Evolution of the hofstadter butterfly in a tunable optical lattice
Hofstadter kelebeğinin ayarlanabilir optik örgülerdeki değişimi
- Tez No: 395489
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MEHMET ÖZGÜR OKTEL
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi
- Enstitü: Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 67
Özet
Kuantum mekaniksel sistemlerde sınırlı sayıda analitik çözüm vardır. Bu çözümler karmaşık sistemlerin yaklaşık çözümleri için önemlidir. Çözülmemiş denklemlemlerinden biri de ünlü Harper denklemidir. Harper denklemi, 2 boyutlu periyodik potansiyel altındaki parçaçığın sabit manyetik alan altında davranışını inceler. İlk tam nümerik çözümü Douglas Hofstader elde etmiştir. Manyetik ˙ kuantum akışın fonksiyonu olan enerji spekturumu, karmaşık fraktal bir yapı göstermektedir. Bu spekturum Hofstader kelebeğidir ve sadece örgü geometrisine bağlıdır. Diğer bir deyişle, sabit bir manyetik alan altında fraktal enerji spekturumunu, pirimitif örgü vektörleri ve unite vektörleri belirler. Katı hal fiziğinde, birim hücresinin alanı bir kaç nanometre kare ölçeğinde olduğundan, bu enerji spekturumlarını deneysel olarak gözlemlemek binlerce Tesla büyüklüğünde manyetik alan gerektirmektedir. Son zamanlarda soğuk atom fiziğindeki iki ana gelişme, Hofstadter kelebeğinin gerçekleştirilmesinin yolunu açtı. Birincisi, optikörgülerin yaratılması ve değiştirilebilmesidir. Bu gelişme örgü sabitini bir kaç nanometreden bir kaç yüz nanometreye kadar kontrol edilebilen alan yaratmayı sağlar ve enerji spekturumunu gözlemlemek için gerekli manyetik alan günümüz deneylerinin ulaşabildiği seviyelere iner. Ikinci gelişme, sentetik ayar alanlarının optik ağ örgülerinde gerçellenmesidir. Bu tezde odaklandığımız bir gelişme ise ayarlanabilir optik ağ geometrilerinin yaratılmasıdır[L.Tarruell et al., Nature 483, 302305 (2012)]. Sabit manyetik alanlardaki eş-benzer enerji spekturumu sadece ağ geometrisine bağlıdır ve Zürih araştırma grubu bu bağlantıyı incelemek için bir fırsat sunmuştur. Hofstadter kelebeğini, Zürih grubu tarafından elde edilebilen tüm ağ parametreleri için özel olarak hesapladık[3]. Sonrasında dama örgüden bal peteği örgüsüne geçişte Hofstadter kelebeğinin değişimini inceledik ki bu topolojik sabit Chern sayılarının eş-benzer enerji spekturumlarındaki değişimlerini de içerir. Bu amaçla, ilk olarak araştırma sürecinde faydalandığımız teorik yapıtaşlarını sunduk. Sürekli Hamiltonian ve sıkı-bağlı Hamiltonian'dan başlayıp basamak basamak Hofstadter kelebeği elde etme sürecini anlattık. Açık olarak kare örgü ve pal peteği örgüsü için kelebekleriürettik. Sonrasında Zürih grubunca yapılan deneye yoğunlaştık ve tüm ağ parametreleri için Hofstadter kelebeğini elde ettik. Bu Hofstadter kelebekleri detaylıca incelendi. Uç farklı bölge bulundu. Birinci bölgede spekturum, iki kare örgü Hofstadter kelebeğinin aralarında geniş bir enerji boşluğu olacak şekildeüstüste halinden oluşur. Optik ağ dama geometrisinden pal peteği geometrisine evrilirken Dirac noktalarının manyetik akının rasyonel değerlerinde ortaya çıkmasıyla ikinci bölge başlar. Uçüncü bölge, sıfır enerji seviyesi etrafındaki komşu bantlar başta olmaküzere sonsuz sayıdaki bantın birbiriüzerine kapanmasıyla pal peteği ağının Hofstadter kelebeğine yakınsamasıyla ulaşılır. Bu kapanma süreci günümüz deney aletleriyle aranabilir. Gösterdik ki manyetik alansız ortamda Dirac noktalarının varlığı sonlu manyetik alanlarda aynı Dirac noktalarının varlığını garanti etmez. Enerji spekturumunun topolojik özellikleri uygulanan manyetik alanla değişebilir. Spekturumdaki ana enerji boşluklarının Chern sayılarını hesapladık ve bu sayıların ağ geometrisinin değişim sürecinde değiş tokuşunu ve iletimini analiz ettik. Denklem 5.2'de görüldüğü gibi, bu süreçte sıfır enerji etrafında ortaya çıkan Dirac noktalarının kritik bir değere göre belirlendiği bir analitik formül belirledik.
Özet (Çeviri)
There are a limited number of exact solutions for quantum mechanical systems. It is critical to obtain solutions for complex systems. One of these unsolved equations was the famous Harper's equation, which was proposed in 1955. It investigates the behavior of a particle in a periodic potential under a uniform magnetic field in two dimensions. Douglas Hofstadter, in 1976, obtained a numerical solution for the first time, discovering a non-trivial energy spectrum as a function of magnetic flux. The spectrum is a fractal structure, the Hofstadter butterfly, and depends purely on the lattice geometry. In other words, primitive lattice vectors and basis vectors determine the fractal energy spectrum under a uniform magnetic field. The experimental demonstration of such an energy spectrum requires a magnitude of thousands of Teslas magnetic field in the solid state systems since the area of a unit cell is on the order of a few square nanometers. Recently, two main developments in cold atom physics led the way to the realization of the Hofstadter butterfly energy spectrum. The first one as the creation and manipulation of optical lattices. It provides a controllable environment with lattice constants up to a few hundred nanometers, which means the required magnetic field is now within experimental capabilities. The second development is the realization of synthetic gauge fields on optical lattices. One recent development we focus in this thesis is the creation of an adjustable lattice geometry. The self-similar energy spectra for a uniform magnetic field depends purely on the lattice geometry. Recently, the Zurich group presented a unique chance to examine the connection between them. Particularly, we calculate the Hofstadter butterfly for all lattice parameters which can be obtained by the Zurich group. We then investigate the transition of the Hofstadter butterfly from a checkerboard lattice to a honeycomb lattice, which includes the observation of the change in topological invariants, the Chern numbers of the self-similar energy spectra. For this purpose, we first present the theoretical building blocks utilized throughout the research. We show the step-by-step procedure to obtain the Hofstadter butterfly, starting from the continuous Hamiltonian and projection onto a tight-binding Hamiltonian. We explicitly demonstrate the butterflies for the square lattice and the honeycomb lattice. Next, we concentrate on the experiment carried out by the Zurich group, and obtain the Hofstadter butterflies for all lattice geometries. The Hofstadter butterflies are analysed in detail. There are three different regimes. In the first regime the spectrum is formed by two stacked square lattice Hofstadter butterflies separated by a large energy gap. As the optical lattice evolves from the checkerboard to the honeycomb geometry, the second regime begins with the emergence of Dirac points for particular rational magnetic flux values Phi = p/q, where p,q are mutually prime integers. In the third regime infinitely many sequential closings of adjacent bands around zero energy give the honeycomb lattice Hofstadter butterfly as a limit. This closing process can be probed with current setups. We show that the existence of Dirac points at zero magnetic field does not imply its existence at a finite field. The topological properties of the energy spectrum can change with the applied magnetic field. We calculate the Chern numbers of the major gaps in the spectra and examine the exchange and the transfer of these topological invariants during the evolution of the lattice geometry. An analytic formula to determine the critical value for the emergence of Dirac points around zero energy is obtained in Eq. 5.2.
Benzer Tezler
- Electronic structure of graphene under the influence of external fields
Grafenin elektronik yapısının dış alanların etkisi altında incelenmesi
SELCEN İSLAMOĞLU
Doktora
İngilizce
2012
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiFizik Bölümü
PROF. DR. OĞUZ GÜLSEREN
- Coulomb impurities in graphene quantum dots in a magnetic field
Manyetik alan altındaki grafen kuantum noktalarda coulomb safsızlıkları
İSMAİL EREN
Yüksek Lisans
İngilizce
2021
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALEV DEVRİM GÜÇLÜ
- Alt-uzay dönüşüm yöntemi ile Fır süzgeç tasarımı
Finite-duration impulse response filter design using subspace transformations
MEHMET DEVRİM AZAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik-Haberleşme Eğitimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ NUR GÖNÜLEREN
- Evolution of the architectural form based on the geometrical concepts
Mimari formun oluşum sürecinde geometrik kavramlar
SERKAN YILMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
1999
Mimarlıkİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüMimarlık Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET EYÜCE
- Evolution of the keyboard prelude as a genre in Europe: A textural and stylistic approach
Tuşlu çalgılar için yazılmış prelüdlerin bir tür olarak Avrupa'daki gelişimi: Dokusal ve stilistik bir analiz
AYŞE DİRİKER SİPAHİ