Geri Dön

Towards the classification of scalar integrable evolution eqautions in (1+1)-dimensions

Sınıflandırma yolunda (1+1)-boyutta integre edilebilir skaler evrim denklemleri

PDF İndir

  1. Tez No: 252199
  2. Yazar: ETİ MİZRAHİ
  3. Danışmanlar: PROF. DR. AYŞE HÜMEYRA BİLGE
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2008
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 94

Özet

Literatürde,“integre edilebilen denklemler”, lineer denklemlere dönüştürülebilenya da ters spektral dönüşüm ile çözülebilen denklemler olarak tanımlanır [22].Ters spektral dönüşümlerin inşaasının çok zor olması, ters spektral dönüşümile çözülmeye aday denklemleri belirleyebilecek yöntemler geliştirilmesineyolaçmıştır. Bilinen tüm integre edilebilen denklemlerin ortak bir özelliğinibulmaya dayalı bu yöntemlere“integrabilite testleri”adı verilir. Sonsuz sayıdakorunan nicelikler, sonsuz sayıda simetriler, soliton çözümleri, Hamiltonyenve bi-Hamiltonyen yapı, Lax çiftleri veya Painleve özelliğinin varlığı, yaygınkullanılan integrabilite testleri olarak bilinir.“Sınıflandırma problemi”, integre edilebilir diferansiyel denklem ailelerininsınıflandırılması olarak bilinir. Yakın geçmişte Wang ve Sanders, sonsuzsayıda simetrilerin varlığını kullanarak, ölçek bağımsız skaler integre edilebilir,7 inci mertebeden büyük, evrim denklemlerinin, 3 üncü ve 5 inci mertebedendenklemlerin simetrileri olduğunu göstererek sınflandırma problemini, polinomölçek bağımsız skaler denklemler için çözmüşlerdir [3].Keyfi m inci mertebeden evrim denklemlerinin sınıflandırılması hakkında, ilksonuç, [1]'de elde edilmiştir. Bu sonuç, n = m + 1 mertebeden, trivial olmayankorunan yoğunluk (conserved density) olarak ?=Pu2n + Qun + R yu kabuleden, m = 2k + 1, ve k ¸ 3 mertebeden, ut = F[u] evrim denklemlerininkuazilineer olmasıdır. Elde edilen sonuca göre özellikle 3 üncü mertebedeortaya çıkan, lineer olmayan, integre edilebilir evrim denklemlerinin sınıfları,7 den büyük mertebelerde gözükmez. Bu nedenle polinom olmayan durumlariçin bir sınıflandırma yapılabileceği düşünülebilir. Bu düşünceden yola çıkarak,bu çalışmada, (1+1) boyutta (1 uzaysal 1 zamansal ) integre edilebilir evrimdenklemlerinin sınıflandırılması problemi ele alınmıştır.Bu tezde, integrabilite testi olarak, Mikhailov ve diğerleri tarafından ortayakonan, biçimsel simetrinin varlığıkabul edilmiştir [2]. Ayrıca“Level grading”adı verilen, diferansiyel polinomların türevleri üzerine bir kademeli cebir (gradedalgebra) yapısı tanımlanmıştır. Bu çalışmanın esas sonucu, keyfi polinomolmayan skaler integre edilebilir m inci mertebeden evrim denklemlerininum-i, i = 0; 1; 2 olmak üzere, ilk üç büyük türeve göre polinom olduğununispatıdır. Bu sonucun ispatı, düşük mertebelerde açık hesaplamaların yapılmasınıgerektirdiğinden, 7 inci ve 9 uncu mertebeden keyfi skaler evrim denklemleri,örnek olarak, açık şekilde hesaplanmıştır.Bu çalışmada, [1]'de hesaplanan ve biçimsel simetrinin varlığının bir sonucuolan, üç korunan yoğunluk, ?(1),?(2),?(3) (conserved densities) kullanılmıştır.Genel m ve m 7 mertebe evrim denklemlerinin um-i, i = 0; 1; 2türevlerine göre polinom olduğu ispatlanmıştır.Beşinci bölüm ise 7 inci ve 9 uncu mertebeden evrim denklemlerininsınıflandırılması için yapılan açık hesaplamalara ayrılmıştır. Bu bölümünamacı, açık hesaplamaların sonuçlarını genel m için elde edilen sonuçlarlakarşılaştırmak olmuştur. Özel olarak 7 inci mertebede, bilinen tümkorunan yoğunlukların, ?(i); i = ¡1; 1; 2; 3, kullanılmasının elde edilen sonucudeğiştirmediği gösterilmiştir.Altıncı bölümde sonuçlar üzerine tartışmalar ve ileriki araştırmalar içinyönlendirmeler verilmiştir.A,B,C ve D, eklerinde sırasıyla, 7 inci ve 9uncu mertebeden evrimdenklemlerinin hesaplamalarında kullanılan alt modül ve kalan alt modülleriüreten monomialların listeleri verilmiştir. Bu listelerin yardımı ile dokuzuncumertebeden büyük evrim denklemleri için monomialların kolaylıkla türetilebildiğigörülmüştür.

Özet (Çeviri)

In the literature, integrable equations are meant to be non-linear equations which are solvableby a transformation to a linear equation or by an inverse spectral transformation [22]. The di ? cultyin constructing an inverse spectral transformation had motivated the search for other methodswhich would identify the equations expected to be solvable by an inverse spectral transformation.These methods which consist of ? nding a property shared by all known integrable equations are called?integrability tests?. The existence of an in ? nite number of conserved quantities, in ? nite number of symmetries, soliton solutions, Hamiltonian and bi-Hamiltonian structures, Lax pairs, Painleve property, are well known integrability tests.?The classi ? cation problem? is de ? ned as the classi ? cation of families of integrable di ? erential equations.Recently Wang and Sanders used the existence of in ? nitely many symmetries to solve this problem forpolynomial scale invariant, scalar equations, by proving that scale invariant scalar integrable evolutionequations of order greater than seven are symmetries of third and ? fth order equations [3].The ? rst result towards a classi ? cation for arbitrary m?th order evolution equations is obtained in[1] where it is shown that scalar evolution equations ut = F [u], of order m =2k + 1 with k ? 3,admitting a nontrivial conserved density ?=Pu2n + Qun + R of order n = m + 1, are quasi-linear.This result indicates that essentially non-linear classes of integrable equations arising at the thirdorder are absent for equations of order larger than 7 and one may hope to give a complete classi ? cationin the non-polynomial case. This is the motivation of the present work where the problem of classi ? cationof scalar integrable evolution equations in (1+1) (1 spatial and 1 temporal)-dimensions is further analyzed.In this thesis, we use the existence of a formal symmetry introduced by Mikhailov et al. as the integrabilitytest [2]. We introduce a graded algebra structure ?the level grading? on the derivatives of di ? erentialpolynomials. Our main result is the proof that arbitrary (non-polynomial) scalar, integrable evolutionequations of order m, are polynomial in top three derivatives, namely um?i, i =0, 1, 2. In the proofof this result, explicit computations are needed at lower orders and computations for equations oforder 7 and 9 are given as examples.In our computations we used three conserved densities, ?(1),?(2),?(3) obtained in [1]. Computationsfor the general case and for the lower orders showed that it is impossible to obtain polynomiality inum?3 by using only these three conserveddensities. Thus the investigation of polynomials beyond um?3 is postponed to future work.The ? rst section is devoted to a general introduction with a literature review, on conservation laws,symmetries, integrability and classi ? cation, beginning from the discovery of the soliton.Notation used in this study, basic de ? nitions and preliminary notions about integrability tests,symmetries and recursion operators with examples on KdV equations are given in the second section.Main results are gathered in sections three and four. In section three, we give basic de ? nitionsand properties of graded and ? ltered algebras, and de ? ne the ?level grading? while in section fourwe present the polynomiality results.In section three, a graded algebra structure on the polynomials in the derivatives uk+i overthe ring of functions depending on x, t, u, . . . , uk is introduced. This grading, called ?level grading?,is motivated by the fact that derivatives of a function depending on x, t, u, . . . , uk are polynomial inhigher order derivatives and have a natural scaling by the order of di ? erentiation above the ?baselevel k?. The crucial point is that, equations relevant for obtaining polynomiality results involve onlythe term with top scaling weight with respect to level grading. This enables to consider top level term only,disregarding the lower ones, and to reduce symbolic computations to a feasible range.Polynomiality results on the classi ? cation of scalar integrable evolution equations of order m aregiven in section four. In our computations we proved that arbitrary scalar integrable evolutionequations of order m ? 7 are polynomial in the derivatives um?i for i =0, 1, 2.Section ? ve is devoted to explicit computations for the classi ? cation of 7th and 9th orderevolution equations. The purpose of this section is to give an information about explicitcomputations and compare with the solutions for general m. In particular, at order 7,it is shown that no further information is obtained by the use of all conserved densities ?(i), i = ?1, 1, 2, 3.The discussion of the results and directions for future research are given in section six.Appendices A,B,C,D, give respectively the submodules and quotient submodules withtheir generating monomials, used in the classi ? cation of 7th and 9th order evolutionequations. One can derive easily the monomials for evolution equations of order higherthan nine using these lists.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    356037

    Paletli mobil manipülatör tasarımı ve modellenmesi

    Tracked mobile manipulator design and dynamical modelling

    MUSTAFA TOLGA YAVUZ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2014

    Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Mekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HAKAN TEMELTAŞ

  2. Tez No

    769255

    Stochastic bitstream-based vision and learning machines

    Stokastik bit akışı tabanlı görü ve öğrenme makineleri

    SERCAN AYGÜN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ECE OLCAY GÜNEŞ

  3. Tez No

    809767

    Konteyner limanlarının performans göstergelerine göre sınıflandırılması ve örgüt iklimi tiplerinin belirlenmesi

    Classification of container ports according to performance indicators and determination of organizational climate types

    ŞEFİK KAHVE

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2023

    DenizcilikKocaeli Üniversitesi

    Deniz İşletmeleri Yönetimi Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. GÖNÜL KAYA ÖZBAĞ

  4. Tez No

    910694

    Küresel kamusal mal çerçevesinde mülteci koruması

    Refugee protection within the framework of global public goods

    NIJAT IMANOV

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    MaliyeEskişehir Osmangazi Üniversitesi

    Maliye Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. AHMET TEKİN

  5. Tez No

    747201

    Examining the role of eye movements in facial expression and emotional intensity recognition via machine learning

    Başlık çevirisi yok

    DİLARA DENİZ TÜRK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolYeditepe Üniversitesi

    Bilişsel Bilim Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ FUNDA YILDIRIM

Geri Dön