Geri Dön

Hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar

Submanifolds of hyperbolic and pseudo-hyperbolic spaces with finite type generalized Gauss map

PDF İndir

  1. Tez No: 421179
  2. Yazar: RÜYA ŞEN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. UĞUR DURSUN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2016
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 116

Özet

Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlar kavramı 1970'lerin sonlarında B.-Y. Chen tarafından verilmiştir. Öklid veya yarı-Öklid uzaylarında kompakt bir Riemann alt manifoldunun yer vektörü, alt manifold üzerinde metrik tarafından indirgenen Laplace operatörünün sonlu sayıda özvektörlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa, alt manifolda sonlu tipten bir alt manifold denir. Bu özvektörler, Laplace operatörünün $k$ tane ayrık özdeğerine karşı geliyorsa alt manifolda $k$-tipinden bir alt manifold denir. Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlarının sınıflandırılması ve karakterizasyonu ile ilgili çok sayıda çalışma yapılmıştır. Daha sonra, sonlu tipten alt manifold kavramı, kompakt manifoldlardan Öklid uzayı veya yarı-Öklid uzayı içine tanımlanan düzgün tasvirlere, özellikle alt manifoldların Gauss tasvirlerine genişletilmiştir ve sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların sınıflandırılması ile ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Küresel bir alt manifold aynı zamanda Öklid uzayının bir alt manifoldu olduğundan, küresel alt manifoldlar için Gauss tasviri, klasik Gauss tasvirinden farklı değildir ve Obata küresel alt manifoldların Gauss tasvirinde değişiklik yaparak genelleştirilmiş (küresel veya hiperbolik) Gauss tasvirini tanımlamıştır. $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$, $n$-boyutlu yönlendirilebilir bir $M^n$ Riemann manifoldundan, $m$-boyutlu bir $\widetilde M^m$ uzay formuna izometrik bir daldırma olmak üzere, $M^n$ manifoldunun her $p$ noktasını, $\textbf{x}(p)$ noktasında $\textbf{x}(M^n)$ manifolduna teğet olan $\widetilde M^m$ manifoldunun bir $n$-boyutlu tümden jeodezik uzayına götüren tasvire Obata anlamında genelleştirilmiş Gauss tasviri denir. $\widetilde M^m$ manifoldunun $\mathbb S^{m}(1)$ birim küresi (ya da $\mathbb H^{m}(-1)$ hiperbolik uzay) olması durumunda genelleştirilmiş Gauss tasvirine küresel Gauss (ya da hiperbolik Gauss) tasviri denir. Son zamanlarda, sonlu tipten küresel (veya hiperbolik) Gauss tasvirine sahip küresel (veya hiperbolik) alt manifoldların bazı sınıflandırılması ve karakterizasyonu yapılmıştır. Bu çalışmada, hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzayların sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt manifoldları incelenmiştir. İlk olarak, yarı-hiperbolik uzayların alt manifoldları için Obata anlamında genelleştirilmiş Gauss tasviri tanımlanmıştır. Ardından, hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten hiperbolik ve yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldların bazı karakterizasyonları verilmiş ve sınıflandırılması yapılmıştır. Tezin birinci bölümünde, literatür araştırmasına yer verilmiştir. Bugüne kadar yapılmış olan çalışmalar ve içerikleri açıklanmıştır. Ayrıca, tez çalışmasında elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. İkinci bölümde, tez çalışmasında kullanılan bazı temel tanımlar ve denklemler yarı-Riemann manifoldlarının yarı-Riemann alt manifoldları düşünülerek verilmiştir. $n$-boyutlu, $t$ indeksli ve yönlendirilebilir bir $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan $\mathbb{E}^m_s$ yarı-Öklid uzayına tanımlanmış bir daldırma için klasik Gauss tasvirinden bahsedilmiştir. Üçünde bölümde ise, ilk olarak Obata anlamında Gauss tasviri detaylı olarak açıklanmıştır. Obata anlamında Gauss tasviri kullanılarak hiperbolik ve yarı-hiperbolik Gauss tasvirleri tanımlanmıştır. Ayrıca, yarı-hiperbolik Gauss tasvirinin Laplace operatörü hesaplanmıştır. Son olarak, $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan $\mathbb{E}^m_s$ yarı-Öklid uzayı içine tanımlanmış sonlu tipten düzgün bir tasvir için minimal polinom kriteri verilmiştir. Çalışmanın dördüncü bölümünde, hiperbolik uzaylarda sonlu tipten hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda, hiperbolik uzaylarda 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar için bir karakterizasyon verilmiştir. $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ hiperbolik uzayı içinde tümden jeodezik $\mathbb{H}^{n}(-1)$ hiperbolik uzayının 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip yegane minimal izoparametrik hiperyüzey olduğu gösterilmiştir. $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ hiperbolik uzayı içindeki bir yüzeyin 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir. Ayrıca, $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ hiperbolik uzayı içinde spektral açılımında sıfırdan farklı sabit terimi olan 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar sınıflandırılmıştır. İkinci kısmında ise, hiperbolik uzaylarda 2-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip uzaysal hiperyüzeylerin bir karakterizasyonu verilmiştir. $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ hiperbolik uzayı içinde bir horohiperkürenin biharmonik Gauss tasvirine sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bu bölümde, 3-boyutlu hiperbolik uzayın tümden ombilik olmayan, sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli 2-tipinde hiperbolik Gauss tasvirine sahip yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Son bölümde ise, yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir. Bu bölüm, iki kısımdan oluşmaktadır İlk kısımda, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$ yarı-hiperbolik uzayında 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip yarı-Riemann alt manifoldlar için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. $\mathbb{H}_2^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{3}$ yarı-hiperbolik uzayı içinde maksimal yüzeyler için sınıflandırma yapılmıştır. Ayrıca, $\mathbb{H}_1^{4}(-1)\subset \mathbb{E}^5_{2}$ yarı-hiperbolik uzayı içinde ışıksal ortalama eğrilik vektörüne sahip uzaysal ve 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip yüzeyler sınıflandırılmıştır. Bununla birlikte, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$ yarı-hiperbolik uzayı içinde $n$-boyutlu $t$ indeksli, ışıksal olmayan ortalama eğrilik vektörüne sahip ve yönlendirilebilir bir $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldunun spektral açılımında sıfırdan farklı sabit terimi olan 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. İkinci kısımda ise, indeksi 1 ya da 2 olan yarı-hiperbolik uzaylarda 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip uzaysal alt manifoldlar araştırılmıştır. $\mathbb{H}_1^{n+1}(-1)$ yarı-hiperbolik uzayı içinde uzaysal, sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli bir hiperyüzeyin 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. $\mathbb{H}_1^{3}(-1)\subset \mathbb{E}^4_{2}$ yarı-hiperbolik uzayın tümden ombilik olmayan, sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli, 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Ayrıca, hiperbolik Veronese yüzeyinin 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olduğu gösterilmiştir. Son olarak, tamamen $\mathbb{H}^{4}_2(-1)\subset\mathbb{H}^ {m-1}_2(-1)$ yarı-hiperbolik uzayı içinde uzaysal maksimal, 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip yegane yüzeyin hiperbolik Veronese yüzeyi olduğu ispatlanmıştır.

Özet (Çeviri)

The notion of finite type submanifolds of a Euclidean space was introduced by B.-Y. Chen in late 1970's. Since then the finite type submanifolds of Euclidean spaces or pseudo-Euclidean spaces have been studied extensively, and many important results have been obtained. A Riemannian submanifold of a Euclidean space or pseudo-Euclidean space is said to be of finite type if its position vector can be written as a sum of finitely many eigenvectors of the Laplace operator. If these eigenvectors are corresponding to $k$ distinct eigenvalues of the Laplace operator, then the submanifold is said to be of $k$-type. For an isometric immersion ${\bf x}: M^n \longrightarrow \mathbb{E}^m$ of a compact Riemannian manifold $ M^n$ into an Euclidean space $\mathbb{E}^m$, the constant vector ${\bf x_0}$ in the spectral decomposition is exactly the center of mass of $ M^n$ in $\mathbb{E}^m$, where $\bf{x_0}$ is the eigenfunction of the Laplacian with eigenvalue $\lambda_0=0$. A spherical finite type map ${\bf x}$ of a Riemannian manifold $M^n$ into the unit sphere $\mathbb S^{m-1}(1)$ centered at the origin of $\mathbb{E}^m$ is called mass-symmetric if the vector $\bf{x_0}$ in its spectral decomposition is the center of $\mathbb S^{m-1}(1)$. Finite type non-compact submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces are studied by many researcher. When $ M^n$ is compact, the component $\bf{x_0}$ in the spectral decomposition is a constant vector. However, when $ M^n$ is non-compact the component $\bf{x_0}$ is not necessary a constant vector. If $ M^n$ is not compact, we can not make the spectral decomposition of a map on $ M^n$ in general. But, it is possible to define the notion of a map of finite type on a non-compact manifold. Finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces have been studied by many geometers, and also many classifications and characterizations of finite type submanifolds have been obtained. Later, the notion of finite type was extended to differentiable maps on compact manifolds, in particular to Gauss map of submanifolds. And many results have been obtained on the classification of submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean spaces with finite type Gauss map. Since a spherical submanifold can be viewed as a submanifold of a Euclidean space the Gauss map of the spherical submanifold can be determined in the ordinary sense. For the Gauss map to reflect the properties of submanifolds in sphere instead of Euclidean space, Obata modified the definition of Gauss map appropriately as follows: Let $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$ be an oriented isometric immersion from a Riemannian $n$-manifold $M^n$ into a space form $\widetilde M^m$ of constant curvature. The generalized Gauss map in the Obata's sense is a map which assigns to each $p\in M^n$ the totally geodesic $n$-space of $\widetilde M^m$ tangent to $\textbf{x}(M^n)$ at $\textbf{x}(p)$. In the case, $\widetilde M^m = \mathbb S^{m}(1)$\; (or resp. $\widetilde M^m = \mathbb H^{m}(-1)$ the hyperbolic space) the generalized Gauss map is also called the spherical Gauss map\;(or resp. the hyperbolic Gauss map). Recently, spherical (or hyperbolic) submanifolds with finite type spherical (or hyperbolic) Gauss map have been characterized and classified in some papers. It is known that the geometric behavior of classical and spherical Gauss map are different. For example, the classical Gauss map of every compact Euclidean submanifold is mass-symmetric; but the spherical Gauss map of a spherical compact submanifold is not mass-symmetric in general. In this thesis, submanifolds of hyperbolic spaces and pseudo-hyperbolic spaces with finite type generalized Gauss maps are studied. Firstly, the definition of pseudo-hyperbolic Gauss map of pseudo-hyperbolic submanifolds in the Obata's sense is given, and then characterization and classification of submanifolds of hyperbolic space and pseudo-hyperbolic space with finite type generalized Gauss map are obtained. In the first chapter, it is mentioned about a review of literature. And then, results obtained this thesis are summarized. In the second chapter, it is introduced some fundamental definitions and equations of pseudo-Riemannian submanifolds of pseudo-Riemannian manifolds. It is mentioned about the classical Gauss map from an oriented pseudo-Riemannian manifold into a pseudo-Euclidean space. In the third chapter, firstly, by using the definition of generalized Gauss map in Obata's sense, the definition of hyperbolic Gauss map and pseudo-hyperbolic Gauss map are given. Laplacian of pseudo-hyperbolic Gauss map of the pseudo-Riemannian $n$-submanifold $M^n_t$ with index $t$ in a pseudo-hyperbolic $(m-1)$-space $\mathbb{H}^{m-1}_s(-1)\subset \mathbb{E}_{s+1}^m$ with index $s$ is obtained. Then, the minimal polynomial criteria is given for a finite type differentiable map from the pseudo-Riemannian $n$-submanifold $M_t^n$ with index $t$ to $\mathbb{E}^m_s$ pseudo-Euclidean space. In the fourth chapter, submanifolds of hyperbolic spaces with finite type hyperbolic Gauss map are investigated. This chapter contains two sections. In the first section, the characterization and classification of submanifolds of hyperbolic space with 1-type hyperbolic Gauss map are obtained. It is concluded that a totally geodesic hyperbolic space $\mathbb{H}^{n}(-1)$ is the only minimal isoparametric hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ with 1-type hyperbolic Gauss map. Also, it is proved that an oriented surface $M$ in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ has 1-type hyperbolic Gauss map if and only if $M$ is an open part of a totally geodesic hyperbolic 2-space $\mathbb{H}^{2}(-1)$ in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)$. Moreover, a classification theorem is given for a submanifold of $\mathbb{H}^{m}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ with 1-type hyperbolic Gauss map such that its spectral decomposition contains a non-zero constant component. In the second section, the necessary and sufficient condition for hypersurfaces with non-zero constant mean curvature of hyperbolic space having 2-type hyperbolic Gauss map is obtained. A horohypersphere in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is introduced and then, it is showed that the horohypersphere in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ has biharmonic hyperbolic Gauss map. It is also obtained that the standard product $\mathbb{H}^k(-\frac{1}{1+r^2})\times\mathbb{S}^{n-k}(\frac{1}{r^2})$ in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is the only isoparametric hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ with 2-type hyperbolic Gauss map. Finally, it is proved that a non-totally umbilical surface with non-zero constant mean curvature in $\mathbb{H}^{3}(-1)\subset \mathbb{E}_1^{4}$ has 2-type hyperbolic Gauss map if and only if it is an open portion of the product surface $\mathbb{S}^1(a^{-2})\times\mathbb{H}^1(-b^ {-2})$ in $\mathbb{H}^3(-1)$. In the last chapter, the pseudo-Riemannian submanifolds of pseudo-hyperbolic spaces with finite type pseudo-hyperbolic Gauss map are studied. It contains two sections. In the first section, a characterization of pseudo-Riemannian submanifold of a pseudo-hyperbolic space $\mathbb H^{m-1}_s (-1)$ with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is obtained. It is given some examples of surfaces in $\mathbb{H}_1^3(-1)\subset \mathbb{E}^4_2$ and in $\mathbb{H}_1^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ such that they have finite type pseudo-hyperbolic Gauss map. Then, the classification of maximal surfaces in $\mathbb H^{m-1}_2 (-1) \subset \mathbb E^m_{3}$ with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is obtained. A classification theorem on space-like oriented surfaces in the anti-de Sitter 4-space with null mean curvature vector and 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is given. Finally, pseudo-Riemannian submanifolds in $\mathbb H^{m-1}_s (-1) \subset \mathbb E^m_{s+1}$ with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map having non-zero constant component in its spectral decomposition are classified. In the second section, a characterization of space-like hypersurfaces with 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map lying in $\mathbb{H}^{m-1}_1(-1)\subset \mathbb{E}^m_{2}$ is obtained. It is proved that a non-totally umbilical, space-like, oriented hypersurface $M^n$ with non-zero constant mean curvature in $\mathbb{H}^{n+1}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{n+2}$ has 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map if and only if it has constant scalar curvature. A classification is obtained for space-like oriented surfaces with constant mean curvature in $\mathbb{H}^{3}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{4}$ having 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map. Moreover, it is proved that hyperbolic Veronese surface in $\mathbb{H}_2^{4}(-1)$ is the only maximal surface fully lying in $\mathbb{H}_2^{4}(-1)\subset \mathbb{H}_2^{m-1}(-1) $,\;$m \geq 5$ with 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map. Finally, it is concluded that there is no minimal space-like surface lying fully in $\mathbb{H}^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_1$ with 2-type hyperbolic Gauss map and there is no maximal space-like surface lying fully in $\mathbb{H}^4_1(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ with 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    384810

    Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldları

    Submanifolds of Euclidean and pseudo-Euclidean spaces with pointwise 1-type Gauss map

    NURETTİN CENK TURGAY

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2013

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. UĞUR DURSUN

  2. Tez No

    427867

    Sonlu boyutlu minkowski uzaylarında fokal eğriler ve fokal yüzeyler

    Focal curves and focal surfaces in finite dimensional minkowski space

    HAKAN ŞİMŞEK

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    MatematikAkdeniz Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MUSTAFA ÖZDEMİR

  3. Tez No

    886907

    Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces

    Öklid ve Minkowski uzaylarındaki bikonzörvatif ve biharmonik yüzeyler

    HAZAL YÜRÜK

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2024

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY

    DOÇ. DR. RÜYA ŞEN

  4. Tez No

    232871

    Nonlinear Euler Poisson Darboux equations exactly solvable in multidimensions

    Yüksek boyutlarda tam çözümlenebilen doğrusal olmayan Euler Poisson Darboux denklemleri

    BARIŞ ATEŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2008

    Matematikİzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. OKTAY K. PASHAEV

  5. Tez No

    441841

    Dalga denklemi ve başlangıç değer problemi

    The wave equation and the initial value problem

    MUSTAFA DUMLUPINAR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    MatematikGazi Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. İBRAHİM ETHEM ANAR

Geri Dön