The influence of some embedding properties of subgroups onthe structure of a finite group
Bazı altgrup yerleşme özelliklerininbir sonlu grubun yapısı üzerine etkileri
- Tez No: 521369
- Danışmanlar: PROF. DR. GÜLİN ERCAN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 70
Özet
Sonlu bir $G$ grubunun kendisinden farklı eşlenikleriyle kesişimleri sıradan olan $H$ altgrubuna $TI$-altgrup denir. $H$'nin $TI$-altgrup olma özelliği taşıyan bir Hall $\pi$-altgrubu olduğunu varsayalım. Frobenius'un meşhur bir teoremi gösteriyor ki, eğer $H$ öz normalleştiren bir alt grupsa, $G$ grubunun bir normal $\pi$-tamlayanı vardır. Bu durumda $H$, Frobenius tamlayanı diye adlandırılır ve böyle gruplara da Frobenius grup denir. Bu tezin ilk ana sonucu, Frobenius teoreminin bir genellemesi olarak elde ettiğimiz aşağıdaki teoremdir. \textbf{Teorem.}\textit{ $H$, $G$'nin bir $TI$-altgrubu ve $N_G(H)$'nin bir Hall altgrubu olsun. O zaman $H$'nin $G$ içinde bir normal tamlayanı olması için gerek ve yeter koşul $H$'nin $N_G(H)$ içinde bir normal tamlayanı olmasıdır. Eğer $H$, $G$ de normal değilse ve $H$'nin $N_G(H)$ içinde bir normal tamlayanı varsa, $H$ bir Frobenius tamlayanıdır.} Yukarıdaki kurguda, $G$'nin bir Frobenius grup olması gerekmese de; teoremin ikinci kısmı, $H$'nin, bir Frobenius grubun içine Frobenius tamlayanı olarak gömülebileceğini garanti eder. Tezin diğer bir katkısı ise, Gow'a ait bir sonucu (Bkz. Teorem \ref{int gow}) $\pi$-ayrışabilir gruplara genelleyen aşağıdaki teoremdir. Burada Hall $\pi$-altgrubu $TI$ olma özelliği taşıyan $\pi$-ayrışabilir grupların yapısının çok sınırlı olduğu gösterilmektedir. \textbf{Teorem.}\textit{ $\pi$ kümesi $H$'nin mertebesini bölen asalların kümesi olmak üzere; $H$, $\pi$-ayrışabilir bir grup olan $G$'nin normal olmayan bir $TI$-altgrubu olsun. Aynı zamanda $H$'nin $N_G(H)$'ye ait bir Hall altgrubu olduğunu varsayalım. O zaman aşağıdaki özellikler sağlanır.} \textit{$a)$ $G$'nin $\pi$-uzunluğu 1'e eşittir ve $G=O_{\pi'}(G)N_G(H)$ olur;} \textit{$b)$ $G$'nin öyle bir $H$-değişmez kesiti vardır ki $H$'nin bu kesit üzerindeki etkisi Frobenius'tur. $O_{\pi'}(G)$ çözülebilir olduğunda; $G$'nin bu kesiti, $G$ nin bir ana kesiti olarak seçilebilir.} \textit{$c)$ $G$'nin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul $O_{\pi'}(G)$'nin çözülebilir olması ve $H$'nin $SL(2,5)$'e izomorf olan bir altgrup içermemesidir.} Son olarak, Isaacs'e ait aşağıdaki iki ayrı çözülebilirlik teoremine (\cite{isa3}, Teorem 1 and Teorem 2) karakter teoriden bağımsız, sadece transfer teori ve çizge teorisi kullanarak alternatif ispatlar sunacağız. \textbf{Theorem.} \textit{Her Sylow $p$-altgrubu döngüsel ve her $p'$-altgrubu abelyen olan sonlu bir grup ya $p$-kapalıdır, ya da $p$-nilpotenttir.}\\ \textbf{Theorem.} \textit{ $p\neq 2$ ve $q$, sonlu $G$ grubunun mertebesini bölen asallar olsunlar. $G$'nin $q$-altgrup ya da $q'$-altgrup olmayan her altgrubunun mertebesinin $p$'ye bölündüğünü kabul edelim. $q^a$, $|G|$ nin $q$-kısmı olmak üzere $p>q^a-1$ veya $p=q^a-1$ ve Sylow $p$-altgruplarının abelyen olsun. Bu durumda $G$ nin mertebesini yalnız $p$ ve $q$ asalları bölebilir. }
Özet (Çeviri)
In a finite group $G$, a subgroup $H$ is called a $TI$-subgroup if $H$ intersects trivially with distinct conjugates of itself. Suppose that $H$ is a Hall $\pi$-subgroup of $G$ which is also a $TI$-subgroup. A famous theorem of Frobenius states that $G$ has a normal $\pi$-complement whenever $H$ is self normalizing. In this case, $H$ is called a Frobenius complement and $G$ is said to be a Frobenius group. A first main result in this thesis is the following generalization of Frobenius' Theorem. \textbf{Theorem.}\textit{ Let $H$ be a $TI$-subgroup of $G$ which is also a Hall subgroup of $N_G(H)$. Then $H$ has a normal complement in $N_G(H)$ if and only if $H$ has a normal complement in $G$. Moreover, if $H$ is nonnormal in $G$ and $H$ has a normal complement in $N_G(H)$ then $H$ is a Frobenius complement.} In the above configuration, the group $G$ need not be a Frobenius group, but the second part of the theorem guarantees the existence of a Frobenius group into which $H$ can be embedded as a Frobenius complement. Another contribution of this thesis is the following theorem, which extends a result of Gow (see Theorem \ref{int gow}) to $\pi$-separable groups. This result shows that the structure of a $\pi$-separable group admitting a Hall $\pi$-subgroup which is also a $TI$-subgroup is very restricted. \textbf{Theorem.}\textit{ Let $H$ be a nonnormal $TI$-subgroup of the $\pi$-separable group $G$ where $\pi$ is the set of primes dividing the order of $H$. Further assume that $H$ is a Hall subgroup of $N_G(H)$. Then the following hold:} \textit{$a)$ $G$ has $\pi$-length $1$ where $G=O_{\pi'}(G)N_G(H)$;} \textit{$b)$ there is an $H$-invariant section of $G$ on which the action of $H$ is Frobenius. This section can be chosen as a chief factor of $G$ whenever $O_{\pi'}(G)$ is solvable;} \textit{$c)$ $G$ is solvable if and only if $O_{\pi'}(G)$ is solvable and $H$ does not involve a subgroup isomorphic to $SL(2,5)$.} In the last chapter we focus on giving alternative proofs without character theory for the following two solvability theorems due to Isaacs (\cite{isa3}, Theorem 1 and Theorem 2). Our proofs depend on transfer theory and graph theory. \textbf{Theorem.} \textit{Let $G$ be a finite group having a cyclic Sylow $p$-subgroup. Assume that every $p'$-subgroup of $G$ is abelian. Then $G$ is either $p$-nilpotent or $p$-closed.} \textbf{Theorem.} \textit{Let G be a finite group and let $p\neq 2$ and $q$ be primes dividing $|G|$. Suppose for every proper subgroup $H$ of $G$ which is not a $q$-group nor a $q'$-group that $p$ divides $|H|$. If $q^a$ is the $q$-part of $|G| $ and $p > q^a-1$ or if $p = q^a- 1$ and a Sylow $p$-subgroup of $G$ is abelian then no primes but $p$ and $q$ divide $|G|$.}
Benzer Tezler
- Türkçe eşgönderge çözümlemesi
Turkish coreference resolution
TUĞBA PAMAY
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ GÜLŞEN ERYİĞİT
- Milenyum sonrası Türk televizyonlarında oluşan dizi kültürü ve toplumsal temsil sorunu
The culture of television serials on Turkish televisions in the millennium and the problem of social representation
ÜRÜN YILDIRAN ÖNK
Doktora
Türkçe
2011
Radyo-TelevizyonDokuz Eylül ÜniversitesiSinema Televizyon Ana Sanat Dalı
YRD. DOÇ. DR. RAGIP TARANÇ
- İki Dünya Savaşı arası dönemde Polonya düzyazısının psikolojik gerçekçilik perspektifinden incelenmesi: Zofia Nalkowska'nın Granica (Sınır), Maria Dqbrowska'nın Noce i Dnie (Geceler ve Gündüzler) ve Maria Kuncewiczowa'nın Cudzoziemka (Yabancı Kadın) adlı yapıtlarında kadın ve aşk
Research of Polish prose created in the period between the two World Wars from the perspective of psychological realism
SEYYAL KÖRPE
Doktora
Türkçe
2013
Batı Dilleri ve EdebiyatıAnkara ÜniversitesiBatı Dilleri ve Edebiyatları Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AYDIN SÜER
DOÇ. DR. SEDA KÖYCÜ
- Osmanlı dönemi el yazması deri cilt kitap süsleme örnekleri (Ankara Milli Kütüphane, Türk Tarih Kurumu ve Etnografya Müzesi)
Handwriting leather book binding examples Ottoman period (Ankara National Library, Turkish History Institution and Etnography Museum)
MERAL ERKAN
- Computational analysis of external store carriage in transonic speed regime
Harici yük taşımanın transonik sürat bölgesinde hesaplamalı analizi
İ. CENKER ASLAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2003
Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AYDIN MISIRLIOĞLU
PROF. DR. OKTAY BAYSAL