On maharam operators
Maharam operatörler
- Tez No: 389418
- Danışmanlar: PROF. DR. FATMA ÖZDEMİR, PROF. DR. ÖMER GÖK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2014
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 90
Özet
Bu tezde, pozitif operatörler ve pozitif operatörlerin özel bir çeşidi olan Maharam operatörler üzerine çalışılmıştır. Temelde bir pozitif operatör, iki sıralı uzay arasında pozitif elemanları yine pozitif elemanlara taşıyan bir lineer operatördür. Benzer şekilde, eğer bir pozitif operatör sıralı sınırlı kümeleri yine sıralı sınırlı kümelere götürüyorsa sıralı sınırlı olarak adlandırılır. Bu argüman devam ettirilerek, Maharam operatörler, modülünün sıralı aralıkları yine sıralı aralıklara taşıdığı, yani sıralı aralık koruma özelliği (interval preserving) bulunduğu bir sıralı sınırlı operatör olarak adlandırılabilir. Girişten sonraki ilk bölümde, Riesz uzaylarının hangi şartlarda Arşimed veya Dedekind complete olacağı verilmiş ve sonuçları tartışılmıştır. İki Riesz uzayının positif konileri arasında tanımlanan bir toplamsal fonksiyonun bu Riesz uzayları arasındaki bir pozitif operatöre yalnızca bir genişlemesinin bulunacağı ispatlanmıştır. Bu genişleme her eleman için elemanın pozitif ve negatif kısımlarının görüntülerinin farkıdır. Bu şekilde, her pozitif operatörün tanım kümesinin pozitif konisi üzerindeki davranışıyla belirleneceği sonucuna varılmıştır. Riesz uzayının bir alt kümesinin hangi şartlarda sıralı sınırlı olacağı açıklanmış, sıralı sınırlı ve düzenli operatör tanımları verilmiştir. Dedekind complete Riesz uzaylarda bir operatörün modülü ve iki farklı operatörün supremumu ve infumumu tanımlanmış ve tanımın doğruluğu ispat edilmiştir. Sublineer fonksiyon tanımlanmış ve bir positif operatöre nasıl genişleyeceği gösterilmiştir. İdeal, sıralı yoğun Riesz altuzayı, sıralı yoğun ideal anlamına gelen band, band projeksiyonları, sıralı sürekli operatör kavramları verilmiş ve birbirleriyle ilişkileri incelenmiştir. Sıralı sürekli bir operatörün aynı zamanda sıralı sınırlı olacağı ve modülünün de sıralı sürekli olacağı gibi temel teoremler belirtilmiş ve ispatlanmıştır. Buradan sıralı sürekli operatörlerin uzayının sıralı sınırlı operatörlerin uzayının bir bandı olacağı sonucuna varılmıştır. Projeksiyon band kavramı verilmiş ve örneklendirilmiştir. Bir operatörün null ideali ve taşıyıcı uzayı tanımlanmıştır. Lineer fonksiyonel, sıralı sınırlı lineer fonksiyonel, sıralı sürekli fonksiyonel tanımları verilmiş ve sıralı sınırlı lineer fonksiyonellerinin vektör uzayının Riesz uzayındaki noktaları ayırmasının hangi anlama geleceği ifade edilmiştir. Lineer fonksiyoneller ve null idealleri ve taşıyıcıları arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Bir Riesz uzayının duali, ikinci dereceden duali ve perfect Riesz uzayı kavramları detaylandırılmış ve her perfect Riesz uzayının aynı zamanda Dedekind complete olması gerektiği belirtilmiştir. Rank operatör kavramı verilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Riesz uzaylarının arasındaki sıralı sınırlı bir operatörün adjoint operatörünün özellikleri incelenmiş ve ispatlanmıştır. Bir positif operatörün bileşen operatörü tanımlanış ve detaylandırılmış ve sıralı projeksiyonlarla bağlantısı gösterilmiştir. x-step fonksiyonu incelenmiş ve buna bağlı olarak Freudenthal'in spektral teoremi verilmiş ve ispatlanmıştır. Latis homomorfizm ve izomorfizmi kavramları tanıtılmış ve incelenmiştir. İzomorfik iki Riesz uzayın eş kabul edeceği belirtilmiştir. Bir operatörün hangi şartlarda aralık koruyucu olacağı (interval preserving) ifade edilmiş ve aralık koruyucu bir operatörün görüntü kümesinin her zaman bir ideal olacağı belirtilmiştir. Bir Riez uzayının Dedekind completion kavramı incelenmiştir. Band koruyucu operatör (band preserving) tanıtılmış ve bu kavramın farklı şartlarda nasıl sonuçlar doğuracağı gösterilmiştir. Ortomorfizm kavramı tanıtılmış ve ortomorfizmlerin uzayının özellikleri incelenmiştir. Bir ortomorfizmin modülünün varlığı ve yine bir ortomorfizm olacağının yanı sıra iki ortomorfizmin supremumunun ve infimumunun da yine bir ortomorfizm olacağı ispatlanmıştır. Ortomorfizmlerin uzayının sıralı sınırlı operatörlerin uzayındaki birim operatörün ürettiği ideal ile çakışacağı gösterilmiştir. Arşimed Riesz uzayında bir ortomorfizmin bu uzayın Dedekind completion uzayında yalnızca bir genişlemesi olacağı ispatlanmıştır. Bir ortomorfizmin kernelinin bir band olacağı gösterilmiştir. f-cebiri kavramı verilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Her Arşimed f-cebirinin değişmeli olacağına dikkat çekilmiştir. İlk bölümün sonunda Banach latis kavramı verilerek Maharam operatörler ve genişlemeleri kavramının anlaşılması için gerekli altyapı tamamlanmıştır. İkinci bölümün başında Maharam operatörler, merkez operatörler ve bir Banach operatörünün merkezi tanıtılmıştır. İki Dedekind complete uzayının bandlarının Boolean cebirleri arasındaki sıralı sürekli Boolean halka homomorfizminin bunlara karşılık gelen band projeksiyonlarının Boolean cebirleri arasında bir sıralı sürekli Boolean homomorfizmi indirgeyeceği gösterilmiştir. Eğer sıralı sürekli Boolean homomorfizminin üzerine kurulduğu operatör bir Maharam operatör ise sonuçların nasıl gelişeceği incelenmiştir. İki Arşimed uzayının, ikincisi Dedekind complete olmak üzere, merkezleri arasında tanımlanan bir f-cebiri homomorfizminin h yardımıyla oluşturulan L_n^h (L,M), ΠT=Th(Π) ∀Π∈Z(M) şartını sağlayan sıralı sürekli operatörlerin uzayı, tanımlanmış ve L_n (L,M) uzayında bir band olduğu kanıtlanmıştır. Bir Maharam operatörün ürettiği banddaki her operatörün de Maharam olacağı gösterilmiştir. Bundan yararlanılarak L_n^h (L,M) deki disjoint operatörlerin birtakım özellikleri ispatlanmıştır. Örneğin L_n^h (L,M) de iki operator disjoint ise taşıyıcılarının da disjoint olacağı gösterilmiştir. Sonrasında bu operatörlerin disjoint olmaması durumunda taşıyıcıları arasında nasıl bir bağlantı kurulabileceğine çalışılmıştır. Buradaki ilk uzayın da Dedekind complete alınmasıyla sonuçların nasıl değişeceği gösterilmiştir. L_n^h (L,M) uzayının Maharam operatörlerden oluşan bir ideali ile f-cebiri homomorfizmleri arasındaki bağlantı incelenmiş ve son olarak Maharam operatörlerden oluşan bir ideal tarafından üretilen bir bandın da yine Maharam operatörlerden oluşacağı ispatlanarak bölüm bitirilmiştir. Üçüncü bölüme f-modülü, f-altmodülü ve A-lineer operatör kavramları incelenerek başlanmıştır. L_b^A (E,F) ve L_n^A (E,F) tanıtılmış ve sırasıyla L_b (E,F) ve L_n (E,F) uzaylarının bandı olduğu ispatlanmıştır. Sonrasında f-modüllerinin çeşitli örnekleri incelenmiştir. Bu örneklerin ilkinde herhangi bir Arşimed Riesz uzayının, merkezinin üzerinde bir f-modülü olarak alınabileceği gösterilmiştir. İkinci örnekte ise L_n (E,F) uzayının L_b (E,F) uzayının bir f-altmodülü olduğu ifade edilmiştir. Üçüncü örnekte ise, h, ikincisi aynı zamanda Dedekind complete olarak alınırsa iki Arşimed uzayının merkezleri arasındaki f-cebiri homomorfizmi olmak üzere L_n^(Z(M)) (E,F)=L_n^h (E,F) tanımlanmış ve özellikleri üçüncü ve dördüncü örneklerde detaylı olarak incelenmiştir. Bu uzayın aynı zamanda L_n (L,M) uzayının bir bandı ve Z(M) üzerinde bir f-altmodülü olduğu ifade edilmiştir. L_n^(Z(M)) (E,M) bir idealinin aynı zamanda bir f-altmodülü olduğu sonucuna varılmış ve bu idealden alınmış herhangi bir operatör üzerinde tanımlanan L_n^(Z(M)) (E,M) uzayına ait bir fonksiyonun özellikleri incelenmiştir. Sıralı sınırlı Z(M)-lineer Riesz homomorfizmi kavramı tanıtılmış ve bir Arşimed Riesz uzayının bir sıralı sürekli Z(M)-lineer Riesz homomorfizmi altındaki görüntüsünün hangi şartlarda L_n^(Z(M)) (J,F) in bir idealine veya kendisine eşit olacağı gösterilerek ispatlanmıştır. Girişten sonraki dördüncü bölüm Maharam genişlemelerinin kurulma sürecini anlatmaktadır. Bölüme k bir cisim olmak üzere, üzerinde kurulan birimsel A modül ve k-lineer gömme kavramları hatırlatılarak başlanmıştır. L bir Arşimed uzayı, M bir Dedekind complete Riesz uzayı ve J, L_b (L,M) nin bir ideali olmak üzere Z(M) ⨂_J L, L_n^Z(M) (J,M) uzayının Π⨂f formundaki operatörler kullanılarak üretilmiş lineer altuzayı, ve Z(M) ⨂ ̃_J L, Z(M) ⨂_J L in ürettiği ideal, tanımları verilmiş χ_0:L→L_n^Z(M) (J,M) fonksiyonu χ_0 f=I⨂f şeklinde tanımlanmıştır. Z(M) ⨂ ̃_J L in χ_0 (L) in L_n^(Z(M)) (J,M) uzayında ürettiği ideal ile çakıştığı belirtilmiş ve ispatlanmıştır ve bu idealin hangi şartlarda sıralı yoğun olacağı tartışılmıştır. (F,χ_F ) ikilisi hangi özellikleri sağlarsa L_n^Z(M) (J,M) uzayında χ_0 (L)⊆E şartını sağlayacak tek bir ideal olacağı ve γ∘χ_F=χ_0 şartını sağlayan tek bir Z(M)-lineer Riesz izomorfizmi olacağı gösterilmiştir. Buna bağlı olarak bir ideal için Maharam genişleme uzayı tanımlanmıştır. (F,χ_F ) Maharam genişleme uzayında F, Z(M) üzerinde bir Dedekind complete f-modülü ve χ_F:L→F bir Riesz homomorfizmidir, idealdeki her T operatörü için T=T ̃∘χ_F şartını sağlayan L_n^Z(M) (F,M) de tek bir T ̃ operatörü vardır ve {T ̃:0≤T∈J} kümesi F uzayındaki noktaları ayırır. Bir Maharam genişlemesinin hangi şartlarda minimal veya maksimal olacağı incelenmiştir. Her Maharam genişleme uzayının L_n^(Z(M)) (J,M) da bir ideal olarak düşünülebileceği sonucuna varılmıştır. Ayrıca, her minimal Maharam genişleme uzayının J nin minimal Maharam genişleme uzayı olan Z(M) ⨂ ̃_J L e izomorfiktir ve benzer olarak J nin maksimal Maharam genişleme uzayı izomorfizm yoluyla tek olarak belirlenmiştir ve Z(M) ⨂ ̂_J L ile gösterilmiştir. Eğer (E,χ), J nin bir Maharam genişleme uzayı ise χ in her zaman birebir olmasına gerek olmadığı belirtilmiş ve hangi şartlarda birebir olacağı ve bunun diğer hangi sonuçlara yol açacağı incelenmiştir. Yine χ homomorfizminin sıralı sürekli olma koşulları ispatlanmıştır. Bir idealin minimal Maharam genişleme uzayının aynı zamanda o idealin ürettiği bandın da minimal Maharam genişleme uzayı olacağı gösterilmiş ve detaylandırılmıştır. Son bölümde, konunun detaylarının daha açık bir şekilde incelenebileceği iki örnek verilmiştir. İlk örnekte, Riesz uzayları m ve n boyutlu reel uzaylar, lineer operatörler n×m boyutlu matrisler ve Z(M) n×n boyutlu diagonal matrisler olarak alınmış ve buna bağlı olarak Z(M) üzerinde f-modülün nasıl şekil alacağı incelenmiştir. İkinci örnekte ise kernel operatörlerin Maharam genişlemeleri incelenmiştir. Sonuç ve öneriler kısmında, bu tezde incelenen Maharam genişleme uzaylarının cebirsel yapısını yanı sıra topolojik ve Banach latis yapısının da incelenerek farklı sonuçlara varılabileceği belirtilmiştir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, it has been worked on positive operators and Maharam operators which is a special kind of positive operators.In the first section after the introduction, the circumstances in which a Riesz space is Archimedean or Dedekind complete have been given and their results have been discussed. The important fact that an additive mapping between the positive cones of two Riesz spaces has a unique extension to a positive operator between these Riesz spaces has been stated. The definition of order bounded operators has been given and the modulus of an order bounded operator and the infimum and supremum of two order bounded operators have been examined. The extension of positive operators has been discussed in a detailed fashion. The concept of ideal, band and band projection of a Riesz space has been examined. The relationship between order continuous and order bounded operators has been given and related to the band projections. The concept of the null ideal and the carrier of an operator has been discussed. The linear functional, order bounded functinal and order continuous functional has been introduced. The definition of a component of a positive operator has been given. Freudenthal's Spectral Theorem has been proved. The lattice homomorphisms and orthomorphisms have been introduced and the properties of the space of lattice orthomorphisms has been examined in a detailed way. Consequently, f-algebras have been introduced and their properties have been discussed. In the last part of the first section, as an additional information, the concept of the Banach lattices has been given. In the beginning of the second section, the definition of Maharam operators, the center operators and the center of a Banach lattice has been given. The properties of the Boolean ring homomorphism between the Boolean algebra of the corresponding band projections induced by the Boolean ring homomorphism between the Boolean algebras of bands in two Dedekind complete Riesz spaces have been examined. The properties of f-algebra homomorphisms between the center of Riesz spaces have been discussed in a detailed fashion. The lattice structure of L_n^h (L,M), the collection of order continuous operators which satisfies ΠT=Th(Π) ∀Π∈Z(M), has been constructed and proved to be a band in L_n (L,M). All operators in the band generated by a Maharam operator are proved to be Maharam. The properties of null ideal and the carrier of an operator in L_n^h (L,M) and the relationship between them have been examined in a detailed fashion. In the third section, first of all, the concept of f-module, f-submodule and A-linear operator has been introduced. L_b^A (E,F) and L_n^A (E,F) have been defined and proved to be a band in L_b (E,F) and L_n (E,F ), respectively. Some examples of f-modules has been given. In this examples, L_n^(Z(M)) (E,F)=L_n^h (E,F), where h is an f-algebra homomorphism between the centers of two Archimedean Riesz spaces where the latter is also Dedekind complete, is defined and its properties have been discussed in a detailed fashion. It is also proved to be a band in L_n (L,M) and f-module structure over Z(M). The concept of an ideal of L_n^(Z(M)) (J,M) and it's being an f-submodule over Z(M) have been examined. The circumstances in which the range of an Archimedean Riesz space under an order continuous Z(M)-linear Riesz homomorphism is an ideal of L_n^(Z(M)) (J,F) or L_n^(Z(M)) (J,F) itself have been shown. In the fourth section after introduction, Z(M) ⨂_J L, the linear subspace of L_n^Z(M) (J,M) generated by the operators of the form Π⨂f where L is an Archimedean Riesz space and J is an ideal of L_b (L,M), and Z(M) ⨂ ̃_J L, the ideal generated by Z(M) ⨂_J L in L_n^Z(M) (J,M) and a mapping χ_0:L→L_n^Z(M) (J,M) given by χ_0 f=I⨂f has been defined and the properties of this operator has been discussed in a detailed fashion. The definition of a Maharam extension space (F,χ_F ), where F is a Dedekind complete f-module over Z(M) and χ_F:L→F is a Riesz homomorphism, for an ideal of L_n^(Z(M)) (J,M), has been given and the circumstances in which a Maharam extension is minimal or maximal has been examined. In the last section, to extend the subject, two examples have been given. In the first example, the Riesz spaces have been taken as finite dimensional real spaces. In the second example, the Maharam extensions of kernel operators have been discussed.
Benzer Tezler
- Topolojik olarak zengin merkezli banach latislerde maharam operatörleri
On maharam operators on banach lattices with topologically rich center
FATMA ÖZTÜRK ÇELİKER
- Determination of the best extraction method of Citrus aurantifulia L. essential oil and its antimicrobial activity
Narenciye aurantifulia L. temel yağ en iyi ekstraksiyonu yöntemi belirlenmesi ve antimikrobiyal aktivite
MUHARAM YASEEN MUHAMMED
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
Kimya MühendisliğiKahramanmaraş Sütçü İmam ÜniversitesiBiyomühendislik ve Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET HAKKI ALMA
- Existence of a periodic solution for some nonlinear partial differential equations using fixed point theory in banach spaces
Banach uzaylarında sabit nokta teorisini kullanarak lineer olmayan bazı kısmi difeerensiyel denklemler için periyodik bir çözümün varlığı
MOHANAD MAHMOOD SHAKIR MAHAZAM
Yüksek Lisans
İngilizce
2023
MatematikÇankırı Karatekin ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ŞERİFENUR CEBESOY ERDAL
PROF. DR. RAAD AWAD HAMEED
- Deniz ticareti hukukunda taşıyanın muhtemel sorumsuzluk halleri
Potential exemptions of the carrier in maritime trade law
MAHARRAM ABBASOV
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
Hukukİstanbul ÜniversitesiÖzel Hukuk Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. KÜBRA YETİŞ ŞAMLI
- Epileptik nöbet sınıflamaları (ılae-1981 ve ılae-2017): Modüler eğitim programı ile pediatri asistanları örnekleminde karşılaştırılması
Epileptic seizure classification (ilae-1981 and ilae-2017): Comparison of modular education program among residents in pediatrics
MAHARRAM IMANLI
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2017
Çocuk Sağlığı ve HastalıklarıEge ÜniversitesiÇocuk Sağlığı ve Hastalıkları Ana Bilim Dalı
PROF. HASAN TEKGÜL