Optimal control of physical systems governed by partial differential equations
Kısmi diferansiyel denklemler tarafından yönetilen fiziksel sistemlerin optimal kontrolü
- Tez No: 539243
- Danışmanlar: PROF. DR. İSMAİL KÜÇÜK
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 104
Özet
Bu tez iki bölümden oluşmaktadır. Bu bölümler, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemler tarafından yönetilen iki lineer kiriş modelinin optimal titreşim kontrolü ve parabolik kısmi diferansiyel denklem tarafından yönetilen ısı transfer işleminin bilineer optimal kontrolüdür. Tezin ilk bölümünde, Mindlin-tipi kiriş modeli ve ikinci gerilme eğimi teorisi tabanlı kiriş modeli olmak üzere iki farklı çeşit kiriş modelinin optimal sınır kontrolü üzerine çalışılmıştır. Kontrol uygulanacak bu kiriş modelleri lineer yüksek mertebeden diferansiyel denklemler ile belirlenmişlerdir. Mindlin-tipi kiriş modeli ele alındığında modelin dinamik davranışını yöneten kısmi diferansiyel sistemde Einstein'ın nedensellik ilkesine bağdaşır şekilde konum ve zaman koordinatları aynı mertebedendir. İkinci gerilme eğimi teorisi tabanlı kiriş modeline baktığımızda, mikro ve nano ölçekte yapıların boyut etkilerini göz önüne aldığı bilinen ikinci gerilme eğimi elastik teorisi dikkate alınmıştır. Bu teoride, potansiyel enerji, gerilmelere, gerilmelerin gradyanına ve ayrıca gerilmelerin ikinci mertebeden gradyanına bağlıdır. Bunlar göz önüne alınarak oluşturulan denklem altıncı mertebeden hiperbolik bir kısmi diferansiyel denklemdir. Her iki kiriş modeli için de sistemin kontrol edilebilirliği ve iyi tanımlılığı analiz edilmiştir. Optimal kontrol fonksiyonu ve eğrisini elde etmek için Pontryagin maksimum prensibi kullanılmıştır. Pontryagin maksimum prensibi yardımıyla kontrol problemi, başlangıç-sınır ve terminal koşulları sağlayan eşlenik ve durum değişkenlerini içeren yeni bir kısmi diferansiyel denklem sisteminin çözümüne dönüştürülmüştür. Analitik çözümler,özfonksiyon genişletme yöntemi kullanılarak oluşturulmuştur. Teorik sonuçları doğrulamak için simülasyonlar sunulmuştur. Tezin ikinci bölümünde, bilineer kontrol uygulanan bir parabolik sistemin optimal kontrolü ele alınmıştır. Söz konusu parabolik sistem ısı transfer sürecini modellemektedir. Isı transferi süreci için, soğutucu akış hızı bir bilineer kontrol değişkenidir ve sıcaklık bir durum değişkenidir. Bu çalışmada, sıcaklığı bakımından homojen olmayan düzgün bir metal çubuğa bilineer kontrolün uygulanması sonucunda sıcaklığın denge-durum değerine ulaştığında çubuk üzerinde homojen olarak dağıldığı gösterilmiştir. Minimum düzeye indirilecek olan performans indeksin amacı büyük miktarlarda kontrol eforu tüketmeden, sıcaklığı sabit denge-durum değerine yakın tutmaktır. Sunulan yaklaşım, mertebe indirgeme modellemesi, Pontryagin maksimum prensibi ve sayısal çözüm tekniklerinden oluşmaktadır. Özfonksiyon genişletme yöntemi kullanılarak dağıtılmış parametre sistemi, toplanmış bir parametre sistemine dönüştürülür. Elde edilen sistem zamansal olarak bir bilineer sisteme karşılık gelir. Pontryagin maksimum prensibi, doğrusal olmayan iki noktalı sınır değer problemine götüren optimal kontrol fonksiyonunu elde etmek için kullanılır. Optimal eğrilerin belirlenmesi ve sistemin optimal kontrolünün bulunması için iki iteratif nümerik teknik tartışılmıştır. En dik iniş yöntemi ve quasilineerizasyon doğrusal olmayan iki noktalı sınır değer probleminin çözümü için kullanılan yöntemlerdir. En dik iniş yöntemi çözüm için bir başlangıç prosedürü, quasilineerizasyon yöntemi de çözümü doğrulamak için bir diğer prosedür olarak kullanılmıştır. Başlangıç tahminin ne olduğu, başlangıç tahmininin önemi, iterasyon sayısı ve bu iki iteratif yöntemin yakınsaklığı gibi bazı özelliklerin karşılaştırılması sunulmuştur. Sayısal simülasyon çalışmaları, tanıtılan yaklaşımın etkinliğini ve uygulanabilirliğini göstermektedir.
Özet (Çeviri)
This thesis consists of two parts: An optimal vibration control of two linear beam models governed by hyperbolic partial differential equations and a bilinear optimal control of heat transfer process governed by a parabolic partial differential equation. In the first part of the thesis, an optimal boundary control of two different beam models, Mindlin-type beam and second strain gradient theory-based beam, are examined. The beam models to be controlled are described by linear higher order distributed parameter systems. When the Mindlin-type beam is considered, the partial differential equation that governs dynamic behavior of the model must be of the same order with respect to both spatial and time parameters to match up with Einstein's causality. As for the second strain gradient theory-based beam, it captures the size effects of the structures in micro and nanoscale. In this theory, the potential energy is dependent of strains, gradient of strains and also second gradient of strains. The constitutive equation is a hyperbolic partial differential equation of sixth order. For both beam models, controllability and well-posedness of the system are analyzed. Pontryagin's maximum principle is used to obtain an optimal control function and its trajectories. By using Pontryagin's maximum principle, the control problem is turned to solving a new partial differential equation system involving adjoint and state variables providing initial, boundary and terminal conditions. Analytical solutions are formed with the help of an eigenfunction expansion method. Simulations are presented to confirm the theoretical results. In the second part of the thesis, an optimal control of a parabolic system governed by a bilinear control is discussed. The parabolic system describes heat transfer process. For the heat transfer process, coolant flow rate is a bilinear control variable and temperature is a state variable. As a result of implementation of a bilinear control to a uniform rod with non-uniform temperature, the temperature on the metal rod is homogeneously distributed when the temperature reaches equilibrium. The performance index to be minimized indicates that the goal is to keep the temperature close to the steady-state value without consuming control effort in large quantities. The proposed approach uses a reduction of order in the model, Pontryagin's maximum principle and numerical techniques. Using a modal space expansion method the distributed parameter system is transformed into a lumped parameter system. The obtained system corresponds to a bilinear system in the temporal term. Pontryagin's maximum principleisusedtoobtaintheoptimalcontrolfunctionthatleadstoanonlineartwo-point boundary value problem. Two iterative numerical techniques for determining optimal trajectories and optimal control of the system are discussed. Steepest descent and quasilinearization are procedures for solving this nonlinear two-point boundary value problem. The steepest descent method is used as a beginning procedure and quasilinearization to confirm the solution. Comparisons of some features such as what the initial guess is and importance of initial guess, number of iterations and convergence of these two iterative methods in the control problem are presented. Numerical simulation studies show the effectiveness and applicability of the proposed approach.
Benzer Tezler
- Optimal control in fluid flow problems with pod applications to FEM solutions
Sonlu elemanlar çözümlerine öz dik ayrışım uygulanması ile akışkan akışı problemlerinde en iyilemeli kontrol
CANSU EVCİN
Doktora
İngilizce
2018
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiBilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÖMÜR UĞUR
- Stochastic discontinuous Galerkin methods for pde-based models with random coefficients
Rastgele katsayılı kısmi diferansiyel denklem tabanlı modeller için stokastik süreksiz Galerkin yöntemleri
PELİN ÇİLOĞLU
Doktora
İngilizce
2023
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiBilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HAMDULLAH YÜCEL
- Stochastic momentum methods for optimal control problems governed by convection-diffusion equations with uncertain coefficients
Belirsiz katsayılı konveksiyon-difüzyon denklemlerinin yönettiği optimal kontrol problemleri için stokastik momentum yöntemleri
SITKI CAN TORAMAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiBilimsel Hesaplama Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HAMDULLAH YÜCEL
- Enerji iletim sistemlerinde 3-faz-6-faz dönüşümlerinin iletim kapasitelerine etkilerinin incelenmesi
Study of the 3-phase-6-phase conversion effects on power transfer capabilities in energy transmission systems
FATMA GÜL BAĞRIYANIK
Doktora
Türkçe
2000
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. H. NUSRET YÜKSELER
- Volgram ağır alaşımlarında başlangıç toz özelliklerinin sıvı gaz sinterlemesi yoluyla yoğunlaşma süreçlerine olan etkileri
Effects of initial powder characteristics on densificatıon processes via liquid-phase sintering in based heavy alloys
BURAK ÖZKAL