Separability properties of agranovich-vishik type elliptic operators in banach space valued function classes
Banach uzay değerli fonksiyon sınıflarında agranovıch-vıshık tipli eliptik operatörlerin ayrılabilirlik özellikleri
- Tez No: 516993
- Danışmanlar: PROF. DR. KAMİL ORUÇOĞLU, PROF. DR. VELİ ŞAHMUROV
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 76
Özet
Bu çalışmanın temel amacı, vektör değerli fonksiyon uzaylarındaki n-1 boyutlu düzgün sınırlı Γ є R^(n-1) eliptik denklemler için sırasıyla R^n Öklid uzayı ve R^n_+ yarı uzayı ile Ω sınırlı bölgesindeki sınır değer problemlerini ele almaktır. Başka bir değişle, asıl göstermek istediğimiz, düzgün n-1 boyutlu sınırı olan Ω є R^n sınırlı bölgesinde, bir q parametresine bağlı genel eliptik problemlerin ayrılabilirlik özelliklerini (maksimal regülerlik özelliklerini) değerlendirmektir. Tezde ele alınan problem, aşağıdaki şeklinde ifade edilen, bir q kompleks parametresine bağlı genel eliptik problemdir: A(x,D,q)u = f (x) B_j(x_0,D,q)u_j|_Γ = g_j(x_0). q parametresi, argümanı kapalı bir aralıkta değişen bir kompleks sayıdır. Buradaki katsayılar, düzgün olarak x'e bağlı kompleks değerli sürekli fonksiyonlardır. 2m, A diferansiyel denkleminin mertebesini; m_j ise B_j diferansiyel denkleminin mertebesini ifade eder. Burada m_j ler m den büyük olamaz. Problemin çözümü farklı uzaylar için farklılık gösterebilir. Agranovich-Vishik bu problemi kompleks değerli Sobolev uzaylarında inceledi. Biz master tezinde W^(l,2)(Ω;H) Hilbert değerli Sobolev uzaylarındaki eliptik problemlerin maksimal regülerlik özellikleri göstermiştik. Şimdi bunu W^(l,p)(Ω;E) Banach değerli Sobolev uzaylarına genişlendirdik ve burada E'yi UMD uzayı olarak seçtik. Yani problemin çözümünün varlığını ve tekliğini irdeledik. Bunun için de aşağıdaki kestirimi (estimate) kullandık: ‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 ≤c{‖f‖_(l-2m)+|q|^(l-2m) ‖f‖_0+∑_(j=1)^m ‖g_j‖_(l-m_j-1/p)^'+|q|^(l-m_j-1/p) ‖g_j‖_0^'} ≤C{‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 }. İki taraflı bu kestirimde ilk eşitsizlik coercive estimate olarak isimlendiriliyor. Temel amacımız bu eşitsizliği sağlatmaktır. İkinci eşitsizlik ise bize diferansiyel operatörün sınırlı olduğunu göstermiş oluyor. Bu eşitsizlik bize yukarıdali eliptik problemin çözümünün tekliğini garanti ediyor. Tam ortasında ||u||_0 terimini içeren aşağıdaki kestirimi ele alalım: ‖u‖_l ≤ c{‖f‖_(l-2m)+∑_(j=1)^m ‖g_j‖_(l-m_j-1/p)^'‖u‖_0} ≤ C‖u‖_l. Bu kestirim ise genel eliptik problemin f = 0 oldu˘gu durumda çözüm uzayının sonlu olduğu sonucunu verir. Herhangi f , g_j için ve modülü yeterince geniş seçilen q parametresi için çözümün varlığının ispatını gerçekleştirmede problemin sağ tarafı için bazı ek koşullara ihtiyaç vardır. Bu koullar çalışma içinde Koşul I ve Koşul II olarak isimlendirildi. Koşul I olarak adlandırdığımız kısıt q = 0 için elliptiklik koşulu olarak bilinen, ve Koşul II olarak adlandırdığımız kısıt ise q = 0 için ¸ Saphiro-Lopatinskii koşulu olarak bilinen koşullardır. Her bir koşul kendi bölümündeki teoremlerle alakalı olduğundan ve karışıklık yaratmadığı için bu koşulların isimleri her bir bölümde aynı şekilde yazıldı. Üzerinde çalışılan uzaydaki fonksiyonların değer kümelerinin farklılığının önemi kadar tanım kümeleri de önem arzediyor. Çünkü çalışmadaki teoremlerin ispatlarına tanım kümelerinin şekli yön veriyor. Dolayısıyla kestirim üç ayrı uzayda ayrı ayrı değerlendirildi. Bu nedenle problem sırasıyla R^n, R^n_+ ve Ω sınırlı bölgesinde incelendi. Yani kestirimin önce W^(l,p)(R^n;E), sonra W^(l,p)(R^n+;E) ve son olarak W^(l,p)(Ω;E) uzaylarında sağlandığı gösterildi. İlk olarak, R^n Öklid uzayı ve R^n_+ yarı uzaydaki Banach değerli Sobolev sınıflarındaki kompleks parametreli eliptik problemlerin maksimal regülerlik özellikleri incelendi. Daha sonra, düzgün sınıra haiz bir sınırlı bölgedeki parametreye bağlı genel eliptik problemlerin ayrılabilirlik özellikleri analiz edildi. Öncelikle R^n de Koşul I, Genelleştirilmiş Fourier dönüşümü ve Fourier Multiplier kullanılarak kestirimin sağlandığı gösterildi. Daha sonra R^n_+ yarı uzayında Koşul I, Koşul II, Fourier dönüşümü ve trace teoremi kullanılarak kestirimin varlığı ispatlandı. Son olarak, sınırlı bölge için R^n ve R^n_+ için kullanılan bilgilere ek olarak birimin parçalanışı (partition of unity), mikro-lokal analiz ve Mikhlin multiplier teori kullanılarak çalışma tamamlandırılmış oldu. Bu çalışmada ele alınan değerler uzayı Hilbert uzayından daha geniş bir uzay olduğundan kullanılan araçlar da farklılık göstermiş oldu. Ayrıca, Agranovich-Vishik in makalesinde sıklıkla kullanılan interpolasyon eşitsizliği burada mümkün olduğunca daha az kullanıldı. Onun yerine, daha güncel bir araç olan Mikhlin multiplier teoremi kullanıldı. Tezin giriş kısmında temel tanım ve ifadeler, Sobolev uzayı ve Besov uzayının tanımı ve bu uzaylardaki bazı gerekli teoremler verildi. Bu teoremlerin bazıları ise Banach değerli sobolev uzayları için ilk kez ifade edildiklerinden ispatlı verildi. Buradaki diferansiyet denklemlerdeki türev genelleştirilmiş türevdir. Dolayısıyla çözüm de zayıf çözüm olarak ifade edilir. Genelleştirilmiş türev, zayıf çözüm ve test fonksiyonları bu çalışmanın en temel araçları ve çok bilinen ifadeler olduğundan burada tanımlarına yer verilmedi ancak, dileyen okuyucu bu kavramların tanımları için benim master tezime yada bu konularla alakalı çalışma kitaplarına başvurabilirler.
Özet (Çeviri)
The main objective of the study is to discuss the BVP for an elliptic equation depending on a complex parameter, and defined on three different vector spaces: Euclidian space R_+^n , half-space R^n_+; and a bounded region Ω є R^n with a smooth (n-1) dimensional boundary Γ є R^(n-1), in E-valued function spaces, respectively. In other words, the purpose of this thesis is to discuss the separability properties (maximal regularity properties) of the general elliptic problem depending on a complex parameter in a bounded region Ω є R^n with a smooth (n-1) dimensional boundary. We consider a linear differential equation of arbitrary order with complex valued coefficients depending smoothly on the variable x and on the polynomially dependent complex parameter q. Let A(x,D,q)u = f (x) be a given elliptic equation depending on a complex parameter in the domain Ω. On the boundary G we are given general boundary conditions B_j(x_0,D,q)u_j|_Γ = g_j(x_0), containing a parameter q, that we will give in detail in the next section. Our main aim is to show the following estimate: ‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 ≤c{‖f‖_(l-2m)+|q|^(l-2m) ‖f‖_0+∑_(j=1)^m ‖g_j‖_(l-m_j-1/p)^'+|q|^(l-m_j-1/p) ‖g_j‖_0^'}≤ C{‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 }. The maximal regularity properties of elliptic problem in the Hilbert valued Sobolev space W^(l,2)(Ω;H) has been investigated before. Now, we generalize this to the Banach space valued Sobolev class W^(l,p)(Ω;E), where E is an UMD space. Firstly, we determine the maximal regularity properties of elliptic problems with complex parameter in the Banach space-valued Sobolev class W^(l,p) in the whole space and half space. Further, we analyze the separability properties of the parameter dependent general elliptic problem in a bounded domain with smooth boundary. This property is analyzed with an inequality which is called the coercive estimate. We encounter some limit when proving these theorems and in light of these we give some conditions that restrict us which one calls as Condition I and Condition II. So that there is no confusion, we give them the same name in every chapter.
Benzer Tezler
- Marul tohumunun geometrik ve aerodinamik özelliklere göre ayrılabilirliğinin araştırılması
Investigation of separability of lettuce seed by geometric and aerodynamic properties
İPEK ÇEKİM
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
ZiraatAydın Adnan Menderes ÜniversitesiTarım Makineleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CENGİZ ÖZARSLAN
- Hiperspektral görüntülerde boyut indirgeme yöntemlerinin karşılaştırmalı analizi
A comparative analysis of dimension reduction methods in hyperspectral imagery
ÖZER AKYÜREK
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
Jeodezi ve FotogrametriKocaeli ÜniversitesiJeodezi ve Jeoinformasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. OZAN ARSLAN
- Geometrik metotlar altında kelime problemi ve sonuçları
The word problem and its results under geometric methods
EYLEM GÜZEL KARPUZ
- Tabakalı çift hidroksitler ile desteklenmiş demir oksit bazlı manyetik nanopartiküller ile sulu çözeltiden fosfor gideriminin incelenmesi
Investigation of phosphorus removal from aqueous solutions by iron oxide-based magnetic nanoparticles supported with layered double hydroxides
MEHMET SÜRMELİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
Çevre MühendisliğiSüleyman Demirel ÜniversitesiÇevre Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ HÜSEYİN YAZICI
- Orlicz fonksiyonu yardımıyla tanımlanmış bazı yeni dizi uzayları
Some new sequence spaces defined by Orlicz function
MUSTAFA KEMAL ÖZDEMİR