Modüler formlar, eliptik eğriler ve uygulamaları
Modular forms, elliptic curves and their applications
- Tez No: 286974
- Danışmanlar: PROF. DR. OSMAN BİZİM
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2011
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Uludağ Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 98
Özet
Bu çalışmada matematiğin son dönemdeki popüler iki teorisi, Eliptik Eğriler ve Modüler Formlar ele alınmıştır. İspatlandıktan sonra ?Modülarite Teoremi? adını alan Taniyama-Shimura-Weil Konjektürü sayesinde birbirine bağlanan bu iki teorinin çeşitli uygulamaları mevcuttur. Bu çalışmada, bu teorilerin birbirleriyle olan ilişkisi kullanılarak Eliptik Eğriler Teorisi'nde yer alan bir açık problem, Modüler Formlar Teorisi kullanılarak çözülmüştür. Birinci bölümde, çalışmanın ilerleyen kısımlarında kullanılacak olan bazı kavramlar tanıtılmıştır. İkinci bölümde Eliptik Eğriler Teorisi'ne giriş yapılmış, sonlu cisimler üzerinde tanımlı bazı eliptik eğri aileleri hakkında elde edilen sonuçlar verilmiştir. Bu bölümün son kısmında ? üzerinde tanımlı eliptik eğrilerin özellikleri ele alınmış ve bazı uygulamalar yapılmıştır. Üçüncü bölüm modüler formlara ayrılmıştır. Tamsayı ve yarım tamsayı ağırlıklı formlar tanıtılmış, bu formlar üzerindeki Hecke operatörlerinin tanımları verilmiştir. Bu bölüm yukarıda adı geçen Modülarite Teoremi'nin ifadesinin verilmesi ile sona ermiştir. Çalışmanın temelini oluşturan dördüncü ve son bölümünde, rastgele seçilen bir eliptik eğrinin Selmer grubunun mertebesinin hesaplanması problemi ele alınmıştır. Literatürde bu haliyle çözümü bulunmayan problem eliptik eğrilerin twist ailelerine kısıtlanarak modüler formların analitik fonksiyonlar olması özelliği yardımıyla kısmen çözülmüştür. Bunun için matematiğin ödüllü konjektürlerinden Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü'nün doğru olduğu kabul edilmiş ve J. L. Waldspurger'in önemli bir teoremi kullanılmıştır. Hesaplanan Selmer grubu mertebelerinin dağılımı basit bir fonksiyon yardımıyla ifade edilmiştir.
Özet (Çeviri)
In this work, two recent popular theories of mathematics, namely Elliptic Curves and Modular Forms are discussed. The Taniyama-Shimura-Weil Conjecture which is also named as“Modularity Theorem”after proven, connects these two theories and it has various applications. Using the relationship of these theories an open problem on the Theory of Elliptic Curves is solved by Modular Forms Theory. In the first chapter of the work, some of the concepts which will be used later are introduced. In the second chapter, the theory of elliptic curves is introduced and some results for the families of elliptic curves over finite fields are obtained. In the last section of this chapter, the properties of the elliptic curves defined over rational numbers were observed and some applications are given. The third chapter is reserved for modular forms. Integer and half-integer weight forms are introduced and also the definition of Hecke operator is given. This chapter ended with the statement of Modularity Theorem which is mentioned above. The fourth and final chapter of the work which is the essential part of this thesis, the problem of computing the order of the Selmer group of a randomly selected elliptic curve is considered. In this case, there is no solution of this problem in the literature but restricting twist families of elliptic curves, this problem is partly solved by using the fact that modular forms are analytic functions. While this problem is being solved, it is assumed that one of the award-winning conjectures of the mathematics called the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture is true and an important theorem of J. L. Waldspurger is used. The distribution of the computed orders of Selmer groups expressed with a simple function.
Benzer Tezler
- Farklı eğri formları için eliptik eğri nokta işlemleri yapan C # kütüphanesi geliştirilmesi
Implementation C# library performing elliptic curve point operations for different curve forms.
ERGİN ÖZTÜRK
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolGebze Yüksek Teknoloji EnstitüsüElektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. SERDAR SÜER ERDEM
- Modular forms and Galois representations
Modüler formlar ve Galois temsilleri
CİHAN SOYLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2012
MatematikKoç ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. KAZIM BÜYÜKBODUK
- Kuadratik formlar ve modüler formlar
Quadratics forms and modular forms
EZGİ CIVGIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikBilecik Şeyh Edebali ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKER İNAM
- Different versions of the modularity theorem
Modülerlik teoreminin farklı versiyonları
İLKİZ BİLDİK
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikBoğaziçi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. EKİN ÖZMAN KARAKURT