A computational approach to create aperiodic tilings through orthographic projection of the nd cube
Çok boyutlu küpün ortografik projeksiyonu ile aperiyodik yüzey kaplamaları oluşturmaya hesaplamalı bir yaklaşım
- Tez No: 609852
- Danışmanlar: DOÇ. DR. SEMA ALAÇAM
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Mimarlık, Architecture
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Bilişim Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Mimari Tasarımda Bilişim Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 120
Özet
İnsanlar, var oldukları sürece, sağlam nesneler oluşturmak ya da yapılarını süslemek için kaplamalar ve desenler üretmişlerdir. Bu insan yapımı kaplamalara ve desenlere, dünyanın her yerinde ve her toplumda rastlanabilir. Genel olarak dini yapılar ve prestij yapıları, özellikleri kültürden kültüre değişen kaplama örnekleri için zengin bir ortam sağlar. Örneğin, İslam mimarisi çoğunlukla çeşitli şekil ve renklerle oluşturulan karmaşık geometrik desenlerle süslenirken, Roma mimarisi çoğunlukla insanlar ve yaşam kesitleri içeren mozaiklerle süslenmiştir. Bu çalışmada ise matematikte de bir çalışma konusu olan geometrik kaplamalara odaklanılmıştır. Kaplama terimi, genellikle iki boyutlu düzlemin tamamını boşluklara neden olmadan ve örtüşmeden kaplayan desenleri tanımlamak için kullanılır. Çoğunlukla kaplamalar oldukça düzenli ve periyodiktir. Kaplamanın periyodikliğini görebilmek için üzerine bir paralelkenar yerleştirilir ve temel bir birim belirlenmeye çalışılır. Eğer kaplama periyodikse bu paralelkenarın ya da temel birimin her iki yönde de tekrarlanması ile oluşturulabilir. Her iki yönde tekrarlanabilecek bir paralelkenar ortaya çıkmazsa, kaplama periyodik olmayan olarak kabul edilir. Periyodik ve periyodik olmayan kaplama örneklerine, Hollandalı sanatçı Escher'in eserlerinde çokça rastlanabilir. Oldukça düzenli periyodik yapılar ve düzensiz periyodik olmayan yapılara ek olarak aperiyodik yapılar da vardır. Aperiyodik kaplamalar periyodik değildir ancak çeşitli simetrilerle uzun erimli düzenlere sahiptir. Aperiyodik kaplamalara örnek olarak matematikçi Roger Penrose'un 1973'te keşfettiği karoları ve İslam Ortaçağ sanatından geometrik kaplamalar verilebilir. Sanattaki ve matematikteki örneklerinin yanı sıra, doğada, kristal ve kuazi kristal yapılarında da periyodiklik vardır. Kristaller atomlar, iyonlar veya moleküller gibi yapı birimlerinden oluşan ve oldukça düzenli bir formasyona sahip katılardır. Üçüncü boyuttaki bu düzenlilik belirli periyodiklik ve simetri türlerine sebebiyet verir. 3 boyutlu uzaydaki bu periyodik yapı, kristallerin iç düzenlerinin x-ışını kırınım tekniği ile elde edilen 2 boyutlu temsillerinde de periyodik ve simetrik yapılar olarak kendini gösterir. Kristalin iç düzeninin neye benzediğini görmek için farklı açılarda kristali keserek 3 boyutlu nesnenin 2 boyutlu düzleme projeksiyonuna dayanan bu teknikler 2 boyutlu mimari temsillere benzetilebilir. Kristal yapı taşlarının üç boyutlu uzaydaki formasyonu bilim adamlarının kabul ettiği ve doğada görülen belirli sayıdaki şekillerde oluşur. Bu yapı taşları, oluşum sırasında belirli periyodiklik ve simetri türleri ile tüm kristal hacmini doldururlar. Böylece, üç boyutlu uzaydaki bu periyodik düzen, iki boyutlu düzlemdeki temsillerinde de belirli bir periyodik düzen ve simetri türleri yaratır. Bu simetriler sadece 2 katlı, 3 katlı, 4 katlı ve 6 katlı dönme simetrileri olabilir. Dönme simetrisi, desenin tam bir dönüşü tamamlayana kadar merkez nokta etrafında dönerken kendisiyle kaç kez eşleştiğini tanımlar. Ve bu simetriler, desenin temel bir birimin yer değiştirmesiyle oluşmasına izin verdiği için de translasyonel simetri olarak adlandırılır. Ancak, 1984'te Shechtman tarafından kuazi kristallerin keşfedilmesi, 5 katlı dönme simetrisine sahip bir kristal düzenini gösterdi. Bu 5 katlı dönme simetrisi translasyonel simetri göstermiyordu yani periyodik değildi ancak uzun erimli düzene sebebiyet veriyordu ve bu yüzden de aperiyodik bir desen oluşturuyordu. Bu keşif, yıllar sonra 2011'de Shechtman'a Nobel Ödülü de kazandırdı. Üç boyutlu uzaydaki periyodik düzenlemeden elde edilemeyen bu aperiyodik desenlerin nasıl elde edilebileceğine dair güçlü yaklaşımlardan biri ise yüksek boyutlu periyodik bir oluşumun projeksiyonu olabilecekleriydi. Yaklaşıma göre, gerekli periyodik düzen üç boyutlu uzayda mevcut değilse, daha yüksek boyutlarda olmalı ve bu aperiyodik desenler daha yüksek boyutlu ve periyodik bir oluşumun yansıması olabilirler. Yüksek boyutlu geometrilerin düşük boyutlara projeksiyonu ile aperiyodik düzen elde edilmesine dair bu yaklaşım tezin konusunu da şekillendirdi. Bu çalışmada yüksek boyutlu geometrilerden düşük boyutlara ortografik projeksiyon yöntemiyle aperiyodik kaplamalar oluşturma olasılığı sorgulandı. İnsanlar 3 boyutlu uzaya ve nesnelere algıları 3 mekansal boyutla sınırlandığı için alışkındırlar. Perspektif ilkeleri sayesinde resim ve fotoğraf gibi 3 boyutlu nesnelerin 2 boyutlu temsillerine de aşinadırlar. Zira insanlar gözleri vasıtasıyla 3 boyutlu dünyayı perspektifle 2 boyutlu olarak algılarlar. Ancak daha yüksek boyutlu uzayları ve nesneleri anlamak 3 boyutlu uzayı ve 2 boyutlu temsillerini anlamak kadar kolay değildir. Yüksek boyutları idrak etmenin zorluğu bir yana, düşük boyutlu bir uzayı ve sakinlerini hayal etmek bile zordur. İnsanlar 3 boyutlu uzaya o kadar alışkındır ki, 2 boyutlu bir varlığın 2 boyutlu uzayda yaşamını onun gözünden üçüncü bir boyut dahil olmadan hayal etmek bilinçli bir çaba gerektirir. 3 boyutlu varlıkların 3 boyutlu uzayda görüşleri 2 boyutlu olduğu gibi, 2 boyutlu varlıkların da 2 boyutlu uzayda görüşleri 1 boyutludur. Dolayısıyla birbirlerini ancak 1 boyutlu çizgiler olarak algılayabilirler. 2 boyutlu varlıkların üçüncü boyutta insanların sahip olduğu yükseklik boyutuna erişimleri yoktur. Dolayısıyla onların gözünden üçüncü bir boyutu hayal etmek de zordur. Aynı şekilde 4 boyutlu nesneleri ve uzayı hayal etmek, 3 boyutlu algı ile sınırlı olan insan zihnine gerçek bir meydan okumadır. Ancak insanların 3 boyutlu uzayın 2 boyutlu düzlemde temsilleri konusundaki tecrübesi sayesinde yüksek boyutları temsil etmek ve biraz da olsa algılamaya çalışmak mümkündür. Yüksek boyutları düşük boyutlarda temsil etmek için projeksiyon yöntemi kullanılabilir. Bu projeksiyonlar ve yüksek geometrilerin matematiksel temsilleri için boyutsal analojileri takip etmek gerekir. Yüksek boyutlu geometrileri algılamak insan zihninin ötesinde olsa da hesaplamalı teknikler sayesinde yüksek boyutlu geometriler tanımlanabilir ve hesaplanabilir. Hesaplama araçları, yüksek boyutlu geometrileri hesaplayabilme kapasiteleri ve yarattıkları deney ortamı ile öngörülemeyen geometrik sonuçların keşiflerine yol açabilir. Bu tezin vaka çalışmasında yüksek boyutlu geometrilere bir sınır getirmek ve boyutsal analojileri en iyi şekilde takip edebilmek amacıyla n boyutlu kübe odaklanılmıştır. n boyutlu küp, 2 boyutta karenin, 3 boyutta kübün her boyuttaki karşılığıdır ve eksenler ve boyut kavramı hakkında çok fazla anlayış sunan dikey açılara sahiptir. Geometrideki kısıtlamadan sonra, yüksek boyutta da kısıtlamaya gidilmiş ve hem üçüncü boyuttan sonraki ilk basamak hem de olabildiğince hakimiyet kazanmak amacıyla 4 boyutlu uzaya odaklanılmıştır. Boyut kavramının ve teserakt olarak adlandırılan 4 boyutlu kübün matematiksel tanımının yapılması ve kodlanabilmesi için n boyutlu küp matematiksel analojiler aracılığıyla incelenmiştir. Teseraktın 4 boyutlu uzayda tanımlanmasının ardından, önce ortografik projeksiyon yöntemi ile üç boyutlu modeli elde edilmiş daha sonra da bu 3 boyutlu model 2 boyutlu düzlemde perspektif projeksiyonla görüntülenmiştir. 2 boyutlu düzlemdeki bu çıktıların oluşumlarında çeşitlilik yaratmak için 4 boyutlu uzayda geometriyi döndürmek bir parametre olarak kullanılmıştır. İşlemler sırasıyla incelenecek olursa, ilk olarak 4 boyutlu geometri matematiksel olarak tanımlanmış ve kodlanmıştır. Daha sonra 4 boyutlu uzayda belirli düzlemler çevresinde belirli açılarda döndürülmüştür. Bu dönmüş durumları önce 3 boyutlu uzaya ortografik projeksiyonla aktarılmış daha sonra da perspektif projeksiyonla 2 boyutlu düzlemde gözlenmiştir. Çalışma önce tek bir teserakt çerçevesinden yapılmış ve farklı açılarda ve düzlem çevrelerinde döndürmelerle oluşan desenler incelenmiştir. Daha sonra kristalleri oluşturan yapı taşlarının bir kafes şeklinde düzenlenmesinden ve bunun 3 boyutta küplerden oluşan bir kafes ile temsil edilmesinden ilham alarak 4 boyutlu uzayda teseraktlardan oluşan bir kafes sistem kurulmuştur. Matematiksel analojilerle ilerleyerek 16 teseraktın 4 boyutlu uzayda kafes şeklinde dizilimi tanımlanmıştır. Bu 16 teseraktın 4 boyutlu uzaydaki döndürme deneylerinde ise tek teseraktın projeksiyon sonuçlarından yola çıkarak, periyodik olmayan ama aperiyodik olabilecek desenleri üretebilecek döndürmeler üzerinde durulmuştur. Aperiyodiklik, desenin bir temel birimin yer değiştirmesi ile üretilemeyecek olmasını ama uzun erimli bir düzene sahip olmasını gerektirdiği için, ayna simetrisine sahip çıktılar veren döndürmeler üzerinde daha çok durulmuştur. Olası desen ve kaplamalar elde etmek için belirli açılarda ve düzlemler çevresinde 4 boyutlu uzayda döndürülmüş teseraktların iki kademeli projeksiyonları alınarak 2 boyutlu düzlemde temsiller elde etmenin amaçlandığı vaka analizinde hesaplamalı tasarım araçları kullanılmıştır. Çünkü bu araçlar, vaka analizinin çok boyutlu karmaşık konusu için 4 boyutlu geometrileri ve gerekli döndürmelerle projeksiyonları hesaplayabilme kapasitesine sahiptir. Kullanılan hesaplamalı tasarım aracı, bahsedilen geometrileri ve işlemleri hesaplayabilir ve oldukça da geniş bir kaynak kütüphaneye sahiptir. Ancak 4 boyutlu geometri ve orada gerçekleşecek işlemler için tanımlı fonskiyonları ve objeleri yoktur. Dolayısıyla vaka çalışmasının tüm ana konularının matematiksel olarak tanımlanması ve kodlanması gerekmiştir. 4 boyutlu geometrinin matematiksel tanımlanması için, n boyutlu küp 2 boyuttan başlanarak incelenmiş ve çeşitli analojilerle 4 boyutlu kübün geometrisi çeşitli matematiksel işlemlerden yararlanılarak tanımlanmıştır. İki kademeli projeksiyon için ise, öncelikle 4 boyutlu geometrinin 3 boyutlu uzaya projeksiyonu için ortografik projeksiyonun ve bu projeksiyonu sağlayacak matematiksel işlemlerin yine boyutsal analojilerle çalışılması gerekmiştir. 3 boyutlu modelin 2 boyuta yansıtılması için ise vaka analizinde kullanılan hesaplamalı tasarım aracının kendi tanımlı 3 boyuttan 2 boyuta perspektif projeksiyon alan fonksiyonu kullanılmıştır. 4 boyuttaki rotasyonlar için ise 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzaydaki rotasyon için kullanılan trigonometrik işlemler çalışılmıştır. Sonrasında matematiksel analojilerle 4 boyuttaki döndürme işlemi için gerekli tanımlamalar yapılmıştır. Tesseraktların köşe noktalarının 4 boyutlu uzayda tanımlanması, 4 boyutlu uzaydan 3 boyutlu uzaya ortografik projeksiyon yapılması ve 4 boyutlu uzaydaki döndürme işlemleri için matrisler ve matris çarpımı kullanılmıştır. Hesaplamalı tasarım aracı olarak, çoğunlukla görsel sanatlar yaratmak için kullanılan Java tabanlı bir programlama dili ve IDE olan Processing yazılımı kullanılmıştır. Bu çok boyutlu konuya hesaplamalı yaklaşımda tüm tanımlamalar ve işlemler bir dizi talimatla uygulanır. Bu talimatlar, koşullu ifadeler ve döngüler içeren matematiksel, geometrik ve mantıksal işlemlerden oluşur. Süreç girdi, işlem ve çıktı olarak formüle edilir. Girdiler, verilen tüm geometrik tanımlamalarla beraber projeksiyon ve döndürme işlemi için yazılan tüm fonksiyonları da içerir. İşlem kısmında ise talimatların bir sırayla çalışması ile tanımlı geometri sırasıyla rotasyon işlemine ve sonra projeksiyon işlemlerine tabii tutulur. Çıktı ise bahsedilen işlemler sonrasında elde edilen 2 boyutlu temsillerdir. Çıktılar vaka analizindeki ilk varsayımlardan, tanımlardan, işlemlerden ve diğer girdilerin değişikliklerinden etkilenir. 4 boyutlu geometrilerin insan zihni tarafından öngörülemeyen ama bilgisayarların hesaplayabileceği doğası nedeniyle çıktılar, talimatların toplamından daha fazladır. Hesaplamalı yaklaşım, tahmin ve keşif modelleri olarak tanımlanabilecek bu tür karmaşık tasarım problemlerine uygun ve yaygın olarak uygulanan bir çözümdür. Bu vaka çalışması öngörülemeyen geometrik çıktıların keşfine izin veren deneysel bir çalışma olarak düşünülebilir. Vaka çalışmasında görülmüştür ki, teserakt geometrisi 4 boyutlu uzayda sabit fiziksel özelliklere ve periyodik dizilime sahip olsa da 4 boyutta uygulanan döndürme işlemi 2 boyutlu düzlemde öngörülemeyen çıktılara sebebiyet vermektedir. Bu 2 boyutlu çıktılardan bazıları çeşitli simetrilerle beraber uzun erimli düzenlerinde aperiyodiklik gösterdi. Yüksek boyutlu geometrilerin düşük boyutlara projeksiyonu ile temsili yaklaşımı yüksek boyutlu geometrileri tasavvur etmek ve olası parametrelerle desen üretmek noktasında kayda değer potansiyel göstermiştir. Ayrıca boyutları inceleyerek matematiksel analojileri çalışmak geometri ve onun temsili konusunda sağlam bir algı geliştirmeye yol açmıştır. Bu algı, geometrileri tasarlayan ve temsil eden mimarlar için oldukça faydalı bulunmuştur.
Özet (Çeviri)
Tilings and patterns can be seen in every society's buildings and ornaments. The arrangement types of tilings differ from culture to culture. This study particularly focuses on geometric tilings. The examples of geometric and periodic tilings are widely seen in Islamic art, as well as being studied in mathematics. Although the tiling term is used for covering a finite plane in art, it is used to cover planes infinitely in mathematics. The plane filling in 2D surface approach in mathematics corresponds to periodic 3D arrangements in nature. The idea that building blocks of material world should fill the entire space periodically. Not every substance has this order in their inner layouts but crystals do have. The building blocks of crystals come together in the 3rd dimension in a highly ordered way with periodicity and symmetry. These periodicity and symmetry can be seen in crystals' 2 dimensional representations which are obtained by x-ray diffraction technique. There are certain symmetries such as 2-fold, 3-fold, 4- fold and 6-fold rotational symmetries which can be seen in 2D layouts of crystals which are the results of 3D periodic order of the crystal arrangements. However quasicrystals which were discovered in 1984 in crystal layout experiments, don't show the required symmetries which are the results of 3D periodic arrangements. Rather the quasicrystals show aperiodicity with 5-fold rotational symmetry in their 2D layouts, which is not possible to obtain from a periodically ordered 3D lattice. According to physicists and chemists who study quasicrystal formation, one of the potent approaches to obtain these aperiodic layouts is projection of higher dimensional arrangements. According to this projection approach, if periodicity does not exist in 3D arrangements of these crystals, then this hidden periodicity and symmetry should be in higher dimensions. Therefore, the projection approach shaped this thesis's subject: studying to create aperiodic tilings by projection of higher dimensional geometries which are arranged in 4D space periodically, and using rotation in 4D space as a parameter to obtain variation for outcomes. The aim of this study is to examine, creating tilings from higher dimensions onto lower dimensions by projection method, obtaining aperiodic tilings as an outcome, using rotation in higher dimensional space as a parameter and using computational tools for all the process. The approach of generating aperiodic tilings through projection from higher dimensions is the difference from the existing studies such as bottom-up rule- based tiling generation. As an initial geometry and a research object, nD cube and particularly 4D cube is chosen, due to it's geometric features which are suitable to track dimensional analogies and show higher dimensional properties. Lattice approach is inspired from crystal lattices. The higher dimensions are restricted to 4D to have a sound comprehension about higher dimension concept by focusing only one of them. Representation of 4D cube via mathematical definitions and computer programming allowed visualization of rotation operations and projection of the 4D geometry into lower dimensions. Moreover, the visual programming environment provided an experimentation ground for exploring emergent relations and tilings. In the case study part, initially 4D cubes are digitally defined in 4D space, followed by the application of rotation operation in the 4th dimension which is not in the capability of human imagination but in computers'. After rotation operation, projection is applied to create representations of this specifically rotated 4D geometry. Projection is applied two times from 4D to 3D and then 3D to 2D. Orthographic projection is applied to rotated 4D geometry to obtain a 3D model of it by simply eliminating the 4th dimension and creating a projection like a shadow of 4D geometry in 3D space. Lastly this 3D model is projected with perspective onto the 2D screen. In the pattern generation process, the rotation operation is examined to look for possible aperiodic arrangements. In the first phase the rotation is applied to one 4D cube about all the possible planes in 4D space. The outcomes examined for symmetrical layouts, because aperiodicity should have a long range order through some symmetries although it lacks periodicity. So, the specific rotations which give symmetrical layouts are applied to 4D cube lattice in the second phase and the results are documented with their rotation aspects. This case study can be considered as an experimental study that allows exploration of unpredictable geometric outcomes. Although the tesseract lattice is constant about it's physical aspects and periodic in 4 dimensional space, the rotation operation results in highly interesting and unpredicted 2D layouts. Some of these 2D layouts showed a variety of symmetries and aperiodicity with their long range order.The projection of higher dimensional geometries approach showed great potential for visualizing higher dimensions and pattern generation with possible parameters. Also examining the mathematical analogies through dimensions gave a profound understanding about the relation between geometry and it's representations through dimensions. It can be said that this comprehension is arguably favourable for architects who are designing and representing geometries constantly.
Benzer Tezler
- Predictive gait simulations for investigation of musculoskeletal structure and locomotor function
Başlık çevirisi yok
HÜSEYİN ÇELİK
- Li-iyon batarya modelinin en uygunlaştırılması ve batarya bozunumunun incelenmesine katkılar
Contributions to optimization of Li-ion battery models and analysis of battery degradation
HAKAN İNCESU
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektrik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ DERYA AHMET KOCABAŞ
- Kanat yapısal deformasyonunun rüzgar türbini rotor performansı üzerine etkisi
Influence of blade structural deformation on wind turbine rotor performance
AKGÜN KALKAN
Doktora
Türkçe
2017
Enerjiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ZAHİT MECİTOĞLU
- Yapay zekâ ve demokrasi
Artificial intelligence and democracy
AYŞE NUR YAZICILAR
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
HukukGalatasaray ÜniversitesiKamu Hukuku Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ŞULE ÖZSOY BOYUNSUZ
- Faz modları kullanılarak silindirik dizi antenlerinin hızlı tasarımı ve analizi
Fast analysis and design of cylindrical array antennas via phase modes
HASAN AYDIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ÖZGÜR ÖZDEMİR
