Geri Dön

İnce plaklar için geliştirilmiş sonlu fark yöntemi

Improved finite difference method for thin plates

  1. Tez No: 127192
  2. Yazar: ALİ ERGÜN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. NAHİT KUMBASAR
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2002
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Yapı Analizi ve Boyutlandırma Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 133

Özet

İNCE PLAKLAR İÇİN GELİŞTİRİLMİŞ SONLU FARK YÖNTEMİ ÖZET Plak teorisinin mühendislik uygulamalarında, eğilmeli ince plakların kısmi türevli diferansiyel denklemi av+2^v +3V = q(x1yI } 5x4 dx2dy2 ay4 D dir. Diferansiyel denklemler plak geometrisi, yük, sınır koşullan ve malzeme özellikleri ile ilişkili olduğundan, her türlü plak problemleri için kapalı çözümü bulunamamaktadır. Kapalı çözümü bulunabilen bazı plak problemlerinin hesaplanması ise karışık ve sıkıcı olabilmekte ve uzun zaman almaktadır. Bu durumlarda, sayısal ve yaklaşık yöntemler kullanılarak plak problemlerinin çözümlerine yaklaşılabilir. Sayısal yöntemlerin en yaygın olarak kullanılanı sonlu elemanlar ve sonlu farklar yöntemleridir. Sonlu elemanlar yönteminde, bütün özellikleri orijinal plağın aynı olacak şekilde seçilen düğümlerinde birbirleriyle bağlantılı elemanlar topluluğunun, düğümlerinde yerdeğiştirmeleri ve gerilmeleri ile plaktaki yerdeğiştirmeler ve gerilmeler yaklaşık olarak belirlenir. Eleman boyutları küçültüldüğünde gerçek değerlere yaklaşacaktır. Klasik sonlu farklar yöntemi, (1) denklemi ile verilen diferansiyel denklemin içerisinde bulunan türev ifadelerini, seçilen ağ düğümlerindeki diferansiyel büyüklüklere göre hesaplayarak sonlu farklardan oluşan yaklaşık cebirsel denklem takımına dönüştürmeyi amaçlamaktadır. Plağın çökme yüzeyi w(x,y), seçilen ağ düğümlerindeki çökme değerleri ile belirlenir. Ağ düğümlerinin artması durumunda yeterli yaklaşıklık sağlanacaktır. Her iki yöntem ile çözümün sağlanabilmesi için çok bilinmeyenle çalışmak gerekecektir. Bu çalışmada, daha az bilinmeyenle plak problemlerinin çözümü ve yeterli yaklaşıklığın sağlanması için yeni bir yöntem ele alınmaktadır. İnce plaklar için geliştirilen sonlu fark yöntemi, tamamen klasik sonlu fark ifadelerinin çıkartılışından bağımsız bir yöntemle ortaya konulmuştur. Herhangi bir kuvvetler sisteminin başka kuvvetler sisteminden meydana gelen yerdeğiştirme üzerinde yaptığı virtüel işin, ikinci kuvvetler sisteminin ilk kuvvetler sisteminden meydana gelen yerdeğiştirme üzerinde yaptığı işe eşitliğini tanımlayan Betti karşıtlık teoremi temel alınarak yeni bir sonlu fark operatörü çıkartılmıştır. Yeni sonlu fark operatörünün çıkartılmasında iki farklı yük-çökme sistemi ele alınmıştır. Bu iki farklı yük-çökme sisteminin geometrik olarak benzerlik göstermesi ve sınır koşullan itibariyle farklı olabilmesi dikkate alınarak, biri diğerinin bir alt sistemi olmasını gerektirmektedir. Birinci sistem için sonsuz bir plak ele alınarak belirli bir bölgesi için çökme yüzeyi tanımlanmakta ve tanımlanan çökme yüzeyini oluşturan yük durumu da diferansiyel denklemlerden yararlanılarak hesaplanmaktadır. İkinci sistem ise gerçek plak ve üzerindeki yük durumunu içermektedir. Sonlu fark operatörünün uygulanacağı gerçek plak çökme yüzeyi ise wwniiANTASYON ME1Wsonsuz plak için tanımlanan çökme yüzeyine karşılık gelecek şekilde, 5x5 düğümlü Lagrange interpolasyon polinomlanndan yararlanılarak bilinmeyen plak çökmelerine bağlı bir polinom ile ifade edilmektedir. İki farklı yük-çökme sistemine Betti karşıtlık teoremi uygulandığında, [A]w= jJq(x,y)K(x,y)dxdy (2) denklemi oluşturulur. [A] sonsuz plak için tanımlanan çökme yüzeyini oluşturan yük durumunun Lagrange interpolasyon polinomlan ile ifade edilen gerçek plak çökme yüzeyi ile yaptığı virtüel işe göre hesaplanan sonlu fark operatörü, w plak çökmelerini, q(x,y) ise plak üzerindeki yükü ve K(x,y) gerçek plak üzerinde bulunan yüklerin sonsuz plak için tanımlanan çökme yüzeyi ile yaptığı virtüel işi veren ağırlık fonksiyonu göstermektedir. [A] sonlu fark operatörünün çıkartılmasında; ele alman iki farklı yük-çökme sisteminin, birinci durumundaki sonsuz plak çökme yüzeyi ve bu çökme yüzeyini oluşturan yük durumu tanımlanır. 4x4 bölgeden oluşan çökme yüzeyi, bölgenin dış sınırlarında çökmeler, çökmelerin birinci ve ikinci türevleri sıfır ve alt bölgelerin komşu sınırlarında çökmeler, çökmelerin birinci ve ikinci türevleri birbirine eşit olacak şekilde seçilmiştir. Şekil l.'de verilen, tanımlanan sonsuz plak bölgesinin simetriden dolayı 2x2 lik alt bölgeleri için çökme yüzeyi, Şekil 1. Sonsuz plağm lA lük bölgesi için tanımlanan çökme yüzeyi olarak tamamlanmaktadır. xıTanımlanan sonsuz plakta çökme yüzeyini oluşturan her bölge için dış yükler ise, (1) denkleminden hesaplanarak; Pı(x,y) = 2xy Pn(x,y) = 2(4-3x)y Pm(x,y) = 2(4-3y)x P!v(x,y) = 2(4-3x)(4-3y) bulunur. Bölge sınırlarında oluşan eşdeğer kesme kuvvetleri ise; (4.a) (4.b) (4.c) (4.d) ÖMXV V(x) = Qx + xy V(y) = Qy + dy BM, ö3w ö3w axJ *y _ öx = -D( ÖV ay3 + (2-v) dy2dx a3w ax25y ) (5.a) (5.b) hesaplanır. Ayrıca bölgelerin köşelerinde burulma momentlerinden kaynaklanan Ro=2Mxy köşe kuvvetleri de bulunur. Bölge sınırındaki iç kuvvetler, yönleri dikkate alınarak birleştirilirse, Ro köşe kuvveti sıfir ve eşdeğer kesme kuvvetleri de; 0 < x < 8 aralığında 8 < x < 28 aralığında değerleri alır. Sonlu fark operatörünün uygulanacağı gerçek plağı çökme yüzeyi ise, 5x5 düğümlü iki boyutlu Lagrange interpolasyon polinomlarmdan yararlanılarak temsil edilecektir. İki boyutlu Lagrange interpolasyon polinomlan, bir boyutlu ve 5 düğümlü Lagrange interpolasyon polinomlarmın diğer boyuta uygulanması ile bulunur. xııŞekil 2. 'de verilen koordinatlara göre 5 düğümlü Lagrange fonksiyonları; 0 +5 +28 Şekil 2. Beş düğümlü Lagrange interpolasyon polinom eğrisi x = -28 için x = -8 için x = 0 için x = +8 için x = +28 için olarak bulunur. L. (x) = - ^-(x4 - 28x3 - 82x2 + 283x) iv j 2454 v ) 1 L2(x) = --{^ -Sx3 -48 V + 483x) L3(x) = -^-(x4-58V+484) 4o L4(x) = --W +8x3 -48V -483x) oo L5 (x) = - ^(x4 + 28x3 - 82x2 - 283x) 5 24S4 Gerçek plak çökme yüzeyi için Lagrange interpolasyon polinomu, Wj(x) = L,(x)w,.2 +L2(x)wM+L3(x)Wi +L4(x)wi+1 + L5(x)\V; +2 w(x,y) = L,(y)wj.2 +L2(y)wj4 +L3(y)wj +L4(y)wj+I +L5(y)wj+2 5 5 w(x,y) = ££wsLi(x)Lj(y) i=l j=l (7.a) (7.b) (7.c) (7.d) (7-e) (8) (9.a) (9-b) olur. Sonsuz plak için tanımlanan çökme yüzeyini oluşturan dış yüklerin (4.a-d), gerçek plağın çökme yüzeyi (9.a-b) üzerinde yaptığı virtüel iş, bölgenin dörtte birlik kısmı için bölge üzerinde integrallerle hesaplanır. Burada gerçek plağın çökme yüzeyini veren (9.a-b) denklemlerindeki başlangıç noktası dikkate alınarak dış yüklerin bu başlangıç noktasına göre dönüşümü yapılması gerekir. 5 5 JJZpı(x.y)SZw«L«wLj(y)dxdy 1=1 1=1 j=l Sonsuz plak için tanımlanan çökme yüzeyim oluşturan bölge sınırındaki eşdeğer kesme kuvvetlerinin (6.a-f), gerçek plağın bölge sınırındaki çökme yüzeyi üzerinde yaptığı virtüel iş, bölgenin dörtte birlik kısmı için sımr üzerinde integrallerle hesaplanır. întegrallerde eşdeğer kesme kuvvetlerinin, gerçek plak çökme yüzeyini veren başlangıç noktasına göre dönüşümleri alınmalıdır. X1114 jEvı(x)£wiLi(x)dx + jXVI(y)2:wj.Lj(y)dy 1=1 i=l 1=1 j=l İntegrallerin diğer dörtte birlik bölgeler için de hesabı yapılarak bulunan değerler taraf tarafa toplanırsa, dış yük ve eşdeğer kesme kuvveti durumları için sonlu fark operatörünün ifadesi bulunur. [A]wran= - 0.8 20.8 28.8 20.8 0.8 20.8 -35.2 -259.2 -35.2 20.8 28.8 -259.2 892.8 -259.2 28.8 20.8 -35.2 -259.2 -35.2 20.8 0.8 20.8 28.8 20.8 0.8 [w,] (10) K(x,y), (2) denkleminde eşitliğin sağ tarafını sağlayan gerçek plak üzerinde bulunan q(x,y) yükünün tanımlanan sonsuz plak çökme yüzeyi ile yaptığı virtüel işe göre belirlenen ağırlık fonksiyonudur. K(x,y) ağırlık fonksiyonu, plak üzerinde bulunan q(x,y) yükünün etkime durumlarına göre değişik değerler alacaktır. Etkime durumları düğümlerde tekil kuvvet, sınırlar üzerinde çizgisel yayılı yük ve bölgesel yayılı yük şeklinde olabilir. Bu yükleme durumları için ayrı ayrı K(x,y) fonksiyonları bulunmuştur. Sınır koşullan, geliştirilmiş sonlu fark yöntemine uygun olacak şekilde belirlenmiştir. Basit mesnetli ve ankastre sınır koşullan için plak, x ve y doğrultulannda aynı boyutlarda sonsuz sayıda sürekli bir plak olacak şekilde düşünülerek, sonlu fark operatörün bölge dışındaki düğümlerin yerdeğiştirmeleri için sınır koşulanna uygun ifadeleri bulunmuştur. Boşta kenar durumunda süreksizlik oluşacağından, sımr koşullanna uygun sınır üzerindeki ve sınıra komşu düğümler için ayn sonlu fark operatörleri dikkate alınmıştır. İnce plaklar için geliştirilen sonlu fark yöntemi, çeşitli sınır koşulanna ve yükleme durumuna sahip dikdörtgen plak problemlerine uygulanmış; bulunan çözümlerin bulunabilen kapalı çözümlerle ve diğer sayısal yöntemlerle hesaplanan çözümlerle karşılaştmlması yapılmıştır. Bu yöntemle yapılan sayısal örnekler sonucu çözümlerde tatminkar hassasiyetli performans sağlanmıştır. İnce plaklar için geliştirilen sonlu fark yönteminin genel özellikleri;. Sonlu fark operatörünün çıkartılmasında Betti karşıtlık teoreminden yararlanılması, plak diferansiyel denklemin sonlu farklarla ifadesinin farklı şeklini vermektedir.. Yöntem, dikdörtgen ince plaklar için uygulanabilir.. Plak üzerinde bulunan her türlü q(x,y) yükü için tanımlanacak K(x,y) ağırlık fonksiyonu ile çözümler bulunabilir.. Plağı, aynı boyutlarda sonsuz sayıda sürekli bir plak olarak düşünülerek çözüm yapıldığında tanımlanan sımr koşullan otomatik olarak sağlanır.. Problemlerin çözümü için fazla bilinmeyen ağ düğümlerine ihtiyaç göstermediğinden özellikle elle çözümler için uygundur ve bilgisayar programına gerek kalmaz XIV

Özet (Çeviri)

IMPROVED FINITE DIFFERENCE METHOD FOR THIN PLATES SUMMARY In the engineering applications of the theory of plates, for the solution of thin plate bending problem, the fourth order partial differential equation 8x4 dx2dy2 dy4 D is used. Since governing differential equation is related to plate geometry, load, boundary conditions and material properties, closed solutions of every kind of plate problems cannot be found. Analysis of some plate problems, the closed solution is more complex, tedious and even takes long time. In such cases, numerical and approximate methods are used and they approach to the solutions of plate problems. Among these numerical techniques, the finite element method and finite difference method are used commonly. The finite element method involves modeling the structure using small-interconnected elements called finite elements. The finite elements are selected to make up plate and have same properties with original plates. In the finite element method, displacements and stresses in the original plate are approximately represented by displacements and stresses of the nodal points. The elements must be made small enough to give usable results and small elements converge to exact solution rapidly. In applying ordinary finite difference method, the derivatives in the governing differential equation under consideration (1) are replaced by difference quantities at some selected mesh points and the problem of solving the plate differential equation has been transformed into the solution of a set of algebraic equations that constitute finite difference quantities. The deflected plate surface w(x,y) is described by determining approximated values for the deflections at these mesh points. In this method, increases of mesh points provide rapid convergence. Generally, a relatively fine mesh is required to obtain an acceptable accuracy. Convergence to exact solution of governing differential equation with the finite element and the ordinary finite differences method requires to work with many unknowns. In this study, a new method is proposed by providing convergence with using fewer unknowns for plate problems. Improved finite differences scheme for thin plates is found in a new way different from the classical finite difference method. Making use of Betti' s reciprocal theorem, which states that the virtual work done by the any set of forces on displacements of second set of forces is equal to the virtual work done by the second set of forces on displacements of first set of forces, a new finite difference operator will be defined. For determining the new finite difference operator two different load-deflection systems are considered. It is paid to atttention to geometrical similarities and different boundary conditions of these two different load-deflection systems, real one must be a sub-system of other. The first system consists of given deflected surface xvdomain and load cases of the defined infinite plate. Load cases for the defined infinite plate are calculated from the governing differential equation. The second system consists of the actual plate and loads on the actual plate. The deflected surface of the actual plate on which will be applied finite difference operator is expressed with Lagrange interpolation polynomial depending on unknown plate deflections. For the actual plate, Lagrange interpolation polynomial has 5x5 joints and is related to given deflection surface domain of the defined infinite plate. Applying Betti' s reciprocal theorem on two different load-deflection systems, [A]w= j|q(x,y)K(x,y)dxdy (2) is resulted, where, [A] denotes the finite difference operator which is calculated from the virtual work done by load cases of the defined infinite plate on deflected surface of the actual plate that is expressed with Lagrange interpolation polynomial, w and q(x,y) denote the deflections of the actual plate and given load on it, respectively. K(x,y) is a weight function and is calculated from the virtual work done by the load q(x,y) of the actual plate on a given deflection surface domain of the defined infinite plate. As stated above determining the finite difference operator [A] two different load- deflection systems are used. The first system is defined as deflection surface of the infinite plate and the load cases of this surface. The deflection surface of the infinite plate which consists of 4x4 domains, is determined such that the values of the deflections, its first and second derivatives are equal to zero at the external boundaries of domain and the values of the deflections, its first and second derivatives are equal to each other at the adjacent boundaries of the sub-domains. Since the deflection surface given in Figure 1. of the defined infinite plate, is symmetrical about x and y axes, deflected surface of 2x2 sub-domains are as follow; Figure 1. Deflection surface of the defined infinite plate for lA sub-domains XVI -3SSSÖ?The external loads for every domain, which constitute deflection surface of the defined infinite plate, are obtained from equation (1). Thus; P!(x,y) = 2xy Pn(x,y) = 2(4-3x)y Pffl(x,y) = 2(4-3y)x Prv(x,y) = 2(4-3x)(4-3y) Shear forces at domain boundaries are calculated from equation (5a-b). SM 33 w 53w V(x) = Qx+- JSL=-D(-- r+(2-v)- j-) V(y) = Qy + dy xy ax3 ö3w ox -D(^r+(2-v) dy2dx 63w Sx26y ) (4.a) (4.b) (4.c) (4.d) (5.a) (5.b) In addition, corner forces Ro=2Mxy which are produced by twisting moment are existed at corners of domains. If interior forces at domain boundaries are assembled, corner forces are found zero and shearing forces have below values: For interval 0 < x < 8 For interval 8 < x < 25 The deflection surface of the actual plate on which the finite difference operator to be applied, is represented by two-dimensional Lagrange interpolation polynomial which has 5x5 joints. Two-dimensional Lagrange interpolation polynomial is found from applying one-dimensional case to other dimension. According to the coordinate given in Figure 2., one-dimensional Lagrange interpolation functions with 5 nodes; xvn-S O +8 +28 Figure 2. The curve of Lagrange interpolation polynomial with 5 nodes For x = -28 For x = -8 For x = 0 For x = +8 Forx = +28 L, (x) = - Î- (x4 - 28x3 - 82x2 + 283x) L2(x) = - ^t(x4 -8x3 -4SV +483x) L3(x) = -!-(x4~582x2+4S4) L4(x) = - î-(x4 +8x3 -482x2 -483x) 4 684 L5 (x) = - ^(x4 + 28x3 - 82x2 - 283x) 5v 24g4v ) (7.a) (7.b) (7.c) (7.d) (7.e) are formed. Lagrange interpolation polynomial for the deflection surface of the actual plate is found as: wj(x) = L1(x)wi.2 +L2(x)wi.,+L3(x)wi +L4(x)wi+1 +L5(x)wi+2 w(x,y) = L1(y)wj.2 +L2(y)wj.1 +L3(y)wj +L4(y)wj+1 +L5(y)wj+2 (8) (9.a) 5 5 w(x,y) = ^^wijLi(x)Lj(y) (9-b) i=l j=l For a quarter of domain, the virtual work done by the external loads of domains (4a-d), which constitutes deflection surface of the defined infinite plate, on the deflection surface of the actual plate (9a-b) is calculated as integral form below. The expressions of external loads in integral form must be transformed into new expressions which have same origin as deflection surface of the actual plate. 5 5 JEpi(x»y)ZZwflLlwLj(y)dxdy 1=1 i=l j=l For a quarter of domain, the virtual work done by the shearing forces of domain boundaries (6a-f), which constitutes deflection surface of the defined infinite plate, on the deflection surface of the actual plate at domain boundaries is calculated as boundary integral form below. These expressions of shearing forces in integral form must be transformed into new expressions which have same origin as deflection surface of the actual plate. jl]VI(x)2;wIL,(x)dx + J^VI(y)2wJlj(y)dy 1=1 i=l 1=1 j=l xvmFor other quarters of domains, if integrals are calculated, the values are found and they are added side by side, [A] the finite difference operator is obtained for external loads and shearing forces. g4 0.8 20.8 28.8 20.8 0.8 20.8 -35.2 -259.2 -35.2 20.8 28.8 -259.2 892.8 -259.2 28.8 20.8 -35.2 -259.2 -35.2 20.8 0.8 20.8 28.8 20.8 0.8 [w,] (10) K(x,y) is a weight function which supplies right hand side of equation (2). K(x,y) function is derived from the virtual work done by the loads q(x,y) of the actual plate on the deflection surface of the defined infinite plate. K(x,y) function has different values according to the form of the loads q(x,y). Load cases may be concentrated forces at mesh points, linear distributed load on boundaries and on domains. K(x,y) functions are derived separately for these action cases. Boundary conditions are determined suitable for improved finite differences method. It will be possible to satisfy the boundary conditions automatically by replacing the given finite domain with an infinite one. For boundary conditions of simply- supported and fixed (clamped), the given plate must be replaced by a continuous plate with an infinite number of equal panels both in x and y directions and for outside fictitious nodes of domain where the finite difference operator is applied, suitable expressions for boundary conditions are found. For free edge, different finite difference operators at free edge nodes and adjacent free edge nodes are derived different from equation (9), since there is un-continuity on free edge. Improved finite differences method for thin plates is applied for rectangular plate bending problems, which have different load cases and boundary conditions. Then, the results of the well-known problems with this technique are compared to analytical solutions, if there are, and other numerical available data. The results of applications with this method show that its performance is quite satisfactory. General properties of proposed improved finite differences method for thin plates may be stated as;. Using the Betti' s reciprocal theorem for derivation the finite difference operator, the different finite difference forms of governing differential equation is provided.. This method may be applied for rectangular thin plates.. The solution of plate, subjected to arbitrary load q(x,y), can be found with the defined K(x,y) weight function.. Considering the given plate replaced by a continuous plate with an infinite number of equal panels both in x and y directions, the provided solutions are possible to satisfy the boundary conditions automatically.. Since the solutions of problems do not need more unknown mesh points, it is especially suitable for solutions by hand and computer programs may not be required. xix

Benzer Tezler

  1. Tez No

    55525

    Vibration and flutter analysis of fluid loaded plates

    Akışkan yüklü eğimli plakların titreşim ve flater analizi

    ABDURRAHMAN ŞEREF CAN

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    1996

    Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    DOÇ.DR. ZAHİT MECİTOĞLU

  2. Tez No

    713793

    Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeden üretilen plakların mekanik ve ısıl yükler altındaki burkulma analizi

    Buckling analysis of functionally graded plates under thermal and mechanical loads

    İBRAHİM UTKU AKTAŞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2021

    Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. VEDAT ZİYA DOĞAN

  3. Tez No

    200425

    Influence of shear deformations in plate bending

    Plakların eğilmesinde kayma deformasyonlarının etkisi

    ERDEM KAYA

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2006

    İnşaat MühendisliğiBoğaziçi Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SEMİH TEZCAN

  4. Tez No

    55024

    İnce ve kalın kompozit plakların nonlinear analizi ve kayma-kilitlenmesiz bir sonlu eleman modeli

    A nonlocking finite elemnt model for nonlinear analysis of thin and thick composite plates

    EZGİ GÜNAY

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    Makine MühendisliğiGazi Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. ALİ ÜNAL ERDEM

  5. Tez No

    75392

    Elastik zemine oturan ince plakların karışık sonlu elemanlar metoduyla çözümü

    Başlık çevirisi yok

    RECEP ÖNOL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1998

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MEHMET HAKKI OMURTAG

Geri Dön