On the Picard group of real quadratic number fields
Reel kuadratik sayı cisimlerinin Picard grubu hakkında
- Tez No: 648556
- Danışmanlar: PROF. DR. SİNAN ÜNVER, DOÇ. DR. AYBERK ZEYTİN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2020
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Koç Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 92
Özet
Bir sayı cisminin sınıf sayısını hesaplamak her zaman sayılar kuramının başlıca problemlerinden biri olmuştur. Bu amaç doğrultusunda şu ana kadar birçok algoritma ortaya atılmıştır ve bu algoritmaların temelini oluşturan hesapların bir Arakelov sınıf grubu (veya Picard grubu) içerisinde görülebileceği fark edilmiştir. Bu tezde ilk olarak, bir cebirsel eğrinin Picard grubuna analog olan, K sayı cisminin yönlü Arakelov sınıf grubunu inşa edeceğiz ve bunu $\widetilde{\pic^0(K)}$ ile göstereceğiz. Bu inşa için öncelikle K sayı cisminin yönlü Arakelov bölenlerini ve bu bölenlerin dereceleri ile bölenlere karşılık gelen ikilileri tanıtacağız. Sonrasında, $\widetilde{\pic^0(K)}$ grubunun K cisminin dar sınıf grubunun, $\cl^+(K)$, reel bir Lie grubuyla genişlemesi olduğunu gözlemleyeceğiz. Ardından, diskriminantı sabit tutarak katsayıları tamsayı olan primitif belirsiz ikili kuadratik formlara odaklanacağız ve $\gl_2(\Z)$ grubunun bu formlara etkisini tanımlayacağız. Tamsayı katsayılı, primitif olmanın ve diskriminantın bu etki altında değişmediğini fark edeceğiz. Bu iki temel konsepti bağlantılamak için, dikkatimizi son olarak reel kuadratik sayı cisimlerine vereceğiz. K sayı cismi reel kuadratik olduğunda $\cl^+(K)$ ve tamsayı katsayılı kuadratik formların denklik sınıflarından oluşan küme arasında birebir ve örten bir ilişki kuracağız ve $\widetilde{\pic^0(K)}$ grubunu belirsiz ikili kuadratik formların dilinde ifade edeceğiz.
Özet (Çeviri)
Computing the class group of a number field has always been one of the main problems of number theory. For this purpose, several algorithms have been introduced so far, and it turns out that some of the computations underlying these algorithms can be viewed as ones within the Arakelov class group (or Picard group) of the number field in question. In this thesis, we first construct the oriented Arakelov class group of a number field K, $\widetilde{\pic^{0}(K)}$, that is analogous to the Picard group of an algebraic curve using basic notions attached to an oriented Arakelov divisor, e.g. degree, pairs consisting of fractional K-ideals and units in $K \otimes_{\Q} \R$. We then observe that $\widetilde{\pic^{0}(K)}$ is an extension of the narrow ideal class group of K, which will be denoted by $\cl^+(K)$, by a real Lie group. Afterwards, we focus on primitive integral indefinite binary quadratic forms of fixed discriminant and define an action of $\gl_2(\Z)$ on the set consisting of these forms. We will notice that the integrality, primitivity, and discriminant are invariants of this action. To combine these two main notions, we restrict our attention to real quadratic number fields. We show that there is a natural bijection between $\cl^+(K)$ and the set of equivalence classes of integral binary quadratic forms with fixed discriminant when K is a real quadratic field and then express $\widetilde{\pic^{0}(K)}$ in the language of indefinite binary quadratic forms.
Benzer Tezler
- Picard grubu ve H(karekök'n') hecke gruplarının bazı alt grupları
Some subgroups of the Picard group and H(Vn) hecke groups
NİHAL YILMAZ ÖZGÜR
- Eichler-Shimura ilişkisi
Eichler-Shimura relation
NESLİHAN GİRGİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikMimar Sinan Güzel Sanatlar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EMRAH ÇAKÇAK
- Modüler grubun Picard grubundaki normalliyeninin ağaçları
Trees of the normalizer of modular group in Picard group
ILGIT ZENGİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
MatematikKaradeniz Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BAHADIR ÖZGÜR GÜLER
- Modüler grubun picard grubundaki normalliyeninin alt yörüngesel grafları
Suborbital graphs of the normalizer of the modular group in the picard group
NAZLI YAZICI
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
MatematikKaradeniz Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BAHADIR ÖZGÜR GÜLER