Bazı reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ve cebirsel yapıları
The class numbers and algebraic structures of certain real quadratic number fields
- Tez No: 456969
- Danışmanlar: DOÇ. DR. AYTEN PEKİN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2016
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 86
Özet
Bu tez çalışmasında, belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayılarının, invaryant değerlere göre irdelenmesine bağlı olarak cebirsel yapıları anlatılmaktadır. Bu tez çalışması derleme niteliğinde olup, beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin içerdiği konulara bir giriş yapılmaktadır. İkinci bölüm, on bir alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde; cebirsel sayı cisimleri ile ilgili temel tanım ve kavramlar verilmektedir. İkinci alt bölümde; kuadratik sayı cismi ve bu cisimlerin tamlık halkası kavramları üzerinde durulmaktadır. Üçüncü alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin genel ifadesi ve Richaut-Degert(R-D) tipinde olan reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin biçimi ifade edilmektedir. Bu bölümde imajiner kuadratik sayı cisimlerinin birimlerinin ve reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin nasıl belirlendi˘gi de açıklanmaktadır. Dördüncü alt bölümde kuadratik sayı cisimlerinin diskriminantı tanımlanmaktadır. Beşinci alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerindeki“ideal”kavramı ifade edilmekte ve bir idealin diskriminantının nasıl bulunacağı gösterilmektedir. Altıncı alt bölümde;“Legendre Sembolü”,“Jacobi Sembolü”,“Kronecker Sembol”ile“Kronecker Karakter”kavramları açıklanmakta ve bir p tek asalının ayrışımı üzerinde durulmaktadır. Yedinci alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ele alınmakta ve“dar anlamda sınıf sayısı”ile“geniş anlamda sınıf sayısı”kavramları tanımlanmaktadır. Sekizinci alt bölümde; sürekli kesirler incelenmekte, basit sürekli kesirler detaylı olarak ele alınıp konu ile ilgili gerekli tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca bu bölümde sonlu sürekli kesirler ve rasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu da verilmektedir. Dokuzuncu alt bölümde“sonsuz sürekli kesir”tanımı yapılmakta ve sonsuz sürekli kesirler ile irrasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu verilmektedir. Onuncu alt bölümde“periyodik sürekli kesir”kavramı tanıtılmakta ve kuadratik irrasyonel sayılar ile periyodik sürekli kesir arasındaki ilişki teorem olarak verilmekle birlikte pür-periyodik sürekli kesirler de tanımlanıp bir kuadratik irrasyonel sayısının pür-periyodik olması için gerek ve yeter koşul verilmektedir. On birinci alt başlıkta Yokoi invaryant değerleri nd ve md ile ilgili teoremler verilmektedir. Ayrıca yine bu bölümde çeşitli periyot uzunlukları için sürekli kesir açılımları, temel birimin şekli, sınıf sayısının hd = 1 olması için gerek ve yeter koşullar ile sınıf sayısı hd = 1 veya hd = 2 olan reel kuadratik sayı cisimleri verilmektedir. Üçüncü bölüm, tez çalışması süresince faydalanılan kaynaklardan ve uygulanan yöntemlerden oluşmaktadır. Dördüncü bölümde, genellikle (R-D) tipinde olmayan belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimleri ele alınarak, wd kuadratik irrasyonel sayısının sürekli kesre açılımında periyodun 7 olması halinde, temel birimin Td ve Ud katsayılarına bağlı olarak tanımlanmış olan Yokoi invaryant değer nd yardımıyla nd = 0 için çıkarılabilecek sonuçlara yer verilmiştir. Bu sonuçları sağlayan sınıf sayısı 1 veya 2 olan kuadratik sayı cisimleri sürekli kesir açılımları ile birlikte tablolar halinde verilmiştir. Beşinci bölümde ise çalışmanın genel değerlendirmesi yapılmaktadır.
Özet (Çeviri)
In this thesis, certain types of real quadratic number fields of class numbers, depending on the evaluation according to the invariant value algebraic structures are explained. This thesis is a compilation work and consists of five main chapters. In the first chapter, an introduction to the subject in thesis has been given. The second chapter consists of eleven subsections. In the first subsection, basic definitions and concepts related to algebraic number fields are given. In the second subsection, it is focused on the quadratic number fields and concepts of the integral rings of these fields. In the third subsection, the real quadratic number fields of Richaut- Degert(R-D) type are defined and the general statement of the fundamental units of such fields are given. It also explains how the fundamental units of imaginer and real quadratic number fields are determined. In the fourth subsection, the discriminant of the quadratic number fields is defined. In the fifth subsection, the concept of“ideal”in quadratic number fields is expressed and it is shown how to find the discriminant of a ideal. In the sixth subsection, the concepts of“Legendre Symbol”,“Jacobi Symbol”,“Kronecker Symbol”and“Kronecker Character”are explained and it focuses on the decomposition of the odd prime number p. In the seventh subsection, the class numbers of the quadratic number fields are discussed and“narrow sense of class number”and“extended sense of class number”concepts are defined. In the eighth subsection, continued fractions are examined and also simple continued fractions are handled in detail and fundamental definitions and theorems related to the subject are given. Furthermore, the result that there is an one-to-one mapping between“finite continued fractions”and rational numbers is given. In the nineth subsection,“infinite continued fraction”is defined and the result that there is an one-to-one mapping between infinite continued fractions and irrational numbers is given. In the tenth subsection, the concepts of“periodic continued fraction”and“pure-periodic continued fraction”are defined. Moreover, the relationship between quadratic irrational numbers and periodic continued fraction is given and also a necessary and sufficient condition is stated so that a quadratic irrational number can be pure-periodic. In the eleventh subsection, the theorems related to the Yokoi invariant values nd and md are given. Furthermore, for various period lengths the continued fraction expansions, the form of fundamental unit, the necessary and sufficient conditions for the class number hd = 1 and also real quadratic number fields with class numbers hd = 1 or hd = 2 are given. The third chapter consist of utilized sources and the methods applied during the thesis. In the fourth chapter, certain real quadratic number fields which are not the type of R-D are handled. There are some results that can be extracted for nd = 0 by using of Yokoi invariant values nd, which is defined by the Td and Ud depending on coefficients of the fundamental unit, in the case that the period of the continuous fraction expansion of wd quadratic irrational number is equal to 7. Certain real quadratic number fields providing these results, class number 1 or 2, are given in the form of tables. In the fifth section, a general assessment of the study is presented.
Benzer Tezler
- Class number of quadratic fields
Kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları
AYHAN CAPUTLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2010
MatematikFatih ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. BÜLENT KÖKLÜCE
- Cebirsel sayılar teorisinden bazı algoritmalar
Some algorithm from algebraic number theory
ZÜLEYHA MUTLU
- Reel kuadratik sayı cisimleri ve sınıf sayıları
Real quadratic number fields and class numbers
AYTEN PEKİN
Doktora
Türkçe
2003
MatematikTrakya ÜniversitesiCebir ve Sayılar Teorisi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HÜLYA İŞCAN
- Kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları
Başlık çevirisi yok
AYTEN PEKİN
Yüksek Lisans
Türkçe
1995
MatematikTrakya ÜniversitesiCebir ve Sayılar Teorisi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HÜLYA İŞCAN
- Reel kuadratik sayı cisimlerinde ikili kuadratik formlar ve sınıf sayısı ilişkisi
The relationship binary quadratic forms and class number in real quadratic number fields
TUĞÇE ÇELİK