Geri Dön

(2) de kuadratik bir transformasyon ile perspektif-harmonik (1) in inşası

Başlık çevirisi mevcut değil.

  1. Tez No: 2138
  2. Yazar: TEVFİK TURGUT
  3. Danışmanlar: PROF. DR. SUAT AKIN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 1983
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 126

Özet

j. ÖZET ^. ' '*' (2) Bu çalışmamızda iki boyutlu £ noktalar uzayının taşı- (2) yıeısı olarak ir düzlemini gözönüne alıp £ yi kendi kendine dönüştüren bir t- transformasyonunu şu şekilde tanımlıyoruz. il nin sabit bir k koniği ile k yi reel R,S noktalarında ke sen z doğrusu ve z nin k ya göre Z pol noktası ı-transtormasyo- nunun sistemi kabul ediyoruz. (2) E nin her A noktasının k ya göre a polar doğrusu ile k nm E,E? kesişme noktalarını R, S ve S,R ye birleştiren doğrula rın A,,Ar. kesişme noktaları A nm tasvirini oluşturuyor. Böylece E yi I ye dönüştüren r-transformasyonu kuadratik bir nite lik taşımış oluyor. (A,A“) tasviri A ilkin noktası ile Z ye göre perspektif, ZA ışınının k ile C,C”kesişme noktalarına göre harnıonik durum da olmaktadır. Bölüm I de tf de kurulan temel sistem ile E nin noktaları ve £ in elemanları olan cebirsel elemanlar aşağıdaki sırada ele alınmıştır. 1. Noktaların sisteme göre çeşitli konumları gözönüne alı narak tasvirleri araştırılmıştır. Tasvir inin bir parçası sonsuzda bulunan ilkin noktalarının k üzerinde olduğu ispatlanmıştır. 2. E in bir elemanı olarak düşünülen bir K doğrusunun tasvirinin E de bir konik olduğu gösterilmiştir.K. elemanının sisteme göre özel konumları ele alınarak, tasvir elemanlarının özellikleri saptanmış ve bu koniklerin R,S temel noktaları içer diği gösterilmiştir. 3. E in K? (konikler) elemanının tasvirinin kuartik ol duğu gösterilmiş ve genel özellikleri saptanmıştır.K“ in sisteme göre özui konumlarının tasvirleri incelenmiştir. K9 in Z den geç mesi halinde tasvirinin bir parçasının bir kübik olduğu belirtil-II mistir.Ayrıca tasvir eğrilerinin cinslerine göre bir sınıflandı rılması yapılmıştır. 4. Kübiklerin tasvirleri araştırılmış ve özellikleri belir- t i İmiş t ir/K., ve K”kübiklerinin sisteme göre Özel konumları ince lenerek elde edilen C, tasvir eğrilerinin cinsleri tesbit edilmiş ve sonuçları Tablo 1.2. de verilmiştir. Kübiklerin Z den geçmesi halinde sisteme göre Özel konum da bulunması durumlarında saptanan C_ tasvirleri incelenmiş ve cins* lerine göre sıralanmıştır. 5. Kuartiklerin tasvirleri, genel ve özel konumlarda tesbit edilerek özellikleri saptanmıştır.Kuartiklerin Z den geçmesi halin de tasvirleri saptanmış ve cinslerine göre sıralaması Tablo 1.3 de verilmiştir. -(1) 6. X in K elemanlarının tasvirlerinin C" elemanları n 2n olduğu gösterilmiş ve genel Özellikleri ifade edilmiştir. Ayrıca ilkin elemanının derecesi n olduğunda tasvir elemanla rının cinsleri n cinsinden hesaplanmıştır.K elemanının Z den geç mesi ve Z de a-katlı noktalarının bulunmaları halinde elde edilen perspektif - harmonik tasvir elemanlarının cinsleri n ve a cinsin den formullendirilmiştir. E in elemanlarının tayin imkanları saptanmış ve bunların inşaları Bölüm II de yapılmıştır.

Özet (Çeviri)

Ill ZUSAMMENFASSIWG In der vorliegender Arbeit sind die Punkte der Ebene rr (2) als Punkte ernes zwei dimensıonalen Raumes £ vorausgesetzt und eine solche Transformation T wird dadurch definiert, dass sie die Punkte der Ebene it in sich selbst entsprechen lHsst. Das Transf ormationssystem T besteht aus einem festen Kegelschnitt k der festen Ebene und einer Gerade z, die k in zwei reeilen Punkten R und S schneidet, und einem Polpunkt Z auf Bezug des Kegelschnittes k des Geraden z = RS. (2) Jeder Punkt A des Raumes E, hat erne Polare a auf Bezug k j Die Polare a schneidet k in Punkten E1 und E9. Also die Verbindungsgeraden der Punkte E und E“ mit den Punk- ten R, S und S,R schneiden sich in der entsprechenden Punk- ten A und A,.. Also diese Transformation t, die die Punkte des L' Raumes in sich selbst entsprechen lasst, ist qu- adratisch- Die entsprechenden Punktepaara (A, A ) liegen einerseits m i t dem Urelementen A und mit Z auf einer Gerade, also sie liegen perspekt ivisch ; andererseits mit den Schnitt- punkcen C1 und C,. tnit k, d.h ( A,, A? ) und ( C,, C”) sind harmonisch. Das Transf ormationssysten besteht aus dem Kegelschnitt k, den Grundpunkten R und S, der Achse z = RS, und den grunden Tangent en r und s im Punkte R und S, und dem Zentrum Z des Schnittpunktes der Geraden r und s. Also je- de Gerade durch Zentrum heisst Strahl. I m ersten Abschnitt werden mit dem in tt definierten (2) Grund system die Punkte in £ und die algebraische Kurven, die die Elemente der aus einem ein dimensionalen ElementIV gebiideten ur Menge Z voıı Z sind, untersucht. Die“????',& ',(2). (1) gefundenen Elemente von Z werden al s Abbildungsmenge Z (2). von Z definler t. (2) Durch Betrachten der Elemente von Z werden die Abbildungen in fölgender Weise gef ünden: 1. Ein beliebiger Punkt A, der auf dem durch Z lati fenden Strahl liegt, liegt mit dem entsprechenden Abbil - dungspaar ( A.., A”) auf gleichem Strahl. Zwischen den Punk- tepaare ( A1, A« ), ( B., B« ) » ( C., C“ ) und ( A, Z ) werden aus dem Polarbeziehungen die folgendeıı Boppelver - hUltnisse erhalten: ( AB», C2Cı ) = - 1, ( ZB s Cıco ) s ~ 1» ( AXA2, BXB2 > * - 1 und (A^, C^ ) = - 1 (Fig.I.l). Durch Benützung des DoppelverhMltnisses ( B B”, A..A } a - 1 und (C-.C, ^ı-^-o ) = ~ 1 findet inan eine Involution auf der Geradfe u, deren die Grundpunkte ( B, B~ ) und ( C., C“ ) sind, die Doppelpunkten dieser Involutions sind die Abbildungspaare (A, A”) von A. Zeichnen des Abbildungspaares A » A~ von der projek- tiven Geometri bekant [lj. (2) Die Punkte von Z zeigen einige Besonderheıten auf Bezug des Grundsystems : a). Wenn die Polgerade a von A, die k in zwei re- ellen Punkte schneidet, so sind die Doppelpunkte der hyper~ bolischen Involution ( B, B“ ) und ( C,, C”) die Abbil- dungspunktepaare.????.,.-“.-^ V -'??;- '?'-'?: ' -:?-? ? '.? ' ?< }\k ^ ){?':?:?; b). Wenn die Polgerade a von A, die k nicht scliV neidet, so sind die Doppelpunkte der elliptischen Involution ( B, B9 ) und ( C, C”) die Abbildungspunktepaare, also die Abbildungspunktepaare ( A-., A ) sind imaginar. c). Wenn der Punkt A auf k liegt, so sind die Ab- bildungspaare ( A, A“ ) mit A inzident; das heisst A=A =A,.. AJ so der Kegel sehnitt k 1st die Inzidenzelernent von X. d). Wenn der Punkt A mit Z inzident ist, so ist einer der Abbildungspunktepaare ( A, A”) inzident mit Z. e). Wenn der Punkt A mit dem unendlichf ernen Punkt von ii inzident ist, so liegen die Abbildungspunktepaare (A., A ) auf der Verbindungsgerade A mit Z. 1). Wenn der Punkt A auf r (bzw. auf s ) liegt, so ist einer der Abbildungspunktepaare ( A, A“ ) inzident mit R(bzw. mı t S ) und anderer liegt auf r ( bzw. auf s ). Jetzt nehmen wir einen von den Abbildungspunktepaaren QD ( A, A ) mit der unendlichf ernen Punkt als inzident (d.h.A =A9 ), so ist der geometrische Ürt des Urpunktes A ein Kegelschnitt k. 2. Die Gerade K.. sei ein Element von Z.Die Berüh - rungspunkte der Tangenten, die durch jedem Punkt A von Element K zu k gezeichnet werden, bilden zwischen dem Punkt en von k e ine Involution.Die Verbindungsgerade der İnvolutionspunkte mit den Scheıteln R und S, die auf k liegen, bilden zwei Geradenbüschel, die gegeneinander projektiv liegen. Also die Ab- bildung der Geraden K ist ein Kegelschnitt C”, der das Resul- tate des Projekt ivit&ts ist ; also C“ ist ein Element vons? ;. ? ”^ VI ! v ' ^ £. Der Kegelschnitt laaıft weder durch Grundpunkte R und S'v, und noch die Schnittpunkte K- mit k. Diese Punkte nennen wir die Kegel schnittpunkte der Abbildung. Die Verbindungsgeraden Z mit den Schnittpunkten K. und k sind die Tangenten an den betref fenden Punkten. Die Strahlen, die durch die Schnittpunkte JL' und k lMuft » o sind die Richtungen des Asymptoten des C^. Je nach die Schnittpunkte der Gerade K" mit k Reel » İp İmaginar öder Zusammenfallend sind, ist die Abbildung C? eine Hyperbel, Ellipse öder Parabel. Wenn die Gerade K.. den Kegelschnitt k berührt, so ist der Kegelschnitt in zwei sich schneidende Geraden ent- artet( Fig. I. 2). Wenn die Gerade K. durch Z lUkift, so entartet der O o Kegelschnitt C0 in zwei Geraden, die eine mit K und die an- £? 1 dere mit der Achse z übereinstimmt. 3. Die Abbildung von K? » die ein Elemente von E (1) ist, ist eine Kurve C,, die Y> angehört, weil das Trans formation T quadrat isch war. Die Kurve C, tr>

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