Stability analysis of a mathematical model of Crimean Congo haemorrhagic fever disease
Kırım-Kongo kanamalı ateşinin matematiksel modelinin kararlılık analizi
- Tez No: 637195
- Danışmanlar: DOÇ. DR. SAADET SEHER ÖZER
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2020
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 103
Özet
Günümüzde keneler insanlar için tehlikeli, parazit taşıyan canlılar olmuşlardır. Bu nedenle insanlar bu canlılardan uzak durmak için bir çok önlem almaktadırlar. Keneler her zaman tehlikeli hastalık yayacak virüs taşımazlar. Ancak, insan sağlığını tehdit edebilecek, tehlikeli virüs ve patojenleri taşıyabileceklerini göz ardı etmemeliyiz. Bu tip insan sağlığını tehdit eden virüs ve patojenler, erken teşhis edilmediği takdirde, sonuçları ölümcül olabilir. Keneler hayatları boyunca 3 evreden geçerler. Bunlar, larva evresi, nymph evresi ve yetişkin evre olmak üzere üçe ayrılır. Larvalar ve nympler genelde küçük baş hayvan, tavşan veya kuş gibi canlılardan beslenirler. Yetişkin evreye geldiklerinde ise daha çok büyük baş hayvanları veya insanları tercih ederler. Bu nedenle keneler insanlara Kırım-Kongo Kanamalı Ateşi hastalığını yetişkin evresinde bulaştırırlar. Keneler yaşamlarının çeşitli evrelerinde konak olarak kullandıkları hayvanlardan virüs alabilirler. O halde, kenelerin konak olarak kullandıkları büyük baş, küçük baş veya tavukların Kırım-Kongo Kanamalı Ateşi hastalığının semptomlarını göstermediğini ve hastalıktan etkilenmedi yalnızca taşıyıcı oldukları söylenebilir. Köylerde, kırsal kesimlerde yaşayan veya çalışan insanların kene ısırığına maruz kalma ihtimalleri, şehirlerde yaşayan insanlara göre daha fazladır. Bu nedenle köy yerleri, kırsal kesimler gibi yerlerde yaşayan insanların daha fazla önlem almaları gerekmektedir. Kenelerden korunmanın çeşitli yolları vardır. Bunlardan bazılarını şöyle sıralayabiliriz, • Özellikle tarlada çalışan insanlar veya doğa yürüyüşüne çıkanlar uzun kollu t-shirt ve pantolon tercih etmelidirler. • Köy yerlerinde yaşayan, özellikle tarlada çalışan veya kenelerin çok görüldüğü yerlerde ikamet eden insanların pantolon paçalarını çoraplarının içine sokmaları kenelerden korunmalarına yardımcı olacaktır. • Doğa yürüyüşüne çıkıldığında, patikaların ortasından yürümeye özen gösterilmelidir. Çünkü keneler genellikle toprağa yakın yaprak altlarında bulunurlar. • Kene sokmasına maruz kalan insanların, keneleri kendi uğraşları ile çıkarmaya çalışmamalılar. Uzman olmayan bir kişi keneyi çıkarmaya çalışırken kenenin ısırdığı yerden içeriye kusmasına ve virüs taşıyorsa insana bulaşmasına sebebiyet verebilir. Bu nedenle kene sokmasına maruz kalan kişi hemen bir hastaneye gitmeli ve doktor tarafından çıkarılmalıdır. • Hayvanlar üzerinde olan keneler çıkarılırken çıplak elle çıkarılmamalıdır. Çıplak elle yapılan temasta hayvanın kanı insana süründüğünde, kene herhangi bir virüs veya patojen taşıyorsa bu insana geçebilir. Bu nedenle kene ısırığına maruz kalan bir hayvanın kan veya vücut sıvısı ile temas edilmemesine özen gösterilmelidir. • Kenelerin yoğun görüldüğü zamanlar özellikle Nisan-Ekim dönemlerinde ilaçlama yapılması kenelerin üremesine engel olacak önlemlerden bir tanesidir. • Kırsal kesimlerde yaşayan insanlar, kene sokmasına karşı, hayvanlarını belirli periyodlarda parazit aşılarını yapmalıdırlar. Bu tezde, kenelerin yoğun olarak bulunduğu yerlerdeki tavukların, burada bulunan keneler üzerindeki etkisi epidemik bir matematiksel bir model üzerinde araştırılmıştır. Ayrıca, bu etkinin dolaylı olarak Kırım-Kongo Kanamalı Ateşi hastalığının insan populayonuna etkisi de incelenmiştir. Problemimize başlamadan önce, problemin çözümünü ve anlaşılmasını kolaylaştırmak adına çeşitli bilgiler verdik. İlk olarak, dinamik sistemler hakkında bir takım tanımlamalar yaptık. Diferansiyel denklem sisteminin, sabit homojen denklem sisteminin ve otonom denklem sisteminin tanımını yaptık. Ardından bu denklem sistemlerinin stabilite analizi, neden stabilite analizine ihtiyaç duyduğumuz hakkında bilgiler verdik. Stabilite analizine başlayabilmek için ilk olarak denge noktalarının bulunması gerektiğini söyleledik. Ardından denge noktalarını, sisteme ait yazılan Jacobian matriste yerine koyarak stabilite analizini yapabileceğimizi söyledik. Denge noktaları, Jacobian matriste yazıldıktan sonra elde edilen matrisin özdeğerlerinin i¸saretlerine göre bulunan denge noktasının stable mı yoksa unstable mı olduğunun kararının nasıl verileceğini açıkladık. Denge noktasının Jacobian matriste yerine yazıldıktan sonra elde edilen matrisin tüm özdeğerleri negatif reel kısma sahip ise bu denge noktasının stable, en az birinin reel kısmı pozitif ise bu denge noktasının unstable olduğunu söyledik. Bu tanımlamaları yaptıktan sonra, üçüncü bölümde çok iyi bilinen birkaç matematiksel modelin analizlerini kendi problemlerimize yol göstermesi adına tekrar yaptık. Bu modeller arasında SI, SIR, SIS epidemik modelleri ve Prey-Predator (Av-Avcı) modelini inceledik. Bu modellerin model diyagramlarını çizdik. Ardından bu modellerin lineer olmayan denklem sistemlerini yazdık. Denklem sistemlerini yazdıktan sonra stabilite analizlerini yapabilmek için ilk olarak bu modellerin denge noktalarını bulduk ve sonrasında denklem sistemine ait Jacobian matriste bu noktalarını yerine koyduk. Elde edilen matrisin özdeğerlerinin işaret incelemesini yaparak denge noktalarının stable mı yoksa unstable mı oldu˘guna karar verdik. Fakat her zaman denge noktasının Jacobian matriste yerine koyularak elde edilen matrisin özdeğerlerinin kesin olarak negatif ya da kesin olarak pozitif olduğunu söylemek mümkün olmuyordu. Bazı özdeğerler belli koşullar sağlandığında negatif ya da pozitif oluyordu. İşte bu durumda basic reproduction number'dan söz edebiliyorduk. R0 ile temsil edilen bu terim, işaret analizini yapamadığımız özdeğerden elde edilmektedir. E˘ger R0 < 1 ise, bütün özde˘gerler negatif olmaktadır. Bu durumda denge noktasının stable olduğu söylenmektedir. Ayrıca R0 < 1 durumunda hastalık durumu zamanla ortadan kalkmaktadır. Ayrıca, model incelemelerimizde R0 > 1 olduğu durumlarda endemik denge noktası adını verdiğimiz denge noktası var olacak aynı zamanda stable olacaktır. Bu da hastalığın populasyonda varlığını sürdürüp endemik bir hal alacağını işaret etmektedir. Biz bu tezde, problemlerimizi üç farklı şekilde ele aldık. • Hem kene hem de tavuk populasyonlarının lojistik büyüme olarak alındığı model. • Yalnızca tavuk populasyonunun lojistik büyüme olarak alındığı model. • Yalnızca kene populasyonunun logistik büyüme olarak alındığı model. Problemlerimizde beş tane adi diferansiyel denklemden meydana gelen bir denklem sistemi oluşturduk. Bu denklemler yazılırken duyarlı insan ve kene populasyonları, infekte insan ve kene populasyonları ve tavuk populasyonu arasındaki ilişkiler göz önüne alınmıştır. Burada infekte kene ve duyarlı kene arasında SI model olduğu söylenebilir. Çünkü bir kene infekte olduktan sonra iyileşme şansı bulunmadığından tekrar duyarlı olamamaktadır. İnfekte insan ve duyarlı insan arasında ise SIS modeli bulunmaktadır. Çünkü Kırım-Kongo Kanamalı Ate¸si hastalığına yakalanan bir insan iyileştikten sonra virüsü ta¸sıyan bir kene tarafından ısırılırsa tekrar hastalığa yakalanma riski bulunmaktadır. Kene populasyonu ve tavuk populasyonu arasında ise Prey-Predator modeli ilişkisi vardır. Burada keneler avı, tavuklar ise avcıyı temsil etmektedir. İncelemiş olduğumuz üç modelden ilk ve üçüncü modelin sonuçlarına baktığımızda, tavuk populasyonuna eklenen tavuk miktarının sayısı artırıldığında ortamdaki kene sayısının daha hızlı düştüğü sonucuna varılmıştır. Buna ek olarak, eğer tavukların kümeslerinden salınma sıklığı da artırıldığında, daha fazla kene bulup yiyeceklerinden yine kene sayısında bir düşüş olacağı matematiksel olarak görülmüştür. Bu düşüşlere bağlı olarak Kırım-Kongo Kanamalı Ateşi hastalığının ortamda bir süre kalıcığını sürdükten sonra zaman içerisinde yok olduğu verilerimizce gösterilmiştir.
Özet (Çeviri)
Today, ticks are harmful parasitic creatures feared by humans. Ticks do not always carry dangerous diseases. However, we should not ignore the pathogens and viruses that may be carried because these creatures can carry various viruses and seriously threaten human health. If it is not diagnosed early, it can result in fatal consequences. Ticks can get viruses from their hosts at various stages of their lives. Ticks can transmit these viruses to humans in the adult tick stage. Here we can say that the animals that ticks use as hosts are only vectors. Cattle, bovine or chickens do not show symptoms of diseases which are caused by ticks. In this thesis, the spread of Crimean-Congo haemorrhagic fever disease is investigated by considering the problem as an epidemic model. Before stating the problem, in first chapter, some information about dynamic systems is given. The definition of systems of differential equations and their stability analysis are mentioned. Besides, the autonomous systems of equations are briefly explained. And how their stability can be analysed is mentioned. Then, to guide our own problem, information about the well-known SI, SIR, SIS epidemic models and Prey-Predator model and their stability is given in the second chapter. And finally in the third chapter the original problem of the thesis is examined. The system of equation of these models is non-linear. After writing system of equation we found the equilibrium points first. Then, we do linearisation by substituting the equilibrium point in to the Jacobian matrix. We investigated sign of the eigenvalues of these Jacobian matrices which are evaluated by equilibrium points of epidemic models. If all eigenvalues are negative the equilibrium point is stable. If at least one eigenvalue is positive, then the equilibrium point is called unstable. It is not always possible to determine the sign of eigenvalues. In such a case, we could talk about basic reproduction number. Basic reproduction number is represented by R0. If R0 < 1, all eigenvalues are negative and the equilibrium point is a stable equilibrium point. The disease disappear over time. Otherwise, if R0 > 1, at least one of the eigenvalues is positive. Also, the endemic equilibrium point exist when R0 > 1. In addition to, when R0 > 1 disease free equilibrium point is unstable and endemic equilibrium point is stable. And the disease becomes endemic. The problem is expressed as the combination of the variation of population dynamics of human, tick and birds(chicken). In all dynamics of human and tick we considered the in and outs to the compartments, outs as both in the meaning of transfers between compartments and removals such as death. The inputs to the system are either taken constants or logistic growth effects. In this thesis, we investigate the problem in three different ways. • The model which takes logistic growth both in tick and chicken populations, • The model which takes logistic growth only in chicken population, • The model which takes logistic growth only in tick population. We use a system of five ODEs to represent the interaction between chicken population, susceptible and infected populations of humans and ticks. It can be said that there is SI model between infected tick and susceptible tick, SIS model between infected human and susceptible human, and Prey-Predator model between tick and chicken. We have determined the equilibrium points for each model and investigate the stability of the equilibrium points. During the studies the reproduction numbers were found and the stability is investigated with respect to the reproduction numbers. The bifurcation analysis has also been done for tick logistic - chicken logistic model and tick logistic -chicken constant model. According to the results of the first and second models, it was observed that there was a decrease in the number of ticks when the chicken population in the environment was increased. In addition, if the frequency of unleashing of chickens into the environment is increased, then ticks can be more likely to increase among chickens is. Therefore, the number of ticks in the environment may decrease. Due to this decrease, it has mathematically shown that the Crimean Congo Haemorrhagic Fever disease decreases over time.
Benzer Tezler
- Liapunovun ikinci yöntemiyle güç sistemlerinin geçici hal kararlılık analizi
Transient stability analysis of power systems with Liapunov's second method
CENGİZ BEKTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1990
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. M. EMİN TACER
- Bazı bakteriyel patojenlerin matematiksel modelleri ve uygulamaları
Mathematical models of some bacterial pathogens and it's applications
BAHATDİN DAŞBAŞI
- Lyapunov fonksiyonu tabanlı bulanık denetleyici tasarımı
Lyapunov function based fuzzy logic controller design
ONUR BAŞTÜRK
Yüksek Lisans
Türkçe
2009
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiCumhuriyet ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MANAFEDDİN NAMAZOV
- Bir robot manipülatör için adaptif model izleme kontrol sistemi
An Adaptive model following control system for robotic manipulators
İHSAN ÖMÜR BUCAK
- Salgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi
Mathematical modeling of the effect of vaccination and quarantine in epidemic diseases
SEDA ÇELİK
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SAADET SEHER ÖZER