ARA integral dönüşümü yöntemi ile hiperbolik denklemlerin çözümü
Solution of hyperbolic equations via ARA integral transform method
- Tez No: 1017231
- Danışmanlar: PROF. DR. METİN YAMAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Doğada gözlemlenen fiziksel olayların ve mühendislik sistemlerinin zaman ve uzay içinde dinamik davranışlarını anlamak, bu süreçlerin matematiksel olarak ifade edilmesi ve modellenmesine doğrudan bağlıdır. Fiziksel sistemler, enerji ve bilginin ortamda yayılımı, deformasyon ve etkileşim gibi karmaşık süreçleri içerir ve bu süreçlerin tümü sistemin genel dinamik davranışına katkı sağlar. Bu tür sistemlerin davranışını analiz etmek ve tahmin etmek için kullanılan en temel matematiksel araçlardan biri kısmi diferansiyel denklemlerdir (KDD). KDD'ler yalnızca sistemin mevcut durumunu belirleyen değişkenler arasındaki karmaşık ilişkileri ve bağımlılıkları ortaya koymakla kalmaz, aynı zamanda sistemin zaman içerisindeki evrimini doğru bir biçimde tahmin etmede de kritik bir rol oynar. Bu denklemler aracılığıyla, dalga yayılımı, akışkan davranışı, titreşim, enerji dağılımı ve elektromanyetik süreçler gibi çok sayıda fiziksel olgu sistematik ve tutarlı bir biçimde modellenebilir; bu sayede araştırmacılar, aksi takdirde ölçülmesi veya analiz edilmesi güç olan davranışları inceleyebilir. Kısmi diferansiyel denklemler, yapılarına göre eliptik, parabolik ve hiperbolik olmak üzere üç ana sınıfa ayrılır. Bu sınıflandırma, çözüm davranışını ve denklemlerin matematiksel özelliklerini belirlemede temel bir rol oynar. Hiperbolik denklemler, bilginin ve enerjinin sonlu bir hızla yayıldığı sistemleri modelleyen temel yapılar olarak hizmet eder ve zaman-mekân dinamiklerini gerçekçi biçimde temsil etmek için gereklidir. Bu özellik, hiperbolik denklemleri fiziksel süreçlerin doğru modellenmesinde vazgeçilmez kılar. Dalga yayılımı, taşınım, sinyal iletimi ve mekanik veya elektriksel titreşim gibi olaylar, hiperbolik denklemler yardımıyla matematiksel olarak ifade edilebilir ve bilgi transferinin hızı ve yönü bu denklemlerle yakalanabilir. Hiperbolik sistemlerin belirleyici özelliklerinden biri, çözümün yalnızca sınırlı bir etki alanında ortaya çıkmasıdır. Bu kavram, bağımlılık ve etki alanı terimleriyle açıklanır ve fiziksel nedenselliğin korunmasını sağlar. Etki ve bağımlılık alanları, çözümün hangi başlangıç verilerine bağlı olduğunu ve hangi bölgeyi zaman içinde etkileyebileceğini belirler, bu da sayısal yöntemlerin tasarımı, kararlılık analizleri ve doğruluk değerlendirmeleri için kritik bir referans sağlar. Hiperbolik denklemlerin tarihsel gelişimi, matematiksel fiziğin ve diferansiyel hesapların ilerlemesiyle paralel olarak ilerlemiştir. Özellikle Jacques Hadamard, Augustin-Louis Cauchy ve Peter D. Lax gibi matematikçilerin öncü çalışmaları, hiperbolik sistemlerin teorik temellerini oluşturmuştur. Bu katkılar, başlangıç değer problemlerinin çözümü, iyi tanımlanmışlık koşulları ve çözümün sürekliliği gibi temel konuları kapsamaktadır. Bu çalışmalar sayesinde hiperbolik denklemler hem analitik hem de sayısal yöntemlerle incelenebilir hâle gelmiş ve günümüz mühendislik ve fizik uygulamalarının geniş yelpazesi için temel oluşturmuştur. Bu tez çalışmasının temel amacı, hiperbolik karakterdeki kısmi diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek için geliştirilen ARA integral dönüşüm yöntemini incelemek ve bu yöntemin etkinliğini göstermek olarak belirlenmiştir. İntegral dönüşüm teknikleri, diferansiyel denklemleri daha basit cebirsel yapılar ve operatörler halinde ifade ederek çözümü kolaylaştıran güçlü matematiksel araçlardır. Tarihsel olarak Laplace ve Fourier dönüşümleri, özellikle sabit katsayılı lineer sistemlerin çözümünde uzun yıllardır etkili bir biçimde kullanılmaktadır. Ancak klasik dönüşümler, sabit çekirdek yapıları nedeniyle değişken katsayılı ve kesirli mertebeden sistemlerde sınırlılıklar göstermektedir. ARA integral dönüşümü, çekirdeğinde bulunan t^(n-1) şeklindeki parametrik yapı sayesinde bu sınırlılıkları aşmayı hedefler. Bu özellik, farklı dönüşüm türlerini tek bir genel çatı altında birleştirme ve probleme uygun parametreleri seçme olanağı sağlar. Böylece, klasik yöntemlerin yetersiz kaldığı durumlarda esnek ve uyarlanabilir bir çözüm yaklaşımı sunar. Çalışmanın başında, ikinci mertebeden lineer KDD'ler diskriminant temelli olarak sınıflandırılmış ve hiperbolik denklemlerin kuramsal özellikleri detaylı biçimde incelenmiştir. Bu sınıflandırma, çözüm yöntemlerinin belirlenmesinde ve uygulama alanlarının tanımlanmasında kritik bir öneme sahiptir, böylece hem matematiksel olarak tutarlı hem de fiziksel olarak anlamlı bir yaklaşım sağlanmıştır. Kuramsal bölümde, ARA dönüşümünün matematiksel temelleri ayrıntılı biçimde ele alınmıştır. Tanım, varlık koşulları ve yakınsaklık özellikleri açıkça belirtilmiş; lineerlik, ölçekleme ve türev alma gibi temel işlemsel özellikler matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak ispatlanmıştır. Özellikle birinci mertebe ARA dönüşümünün klasik Laplace dönüşümü ile olan G_1 [g(t)]=s L[g(t)] şeklindeki dualite ilişkisi matematiksel olarak doğrulanmıştır. Çekirdekteki parametrik yapı sayesinde ARA dönüşümü, farklı integral dönüşümlerini tek bir genel çatı altında birleştirebilir ve ters dönüşüm ile kompleks analiz yoluyla elde edilen sonuçların doğrulanması mümkün olur. ARA dönüşümünün uygulanabilirliğini değerlendirmek amacıyla farklı hiperbolik modeller incelenmiştir. İlk olarak birinci mertebeden adveksiyon denklemi ele alınmış ve ARA dönüşümü kullanılarak elde edilen çözümün klasik karakteristikler yöntemi ile uyumlu olduğu gösterilmiştir; bu, yöntemin fiziksel gerçekliği doğru biçimde yansıttığını ortaya koymaktadır. İkinci aşamada doğrusal dalga denklemi analiz edilmiş ve yöntem, yüksek mertebeden türevleri yönetme konusunda sağladığı kolaylıkla öne çıkmıştır. Üçüncü model olarak sönümlü salınım gösteren telgraf denklemi incelenmiş ve sistem parametrelerinin çözüm üzerindeki etkisi detaylı biçimde gözlemlenmiştir. Bu model, yöntemin değişken katsayılı ve kayıplı fiziksel sistemlerde de etkin olduğunu göstermektedir. Çalışmanın son bölümünde kesirli mertebeden dalga denklemleri ele alınmıştır. Bu denklemler, sistemin yalnızca mevcut durumunu değil, geçmişteki davranışlarını da dikkate alarak daha gerçekçi fiziksel modeller sunar. Analizlerde Caputo türü kesirli türev kullanılmış ve ARA dönüşümü ile hibrit bir çözüm yaklaşımı geliştirilmiştir. Bu yöntem, çözüm serilerini limit kavramı ile elde etmeyi kolaylaştırarak hesaplama sürecini hızlandırmakta ve hassasiyeti artırmaktadır. Elde edilen çözümler Mittag-Leffler fonksiyonu cinsinden ifade edilmiştir. Kesirli mertebe parametresi α=2 için çözüm klasik dalga denklemine, α=1 için ise üstel fonksiyona indirgenerek klasik difüzyon denklemine karşılık gelmektedir. Sonuç olarak, ARA integral dönüşüm yöntemi, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde yüksek doğruluk, algoritmik uygulanabilirlik ve esneklik sağlayan güçlü bir araç olarak ortaya çıkmaktadır. Özellikle değişken katsayılı sistemlerde ve başlangıç noktası civarındaki tekilliklerde sağladığı avantajlar, yöntemin literatürdeki önemini artırmaktadır. Bu çalışma, ARA dönüşümünün farklı denklemler ve karmaşık sistemler için de uygulanabileceğini göstermekte ve gelecekteki araştırmalar için sağlam bir metodolojik temel oluşturmaktadır.
Özet (Çeviri)
Understanding the dynamic behavior of physical phenomena observed in nature and engineering systems, both in time and space, is directly linked to the mathematical representation and precise modeling of these processes. Physical systems involve complex mechanisms such as the propagation of energy and information, deformation, and interactions within the medium, all of which contribute to the system's overall dynamic behavior. One of the most fundamental mathematical tools used to analyze and predict the behavior of such systems is partial differential equations (PDEs). PDEs not only describe the complex relationships among the variables that define a system's current state, capturing interactions and dependencies, but they also play a crucial role in accurately predicting its evolution over time. Through these equations, a wide range of physical phenomena, including wave propagation, fluid dynamics, vibrations, energy distribution, and electromagnetic processes, can be rigorously and systematically modeled, allowing researchers to investigate behaviors that might otherwise remain difficult to quantify. Partial differential equations are classified into three main types according to their structure: elliptic, parabolic, and hyperbolic. This classification is fundamental, as it determines the behavior of their solutions and their intrinsic mathematical properties. Hyperbolic equations serve as the foundational models for systems in which information and energy propagate at finite speeds, and they are essential for representing realistic temporal and spatial dynamics. This feature makes hyperbolic equations indispensable for accurate modeling of physical processes. Phenomena such as wave propagation, advection, signal transmission, and mechanical or electrical vibration can be mathematically represented using hyperbolic equations, which capture both the speed and direction of information transfer. A key characteristic of hyperbolic systems is that the solution emerges only within a limited domain of influence. This concept, explained through the notions of dependence and influence domain, ensures that physical causality is rigorously maintained. These domains specify which initial data affect the solution and which regions may be impacted over time, providing critical references for the design of numerical methods, stability analysis, and accuracy evaluation. The historical development of hyperbolic equations has closely paralleled the advancement of mathematical physics and differential calculus. In particular, the pioneering work of mathematicians such as Jacques Hadamard, Augustin-Louis Cauchy, and Peter D. Lax laid the theoretical foundations for hyperbolic systems. Their contributions address essential topics including the solution of initial value problems, the conditions required for well-posedness, and the continuity and stability of solutions under varying initial conditions. These foundational studies enabled both analytical and numerical investigation of hyperbolic equations, establishing a framework that underpins the wide range of modern engineering and physical applications observed today. The primary objective of this thesis is to examine the ARA integral transform method, developed for obtaining analytical solutions of hyperbolic PDEs, and to demonstrate its practical effectiveness and flexibility. Integral transform techniques are powerful mathematical tools that facilitate the solution of differential equations by expressing them in simpler algebraic forms and operators. Historically, Laplace and Fourier transforms have been used effectively for decades in solving linear systems, particularly those with constant coefficients. However, these classical transforms demonstrate limitations, especially when applied to variable-coefficient and fractional-order systems, due to the rigidity of their fixed kernel structures. The ARA integral transform is specifically designed to overcome these limitations through its parametric kernel of the form t^(n-1). This feature allows the unification of different transform types under a single general framework and provides the flexibility to select parameters that are tailored to the specific problem under consideration. Consequently, it offers a highly adaptable and robust solution approach in situations where classical methods prove insufficient or cumbersome. At the beginning of this study, second-order linear PDEs were carefully classified based on their discriminant, and the theoretical properties of hyperbolic equations were analyzed in depth. This classification is crucial for determining suitable solution methods and clearly defining potential application domains, ensuring that the approach is both mathematically rigorous and physically meaningful. In the theoretical section, the mathematical foundations of the ARA transform were examined comprehensively. Its formal definition, existence conditions, and convergence properties were explicitly addressed, while fundamental operational properties such as linearity, scaling, and differentiation were rigorously proven using mathematical induction. Of particular importance, the duality relationship between the first-order ARA transform and the classical Laplace transform, expressed as G_1 [g(t)]=s L[g(t)], was mathematically verified. The parametric kernel structure enables the ARA transform to unify various integral transforms into a single general framework, and the results obtained through inverse transformation and complex analysis can be consistently validated. To assess the practical applicability of the ARA transform, several hyperbolic models were investigated. First, the first-order advection equation was analyzed, and it was demonstrated that the solution obtained using the ARA transform is fully consistent with the classical method of characteristics, thereby confirming the physical fidelity and reliability of the method. Next, the linear wave equation was studied, where the method's convenience in handling higher-order derivatives and complex boundary conditions was highlighted. As a third model, the damped oscillatory telegraph equation was examined in detail, observing how variations in system parameters influence the resulting solution. This example demonstrates the effectiveness of the method for variable-coefficient and lossy physical systems, showing that it can handle both theoretical and practical complexities. In the final section of the study, fractional-order wave equations were addressed, providing more realistic models that incorporate not only the system's current state but also its past behavior. Analyses employed the Caputo-type fractional derivative, and a hybrid solution approach using the ARA transform was developed. This approach facilitates the computation of solution series via the limit concept, thereby enhancing both computational efficiency and precision. The obtained solutions were expressed in terms of the Mittag-Leffler function, which allows for direct interpretation of fractional dynamics. It was mathematically demonstrated that for the fractional order paramete α=2r, the solution reduces to the classical wave equation, whereas for α=1, it corresponds to the exponential function, aligning with the classical diffusion equation. In conclusion, the ARA integral transform method emerges as a robust and versatile tool for solving hyperbolic PDEs, offering high accuracy, algorithmic implementability, and substantial flexibility. Its advantages in handling variable-coefficient systems, singularities, and complex initial conditions underscore its significance and utility within the scientific and engineering literature. This study demonstrates that the ARA transform can be effectively applied to a variety of equations and complex systems, thereby establishing a strong methodological foundation for future research endeavors and practical applications.
Benzer Tezler
- 3D scalar imaging of dielectric objects buried under a rough surface
Engebeli yüzey altına gömülü dielektrik cisimlerin üç boyutlu skaler durumda görüntülenmesi
EVRİM TETİK
Doktora
İngilizce
2015
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİletişim Sistemleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İBRAHİM AKDUMAN
- Dynamic response analysis of a floating platform for offshore wind turbines
Yüzer rüzgar türbini platformlarının dinamik tepki analizi
ENES TUNCA
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BAHADIR UĞURLU
- Marmara Bölgesi'nde soğurulma yapısının incelenmesi
Investigation of attenuation structure in the Marmara region
AYŞE KAŞLILAR ÖZCAN
- Boundary element formulation for dynamic analysis of a two-phase composite with applications to solid-solid interaction problems
İki malzemeli bir kompozitin dinamik analizi için sınır elemanı formulasyonu ve katı-katı etkileşimi problemlerine uygulanması
HEDİYE TÜYDEŞ
Yüksek Lisans
İngilizce
1997
Mühendislik BilimleriOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMühendislik Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. YALÇIN MENGİ
- Analysis of electromagnetic scattering problems with the finite element method
Elektromanyetik saçılma problemlerinin sonlu elemanlar yöntemiyle analizi
YILMAZ ASIM EGEMEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2000
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA KUZUOĞLU
