Modular forms and Galois representations
Modüler formlar ve Galois temsilleri
- Tez No: 309879
- Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. KAZIM BÜYÜKBODUK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2012
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Koç Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 137
Özet
Bu çalışmada, rasyonel eliptik eğrilerin modüler formlardan geldiğini söyleyen modülerlik teoremini anlamaya çalıştık.İlk olarak modüler formlar, kompleks eliptik eğriler ve modüler eğriler arasındaki ilişkileri inceledik ve modüler eğrilerin kompleks eliptik eğrileri nasıl parametrize ettiğini gösterdik. Daha sonra modüler form uzayına etki eden Hecke operatörlerinitanımladık ve cusp form uzayı için bir baz elde ettik. Ayrıca modüler eğrilerin Jakobiyanlarını kullanarak Hecke operatörlerinin özvektörlerinin Fourier katsayılarının cebirselsayılar olduğunu gösterdik. Sonrasında modüler eğrilerin rasyoneller uzerindeki modelini ve Eichler-Shimura ilişkisini inceledik.Son olarak eliptik eğrilere ve modüler formlara ilişkilendirilen Galois temsillerini inşaettik ve modülerlik teoreminin ispatında kullanılan metodun kısa bir özetini verdik.Ayrıca modülerlik teoremi ve Fermat'ın son teoremi arasındaki ilişkiyi inceledik.
Özet (Çeviri)
This study aims at explaining the Modularity Theorem which states that every rational elliptic curve arises from modular forms. First we introduce modular forms, complex elliptic curves and modular curves, and study these objects. More precisely, we see how modular curves parametrize the complex elliptic curves and torsion data as solutions of a moduli problem, and there is a correspondence between the functions on the moduli spaces satisfying certain conditions and the modular forms.Then we define the Hecke operators acting on the space of modular forms and using them construct a canonical basis, consisting of newforms, of the space of cusp forms, and give the duality between the Hecke algebra and the space of modular forms. We, then, give the definition of the Jacobian of a modular curve and prove that Fourier coefficients of weight 2 eigenforms of the Hecke operators are algebraic integers and conjugate of a weight 2 normalized eigenform is also a normalized eigenform. Then we define the Abelian variety that comes from a weight 2 eigenform. After that we study the algebraic model of modular curves and give the Eichler-Shimura relation.Finally, we construct the Galois representations attached to an elliptic curve and a normalized eigenform. Then we give a very brief skecth of Wiles?s proof of the Modularity theorem and study the relation between Modularity theorem and Fermat?s last theorem.
Benzer Tezler
- On the modularity of Galois representations
Galois temsillerinin modüleritesi üzerine
UĞUR DOĞAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
MatematikKoç ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. KAZIM BÜYÜKBODUK
- Dedekind-eta çarpımlarından oluşan yarım tamsayı ağırlıklı hecke eigenformların sınıflandırılması
Classification of half-integral weight hecke eigenforms which are dedekind-eta quotients
BANU İREZ AYDIN
Doktora
Türkçe
2023
MatematikBilecik Şeyh Edebali ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKER İNAM
- Modüler formlar ve eigen değerleri
Modular forms and eigen forms
MEHMET BEKDEMİR
Doktora
Türkçe
2001
MatematikAtatürk ÜniversitesiOrtaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET IŞIK
- Kuadratik formlar ve modüler formlar
Quadratics forms and modular forms
EZGİ CIVGIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikBilecik Şeyh Edebali ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKER İNAM