KARASÖZEN
DOÇ. DR. MURAT UZUNCA
- A compact finite difference method of lines for solving non-linear partial differential equations
Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için bir kompakt sonlu farklar çizgiler yöntemi
SHODIJON ISMOILOV
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Matematikİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. GAMZE TANOĞLU
PROF. DR. GÜRHAN GÜRARSLAN
- Potansiyel kuyu metodu ile bazı kısmi türevli denklemlerin çözümlerinin varlığı
Existence of solutions of some partial differential equations with the potential well method
AYŞE DEMİRHAN
- Değişken katsayılı evolüsyon denklemlerin çözümlerinin davranışı
Behavior of solutions of variable coefficient evoluation equations
AYŞE FİDAN
- An ALE approach for free surface simulations
Serbest yüzey simülasyonları için ALE yaklaşımı
ÇAĞATAY GÜVENTÜRK
Yüksek Lisans
İngilizce
2016
Havacılık ve Uzay Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET ŞAHİN
