Hierarchical relationship of quantum teleportation protocols
Kuantum telenakil protokollerinin hiyerarşik ilişkisi
- Tez No: 496485
- Danışmanlar: PROF. DR. ÖMER FARUK DAYI, PROF. DR. MEHMET ZAFER GEDİK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 65
Özet
Dolanık durumlar, kuantum telenaklin kaynağıdır. Bu çalışmada öncelikle iki, üç ve dört seviyeli sistemlerin en genel durumlarının telenakil protokolleri çalışılmıştır. Ardından yüksek seviye protokolü ile düşük seviyeli durum gönderilerek hiyerarşik ilişkiye bakılmıştır. Telenakiller iki yöntemle anlatılmıştır: belirli seviye için yazılmış, genelleştirilmiş Bell baz setine izdüşümsel ölçüm yöntemi ve kuantum devre modeli adı altında kapı dizisi uygulayarak telenakletme yöntemi. Gönderici ve alıcı (Alice ve Bob), dolanık bir durumu kanal olarak kullanırlar. Kanalın iki ucunun da boyutu, en az 'gönderilecek' durumun boyutu kadar olmalıdır. Gönderilecek (bilinmeyen) durum ve kanal aynı tür parçacıklardan oluşuyorsa, n sayıda gönderilecek parçacık için 2n sayıda parçacıktan oluşan kanal gerekmektedir. İki kübitin maksimum dolanıklığa sahip olduğu ortonormal uzayı geren dört adet Bell bazı vardır. Kübit telenaklinin ilk yöntemle yapılmasında bir Bell bazı kullanılmıştır. Gönderici, bilinmeyen durum ile kendi dolanık kübitine, Bell baz setinde ölçüm yapmıştır. İki kübit, dört dolaşık durumdan herhangi birine eşit olasılıkla düşme ihtimaline sahiptir. İzdüşebilecekleri her duruma karşılık, Bob'un kübitinin alabileceği farklı haller vardır. İzdüşülen durum, Alice tarafından klasik bir kanalla (örneğin telefonla) Bob'a bildirilir. Bob, kendi kübitinin aldığı hali artık bilerek 'kurtarma işlemi' (recovery operation) uygular. Kurtarma işlemi, üniter dönüşümdür; işlem sonucunda orijinal, gönderilmek istenen durum elde edilir. Telenakil tamamlanmıştır. Kübitin ikinci yöntemle gönderilmesinde bir dizi kapı (üniter kübit operasyonları) uygulamak, ölçüm ve kurtarma işlemi vardır. Bilinmeyen kübite 1 nolu, Alice'in dolanık kübitine 2 nolu kübit diyelim. 1. kübit, olası durumların herhangi bir süperpozisyonu olarak yazılır ($a\ket{0}+b\ket{1}$). Süperpozisyondaki hallere bağlı olarak (yani kontrollü şekilde) Alice 2. kübite X (flip operasyonu) uygular veya uygulamaz. Uygulama ve uygulamama aynı anda gerçekleştiği için farklı senaryolar, hesaplama işleminde var olur (paralellik). Bu kontrollü-X (CNOT) işleminin ardından 1. kübite Hadamard (H) kapısı uygulanır. H'nin görevi, paralel iki işlem hattında Alice tarafında iki-kübit hesapsal baz setinin (computational basis set) ($\ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11}$) tüm bazlarını oluşturmaktır. Alice tarafındaki her baza karşılık 3. kübitin aldığı haller (ara durumlar) vardır. Alice tarafında tüm baz setinin oluşması, ölçüldüklerinde 3.kübite firesiz şekilde bilgi aktarımı anlamına gelir. Ölçüm sayesinde $a$ ve $b$ katsayıları 3. kübite aktarılır. Alice ölçüm sonucunu Bob'a ileterek kurtarma işlemini yaptırır ve 3.kübit üstünde gönderilmek istenen orijinal durum elde edilir. Kütrit telenakli, ilk yöntemde kanal olarak (2. ve 3. kütrit için) iki-kütrit genelleştirilmiş Bell baz setinin bir bazı alınıp 1. ve 2. kütritin bu baz setine izdüşürülmesi ile ve ölçüm sonucuna göre 3. kütrit üstünde kurtarma işlemi yapılmasıyla olur. Genelleştirilmiş Bell bazları tanım gereği maksimum dolanıklığa sahip olması gerektiğinden ve kuantum Fourier dönüşümü (QFT), her iki bileşeni arasındaki faz farkı aynı olan bileşenlerden oluşan ve bileşenlerin eşit ağırlığa sahip olduğu bazlar oluşturduğundan, bir benzerlik dönüşümü olan QFT, iki-kübit genelleştirilmiş Bell bazlarının yaratımında kullanılabilir. Kütrit telenaklinin devresi, tespit edildiği üzere kübit devresiyle aynı olup CNOT ve Hadamard ifadeleri yenilenmiştir. X yerine kütrit çevrimsel (cyclic) permutasyon operatörü, H yerine kütritin QFT'si konulmuştur. Hiyerarşik ilişkiyi gözlemek için kütritin iki seviyeli bir alt uzayına bakalım. Kütritin iki farklı özdeğerli durumu, ilgili ölçüm sonucunda ayırt edilemez. Kolaylık olması için dejenere bazların kütrit içindeki genliklerini eşit alalım ($a\ket{0}+b\ket{1}+a\ket{2}$). Bu efektif kübit, kütrit telenaklinin dolanık bazlarda ölçüm metoduna konulduğunda standart/gerçek kübit telenakil ölçüm sonuçlarını, kurtarma kapılarını içeriyor mu, ilişkisi nedir bakıyoruz. Görünen o ki (kurtarma operasyonuna ihtiyaç duyulmayan durum haricinde) ortaklık yok. Kübit gönderimi ekonomik olmaz. Çünkü standart telenakildeki 4 farklı ara durum yerine 9 ara durum ve kapı ile çalışacağız demektir. Fazladan işlemlerin olmaması ve kütrit üzerinden kübit gönderiminde 4 ara durum ve 2 kapıyla çalışabilmemiz için protokolün yenilenmesi gerekir. Ayrıca 9'un 4'ü standart kübit telenakli ölçüm sonuçlarına ve kapılarına izomorfik değildir, dolayısıyla kütrit-kübit geçişinde hiyerarşik ilişki yoktur. Bir de efektif kübit gönderimi için protokol nasıl olmalı diye çalıştık. Efektif kübit gönderimini devre modeliyle yaptık. Öncelikle baz seti olarak $\{\ket{0}$, $\ket{1}$, $\ket{2}\}$ yerine $\{\frac{\ket{0}+\ket{2}}{\sqrt{2}}$, $\ket{1}\}\equiv\{\ket{\tilde{0}},\ket{\tilde{1}}\}$'i aldık. Örneğin X kapısının yapması gereken, $\ket{\tilde{0}}$ ve $\ket{\tilde{1}}$ arasında geçişi sağlamaktır. H ve Z'nin görevi de belirlidir. Kapıların üniter olması zorunludur. Nasıl dönüşüm yapacakları iki boyut üzerinde tanımlı olduğu için kapıların yazımında bir serbestlik vardır. Sonsuz sayıda, aynı işi yapan kapı üretilebilir. Ancak kübit kapılarına benzer olarak hermitik alındığında tek ifadeleri olur. Bu antisimetrik alt uzayı $(\frac{\ket{0}-\ket{2}}{\sqrt{2}})$ değişmez bırakır. Hermitiklik, üçüncü boyutun dönüşümünü tanımlamıştır. Kübit devresinde bu yeni kapılar çalıştırılır. İki kübitten oluşan dört seviyeli sistem telenakli için ilk yöntemde dört-kübit genelleştirilmiş Bell bazları kullanılmıştır. Bu 16 boyutlu uzay, (iki-kübit) Bell bazlarının direk çarpımında ikinci ve üçüncü kübitlerin yer değiştirmesi ile oluşmaktadır: $$\ket{\psi_0}_{1234}=\ket{\beta_{ij}}_{12}\otimes \ket{\beta_{kl}}_{34} \rightarrow P_{23} \ket{\psi_0}_{1234}=\ket{\psi_1}_{1324}$$ Permutasyon, dört kübiti dolanık hale getirip ilk ikisini Alice'in, son ikisini Bob'un alarak kuantum kanal olarak kullanmalarına olanak vermiştir. 16 adet ara durum, temelde 2 kapının ($X$, $Z$) kullanılmasıyla kurtarılabilir. 1. ve 2. parçacığın ayırt edilebilir olması gerekir, iki-kübit uzayında 16 farklı kapı kullanılır. İkinci yöntemle gönderim devresi de çizilmiştir. Dört seviyeli sistemin üç seviyeli alt uzayı belirli bir simetriyle tanımlanmıştır: yer değiştirme simetrisi. Bu protokol efektif kütrit telenakli için uygulandığında telenakil sonucunda başladığımız kütrit alt uzayından çıkılmıştır, kütrit protokolüyle ortaklık yoktur. Dört seviyeli sistemin iki seviyeli bir alt uzayına ulaşmak için yer değiştirme simetrisine, flip simetrisi eklenmiştir. Telenakil sonucunda görülmüştür ki aynı ara durumdan 2 adet vardır, yani 8 farklı ölçüm sonucu vardır. 8 ölçüm sonucunun 4'ü standart telenakille örtüşmektedir. Yani bu telenaklin bir alt uzayı standart telenakli kapsamaktadır. Diğer 4 ara durum, bu alt uzayın dışında bulunan durumlardır. Bir de bu iki seviyeli sistemin efektif gönderimi için kapılar ve devre yazılmıştır. Genel olarak düşük seviyeli protokoller yüksek seviyelilerin indirgenmesinden elde edilmemektedir. Dört seviyeli sistemden üçe, üçten ikiye geçişte hiyerarşik ilişki yoktur. Dörtten ikiye geçiş, iki seviyeli protokolü bir alt grubu olarak içermektedir. Ancak genele dair hiyerarşik ilişki olup olmadığıyla ilgili bir sonuca varmak için daha yüksek seviye geçişleri de incelenmelidir. Hiyerarşik ilişki, aralarında asal seviye geçişlerinde görülmüyor olabilir. Ayrıca gerçek boyut üzerinden efektif boyutun, varyasyonlar olmadan (alt uzayın dışına çıkılmadan) gönderimi için yeni protokol ve kapılar oluşturulmalıdır. Her duruma has protokol yazılmalıdır.
Özet (Çeviri)
Entangled states are the resources of quantum teleportation. In this thesis first, the teleportation protocols of two, three and four level systems are studied. Then, the identification of their relations by teleporting a low level system with high level system protocol is examined. We explained protocols basically with two different methods. One of the methods is to perform projective measurement in the basis of generalized Bell states of particular level, and the other method is to operate a gate array. In both methods, we call the states which can be obtained after a measurement, as recovery needed states. These are the states before recovery operation. In the teleportation of an arbitrary qubit, there are 4 recovery needed states and recovery gates. In the teleportation of an arbitrary qutrit, there are 9 recovery needed states and recovery gates. To identify the relation between the protocols of three-level and two-level system, we teleported an effective qubit by using qutrit teleportation protocol. As a result, we saw that it has 9 recovery needed states and has nothing in common with the qubit protocol. Thus, there is no hierarchical relation in between. Teleportation protocol of the ququart of two-qubit has 16 recovery needed states and recovery gates. To identify the relation between four-level and three-level, we teleported an effective qutrit by using ququart teleportation protocol. We saw that it has 16 recovery needed states and recovery gates and there is nothing in common with the real qutrit protocol. Thus, there is no hierarchical relation in between. When we teleport an effective qubit by using ququart teleportation protocol, it has 8 different recovery needed states and recovery gates, and 4 of 8 is isomorphic to the qubit teleportation protocol. Ququart protocol is not reduced to qubit protocol but involve qubit protocol as a subgroup. Generally, hierarchical relationship may not be seen in the transition between relatively prime levels. However, to reach a general result about hierarchical relation, higher-level transitions should be analyzed, in my opinion. In addition to identify the relations, we also studied on effective teleportation. To teleport effectively, living in the subspace must be guaranteed. State to be teleported must live in the subspace where it belongs to, throughout the teleportation. Finally, it is important to write a specific protocol to each case for an efficient transmission.
Benzer Tezler
- Yönetimde kuantum yaklaşımı, organizasyonel enerjinin ölçümü için bir model
Quantum approach to management, a model for measuring organizational energy
ABDULLAH ŞENYILMAZ
Doktora
Türkçe
2012
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HALUK ERKUT
- Antroposen Çağında sanatsal bir yöntem olarak ağların politikası
The politics of networks as an artistic method in the Anthropocene
KEVSER AKÇIL
- Sanal tarama ve çok boyutlu moleküler modelleme yöntemleri ile p53-MDM2 potansiyel inhibitörlerinin belirlenmesi
Identification of p53-MDM2 potential inhibitors with virtual screening and multidimensional molecular modeling methods
GÜLŞAH AYDIN
Doktora
Türkçe
2020
Kimyaİstanbul Teknik ÜniversitesiKimya Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MİNE YURTSEVER
PROF. DR. SERDAR DURDAĞI
- Meme kanserinin hormonal tedavisinde östrojen reseptör modülatörlerinin etkisinin kuantum mekanik hesaplamalar ve moleküler kenetleme kullanılarak incelenmesi
Investigation of the effect of estrogen receptor modulators on hormonal treatment of breast cancer using quantum mechanical calculations and molecular docking
NURAY ÖZKARA
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
Fizik ve Fizik MühendisliğiManisa Celal Bayar ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET ATAÇ
- 10. sınıf öğrencilerinin özel dörtgenlerin hiyerarşik ilişki kurma sürecinde sorgulamalarının incelenmesi
Investigation of 10th grade students' inquiry in the process of building hierarchical relationship of special quadrileterals
ÖZGE ÇOBAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
Eğitim ve ÖğretimDokuz Eylül ÜniversitesiMatematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MELİKE YİĞİT KOYUNKAYA