Hilbert uzaylarında Fourier serilerinin yakınsakılığı
Convergence of Fourier series in Hilbert spaces
- Tez No: 456968
- Danışmanlar: PROF. DR. ERHAN ÇALIŞKAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Fourier serileri, Ortonormal baz, Ortogonallik, Fourier series, Orthonormal basis, orthogonality
- Yıl: 2017
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 100
Özet
Bu çalışma iki ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde Fourier serilerinin tarihi, önemi ve daha sonra trigonometrik seriler ile olan bağlantısına yer verilmiştir. İlginçtir ki, Fourier serileri her ne kadar matematik konusu olarak gözükse de tarihi açıdan aslında bu kavram 2 utt a uxx biçiminde tanımlı daha sonra da bahsedeceğimiz tel titreşimi için dalga denkleminin incelenmesiyle doğmuştur. Dolayısıyla Fourier serileri belirttiğimiz matematiksel fiziğin temel denkleminin genel çözümünün bulunması için geliştirilmiştir. Tel titreşim denklemiyle ilk kez Jean le Rond D'Alambert uğraşmıştır bu nedenle trigonometrik seriler teorisi için ilk adımı o atmıştır diyebiliriz. Bu ve benzeri fiziksel problemleri matematiksel yöntemlerle çözmek için fonksiyonları sinüs, kosinüs fonksiyonlarının lineer kombinasyonları ile ifade etmeye ihtiyaç duyulmuştur. Bu problemin matematiğe bakan yönü Fourier serilerinin yakınsaklığını araştırmaktan başka bir şey değildir. Bu nedenle tezimizin ikinci bölümünde 1 L , uzayına ait fonksiyonların Fourier serilerinin yakınsaklığı için belirlenmiş bazı önemli kriterler gösterilmiştir. Fourier serileri teorisi ile ilgili neredeyse tüm kaynaklarda 1L fonksiyon uzayı esas alınmış ve bu uzay dışındaki fonksiyonlar için çalışmanın pek merak konusu olmadığı belirtilmektedir. Bilindiği üzere 1 f L , için 1 f x cos nxdx , 1 f x sin nxdx Fourier katsayıları iyi tanımlıdır. Genel olarak trigonometrik seriler vii 0 1 cos sin n n n A a nx b nx biçiminde tanımlanır ve eğer na , nb sayıları uygun olarak yukarıda verilen integrallerle tanımlanırsa buna f fonksiyonunun belirlediği Fourier serisi denir. Asıl problemler, hangi koşullar altında fonksiyonun belirlediği Fourier serisi yakınsar ve hangi koşullar altında bu seri orijinal fonksiyonun kendisine yakınsar şeklindeki problemlerdir. Fourier serileri için birçok yakınsaklık tipi mevcuttur: noktasal yakınsaklık, düzgün yakınsaklık, mutlak yakınsaklık, norma göre yakınsaklık, hemen hemen her yerde yakınsaklık, vs. İkinci bölüm yani genel kısımlar bölümünde tezimizin ana konusu Fourier serilerinin Hilbert uzaylarında yakınsaklığını incelemek olduğundan önce iç çarpım uzayları ve özellikle Hilbert uzayları teorisinde Ortonormal baz, ortogonallik gibi bazı önemli kavram ve sonuçlar verilmiştir. kavramlar bunlara örnektir. pL uzayları içinde tek Hilbert uzayı olan 2L uzayına ait bazı önemli sonuçlar verilmiştir. 2L uzayına ait fonksiyonun Fourier serisinin norma göre yakınsaklığı tartışılmış, Fourier serileri teorisinde önemli ve ispatı oldukça zor olan Carleson teoremi sadece hipotez olarak ifade edilmiştir. Belirtelim ki, norma göre yakınsaklık noktasal ve dolayısıyla hemen hemen her yerde yakınsaklığı gerektirmez bunu bir karşıt örnekle açıkladık. Fourier serilerinin yakınsaklığı kadar ıraksaklığı da merak konusu olduğundan son olarak Fourier serilerinin ıraksaklığı hakkında bazı önemli sonuçları inceledik. Fourier serilerinin yakınsaklığı için ilk bilimsel çalışma Dirichlet'ye mahsustur ve o parçalı düzgün fonksiyonların Fourier serilerinin sürekli olduğu noktalarda kendisine, birinci çeşit süreksizlik noktalarında ise fonksiyonun bu noktada sağ ve sol limitlerinin aritmetik ortalamasına yakınsadığını göstermiştir. Daha sonra ise bu ispatı sürekli fonksiyonlar için ispatlama tutkusuna kapılmıştı. Cantor, Dedekind, Fourier gibi ünlü matematikçiler de aynı hataya düşmüştüler. Bunun bir yanılgı olduğu ilk kez D. Bois Reymond tarafından ispatlanacaktı. Bu tez çalışmasının devamında Fourier serisi noktada ıraksak olan sürekli fonksiyonların varlığı hakkında bilinen bazı sonuçlar incelenmiştir. Bununla ilgili ilk somut örnek Fejer tarafından verilmiştir. Son olarak Kolmogorov'un göstermiş olduğu karşıt örnekleri ele alınmıştır. Şöyleki o, 1922 yılında 1L uzayına ait Fourier serisi hemen hemen her yerde ıraksak olan fonksiyonun varlığını göstermiş, daha sonra bu çalışmasını daha da ileri götürerek 1926 yılında Fourier serisi her yerde ıraksak olan fonksiyon örneği vermiştir. Onun makalelerinde fonksiyonların nasıl oluşturulduğu belirtilmiyor bu nedenle başka kaynaklar da referans alınmıştır. Tabi ıraksaklık ile ilgili karşıt örnekler bunlarla sınırlı değildir. Biz konuya sadece tarihsel olarak yaklaştık ve belirttiğimiz sonuçları tartıştık.
Özet (Çeviri)
This work consists of two parts. In the first part we considered history and importance of Fourier series and then gave relations with trigonometric series. Even if Fourier series seems to be as a topic of mathematics it is interesting that in the historical point of view this notion, in fact, arose from researches on the string wave equation defined by 2 utt a uxx , which we will mention later. So Fourier series was developed to find general solution of this basic equation of mathematical physics. Jean le Rond D'Alambert was the first mathematician who researched string wave equation, therefore we can say that the one who initiated the theory of trigonometric series was D'Alambert. To solve such physical problems by using mathematical methods it is needed to represent a function in terms of linear combinations of sine and cosine functions. The mathematical side of this problem is nothing else to research the convergence of Fourier series. That is why in the second part of the thesis we discussed some important criterions about convergence of Fourier series of functions in 1 L , . Essentially, it is considered the function space 1L since it is not interesting to work by functions which do not belong this space. As is known, for 1 f L , Fourier coefficients 1 f x cos nxdx , 1 f x sin nxdx are well – defined. In general a trigonometric series is defined by 0 1 cos sin n n n A a nx b nx ix and if the numbers n a , n b are defined by the integrals given above then we say that this series is Fourier series determined by the function f . The main problems are : under which conditions Fourier series of a function converges and under which conditions Fourier series of a function converges to the original function. There are many convergence types for Fourier series : pointwise convergence, uniform convergence, norm convergence, almost everywhere convergence and so on. Since our main aim in this thesis is to examine convergence of Fourier series in Hilbert spaces, in the second part i.e, in the general parts first of all, inner product spaces and especially, in the theory of Hilbert spaces some important notions and results such as orthonormal basis, orthogonality were given. Some results were given in 2L , which is the only Hilbert space among pL spaces. The convergence of Fourier series with respect to 2L -norm was discussed and Carleson theorem was given as a hypothesis which has an important role in the theory of Fourier series and a quite difficult proof. Note that norm convergence does not imply pointwise convergence and therefore almost everywhere convergence which we explained this fact by a counterexample. The divergence of Fourier series is object of curiosity like its convergence therefore finally we examined some important results on the divergence of them. The first scientific work on the convergence of Fourier series was due to Dirichlet and he proved that Fourier series of piecewise smooth function converges to itself whenever the function is continuous and converges to the average value of left and right limits of the function at first kind discontinuities. Afterwards he was besotted with development of his results for continuous functions. As him some great mathematicians, like Cantor, Dedekind, Fourier etc., made the same mistake. That this was an error was proved for the first time by D. Bois Reymond. Later on in this work we examined some known results about the existence of continuous functions which have divergent Fourier series at a point. The first concrete example about it was given by Lipot Fejer. Finally, we considered counterexamples given by Kolmogorov. In 1922, he constructed a function in 1L whose Fourier series diverges almost everywhere, and then in 1926 he improved his result by constructing a function in 1L whose Fourier series diverges everywhere. In his articles the construction process of the functions was not discussed, therefore we used some other references. Of course these are not only counterexamples about divergence of Fourier series. We just try to examine the topic by historical approach and discussed the stated results.
Benzer Tezler
- Bergman ortogonal polinomlarına göre fourier serilerinin maksimal yakınsaklığı
The maximal convergence of fourier series with bergman orthogonal polynomials
SELVER SAYIN AYDIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikBalıkesir ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BURÇİN OKTAY YÖNET
- Galerkin metodu
Galerkin method
YASEMİN EZEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikBozok ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MAMMAD MUSTAFAYEV
- Pseudosimetrik Banach fonksiyon uzayları
Pseudosymmetric Banach function spaces
FEYZA ELİF DAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. YUSUF ZEREN
- Hilbert uzaylarında ve normlu uzaylarda moment problemleri ve kontrol teorisindeki uygulamaları üzerine
On moment problems in hilbert and normed spaces and their applications in control theory
MEHMET EKİCİ
- Normlu uzaylarda ve Banach ve Hilbert uzaylarında elemanların yaklaşım problemleri üzerine
About the approaches of elements on normed space and Banach and Hilbert spaces
RAZİYE AKTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2017
MatematikBozok ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MAMMAD MUSTAFAYEV