Intersection graphs of finite groups
Sonlu grupların kesişim çizgeleri
- Tez No: 457440
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ERGÜN YARANERİ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2016
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 128
Özet
$G$ ile bir grup temsil edilmek üzere $G$'nin kesişim çizgesi $\Gamma(G)$ ile şu şekilde tanımlanan döngü ve de çoklu kenar içermeyen yönsüz çizge kastedilmektedir: köşe kümesi $G$'nin trivial olmayan özalt gruplarının kümesidir ve birbirinden farklı iki köşe $X$ ve $Y$ arasında ancak ve ancak $X\cap Y\neq 1$ ise bir kenar vardır. Burada $1$ ile trivial grup kastedilmektedir. Bu tez çalışmasının amacı sonlu grupların kesişim çizgelerini araştırmaktır. Daha özel olarak bu nesnelerin çizge kuramsal değişmezleri üzerinde durulmuştur. Genel olarak, izomorf olmayan iki grubun kesişim çizgeleri izomorf olabilirler. Mesela kuaternion grup ile mertebesi bir asal sayının beşinci dereceden kuvveti olan döngüsel grubu gözönüne alalım. Her iki grubun da kesişim çizgeleri dörder adet köşeye sahiptir. Dahası her iki grubun tek bir minimal altgrubu mevcuttur ve bu minimal altgrup diğer bütün trivial olmayan özaltgruplar tarafından içerilir. Dolayısıyla bu iki grubun kesişim çizgeleri izomorftur. Ancak abelyen grupların sınıfı göz önüne alındığında kesişim çizgelerinin bu grupları birbirinden ayırmada neredeyse yeterli olduklarını gösterdik. Daha net ifade edecek olursak şu sonucu ispatladık: $A$ ve $B$ sonlu iki abelyen grup olmak üzere bu grupların kesişim çizgeleri yalnız ve yalnız şu şartlar sağlandığı takdirde izomorftur: (i) $A$'nın döngüsel olmayan Sylow altgruplarının çarpımı $B$'nin döngüsel olmayan Sylow altgruplarının çarpımına izormorftur, ve (ii) $A$'nın döngüsel Sylow altgruplarının mertebelerinin üsleri gerekiyorsa bir permutasyondan sonra $B$'nin döngüsel Sylow altgruplarının mertebelerinin üslerine eşittir. Eğer bir çizge düzlem (yada küre) üzerine kenarları birbirini kesmeyecek şekilde tasvir edilebiliyorsa bu çizgeye düzlemsel çizge denilir. Kesişim çizgeleri düzlemsel olan sonlu grupları sınıflandırdık. Diyelim ki $p,q,$ ve $r$ birbirinden farklı asal sayıları temsil etsinler. Kesişim çizgesi düzlemsel olan abelyen gruplar şunlardan ibarettir: $$ \mathbb{Z}_{pqr},\; \mathbb{Z}_{p^2q},\; \mathbb{Z}_{pq},\; \mathbb{Z}_{p^{i}}\,(0\leq i\leq 5),\; \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2},\; \mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{p},\; \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{p}\, (p\neq 2). $$ Abelyen olmayan ama nilpotent olan gruplar ise yalnızca mertebesi sekiz olan dihedral grup $D_8$ ve kuaternion grup $Q_8$'dir. Ayrıca aşağıdaki yarı-direkt çarpımların kesişim çizgeleri de düzlemseldir ve böylece liste tamamlanır: • Yarı-direkt çarpımlar $\mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_{p^2}\;$ ($p^2\divides q-1$) ve $(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p) \rtimes \mathbb{Z}_q\;$ ($q\divides p+1$), • Yarı-direkt çarpım $(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p) \rtimes \mathbb{Z}_{q^2}\;$ ($q^2\divides p+1$), • Yarı-direkt çarpım $\mathbb{Z}_r \rtimes \mathbb{Z}_{pq}\;$ ($pq\divides r-1$), • Yarı-direkt çarpım $\mathbb{Z}_p\rtimes \mathbb{Z}_q\;$ ($q\divides p-1$). Bu grupların prezentasyonları elde edilmiştir. Ayrıca çözülebilir olmayan grupların kesişim çizgelerinin düzlemsel olamayacağı sonlu basit grupların sınıflandırılması (CFSG) kullanılmadan ispatlanmıştır. $K_n$ ile $n$ adet köşesi olan ve herhangi iki ayrı köşe arasında bir kenar bulunan yönsüz basit çizge, $K_{m,n}$ ile ise köşe kümesi $V_m\sqcup V_n$ şeklinde eleman sayıları $m$ ve $n$ olan iki kümenin ayrık birleşimi şeklinde yazılabilen öyle ki iki köşe arasında ancak ve ancak biri $V_m$'nin elemanı diğeri ise $V_n$'nin elemanı ise kenar bulunan yönsüz basit çizge temsil edilsin. Kuratowski'nin karakterizasyonu bir çizgenin ancak ve ancak hem $K_5$'i hem de $K_{3,3}$'ü minör olarak içermiyorsa düzlemsel olacağını söyler. İspatlarımız incelendiği vakit görülecektir ki bir grubun kesişim çizgesi ancak ve ancak $K_5$'i yada $K_{3,3}$'ü altçizge olarak içeriyorsa düzlemsel değildir. Biz bu çalışmada kesişim çizgeleri $K_5$'i altçizge olarak içeren ama $K_{3,3}$'ü altçizge olarak içermeyen grupları belirledik. Bu gruplar şunlardır: $$\mathbb{Z}_{p^6},\, \mathbb{Z}_{p^3}\times \mathbb{Z}_q,\, \mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_3,\, (\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3)\rtimes\mathbb{Z}_3,\, \mathbb{Z}_9\rtimes\mathbb{Z}_3,\,$$ $$ \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_4,\, D_{18},\, \mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_{p^3}\, (p^3\divides q-1).$$ $\Gamma$ köşe sayısı $k$'dan fazla bağlantılı bir çizge olmak üzere eğer $k$'dan daha az sayıda köşeyi kaldırarak $\Gamma$'yı bağlantısız hale getirmek mümkün değil ise $\Gamma$'ya $k$-bağlantılıdır denir. $\Gamma$'nın $k$-bağlantılı olduğu en küçük değer ise $\Gamma$'nın bağlantılılık sayısıdır. Bu bağlamda bağlantısız çizgeler $0$-bağlantılı çizgeler olarak görülebilirler. Kesişim çizgeleri bağlantısız olan gruplar halihazırda sınıflandırılmışlardır: 1. $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$, yada $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_q$; 2. $G\cong N\rtimes A$ öyle ki $N\cong \mathbb{Z}_p\times\dots\times\mathbb{Z}_p$, $A\cong\mathbb{Z}_q$, $N_G(A)=A$, ve $N$ altgrubu $G$'nin minimal normal altgrubudur. Bu sonucu en azından bir trivial olmayan normal özaltgrup içerme faraziyesi altında ispatlamak çok zor değildir. Sezgisel olarak kesişim çizgeleri bağlantılılık sayıları yüksek çizgelerdir ve eğer bağlantılılık değerleri düşük çizgeler varsa bunlar istisnai durumlar olmalıdırlar. Menger Teoremi bir çizgenin ancak ve ancak herhangi iki köşe arasında birbirinden bağımsız en az $k$ adet patika bulunması durumunda $k$-bağlantılı olacağını söyler. Ancak bir grubun kesişim çizgesinin $k$-bağlantılı olduğunu iddia edebilmek için belli şartları sağlayan birçok altgrubun mevcudiyetini gösterebilmeliyiz. Bu bakımdan yüksek $k$ değerleri için daha katı faraziyeler sunmak kaçınılmaz olmuştur. Bu çalışmada kesişim çizgeleri $2$-bağlantılı olmayan sonlu çözülebilir grupları sınıflandırdık. $\Phi(P)$ ile $P$ grubunun Frattini altgrubu temsil edilmek üzere bu $G$ grupları şu şekilde nitelenebilirler: 1. $|G|=p^{\alpha}\, (0\leq \alpha \leq 2)$; 2. $|G|=p^3$ öyle ki $G\ncong Q_8$ ve $G\ncong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$; 3. $|G|=p^2q$ öyle ki $G$'nin Sylow $p$-grubu $P$ için (a) $P\cong\mathbb{Z}_{p^2}$, veya (b) $P\cong \mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ ve $G$'nin mertebesi $p$ olan ve normal olmayan bir altgrubu mevcuttur; 4. $G=PQ$ mertebesi $p^{\alpha}q$ ($\alpha\geq 3$) olan ve Sylow $p$-altgrubu $P$ normal bir altgrup olan bir gruptur öyle ki (a) $P$ elemanter abelyen olup $Q$'nun $P$ üzerine etkisi indirgenemezdir ve $N_G(Q)$'nin mertebesi en fazla $pq$'dir, veya (b) $N:=\Phi(P)$ elemanter abelyen olup $Q$'nun hem $N$ hem de $P/N$ üzerine etkisi indirgenemezdir, ayrıca ya $N_G(Q)=Q$ gerçeklenir yada $N_G(Q)=NQ \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q$'dir. Özel olarak, mertebesi üç farklı asal sayı tarafından bölünebilen herhangi bir çözülebilir grup $2$-bağlantılıdır. Ayrıca kesişim çizgeleri $3$-bağlantılı olmayan sonlu nilpotent grupları sınıflandırdık. Bu $G$ grupları şu şekilde nitelenebilirler: 1. $|G|=p^{\alpha}$ $(0\leq\alpha\leq 3)$, $G\ncong Q_8$ ve $G\ncong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$; 2. $G$ mertebesi $p^4$ olan bir gruptur öyle ki (a) $G\cong \mathbb{Z}_{p^4}$, veya (b) $\Phi(G)\cong\mathbb{Z}_{p^2}$ ve $G\ncong Q_{16}$, veya (c) $\Phi(G)\cong\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p, Z(G)
Özet (Çeviri)
Let $G$ be a group. The intersection graph $\Gamma(G)$ of $G$ is an undirected graph without loops and multiple edges defined as follows: the vertex set is the set of all proper non-trivial subgroups of $G$, and there is an edge between two distinct vertices $X$ and $Y$ if and only if $X\cap Y\neq 1$ where $1$ denotes the trivial subgroup of $G$. The purpose of this thesis is to study the intersection graphs of finite groups. Particular emphasis was put on the graph theoretical invariants of those objects. In general, two non-isomorphic groups may have isomorphic intersection graphs. However, finite abelian groups can almost be distinguished by their intersection graphs. We prove that for any two abelian groups $A$ and $B$, their intersection graphs are isomorphic if and only if (i) the product of the non-cyclic Sylow subgroups of $A$ is isomorphic to the product of the non-cyclic Sylow subgroups of $B$, and (ii) exponents of the orders of the cyclic Sylow subgroups of $A$ and of $B$ are equal up to a permutation. We classified all finite groups whose intersection graphs are planar. There are a few abelian groups with planar intersection graphs and the only non-abelian nilpotent groups with planar intersection graph are the dihedral group $D_8$ of order eight and the quaternion group $Q_8$. The rest of the list consists of some semi-direct products. In particular, there is no non-solvable group whose intersection graphs is planar. By Kuratowski's Theorem a graph is planar if and only if it does not contain the complete graph $K_5$ over five vertices and the complete bipartite graph $K_{3,3}$ as a minor. We further determine the finite groups whose intersection graphs contains a $K_5$ but not $K_{3,3}$ as a subgraph. We studied the connectivity of intersection graphs of finite groups. Intuitively, intersection graphs should be highly connected graphs and if there are some examples of such graphs with `low' connectivity, they must be exceptional. We classified finite solvable groups whose intersection graphs are not $2$-connected and finite nilpotent groups whose intersection graphs are not $3$-connected.
Benzer Tezler
- Domination number of a finite group
Sonlu bir grubun baskınlık sayısı
NURDAN ÇABUKOĞLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ERGÜN YARANERİ
- Analysis and behaviour of reinforced concrete grouped silos
Betonarme grup siloların analizi ve davranışı
SİNAN DENİZ MUTLU
Yüksek Lisans
İngilizce
1999
İnşaat MühendisliğiOrta Doğu Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. CAN BALKAYA
- Kazık yükleme deneyinin sonlu elemanlar yöntemiyle modellenmesi hakkında bir inceleme
A Study about modelling of pile load test by finite element method
SERKAN CENGİZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2002
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGeoteknik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. TUĞRUL ÖZKAN
- Teğet kazıkların düşey taşıma gücünün sonlu elemanlar yöntemi ile incelenmesi
Three dimensional non-linear analyses of axially loaded tangent pile group with finite element method
CENK BAŞESKİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. TUĞRUL ÖZKAN
- Doğal çatklaklı rezervarlara ait kuyu testi verilerinin doğrusal olmayan regrasyon yöntemleri ile analizi
Başlık çevirisi yok
KUBİLAY MENEKŞE