Geri Dön

Electromagnetic scattering from conducting surfaces by Nyström method

Nyström yöntemiyle iletken yüzeylerden elektromanyetik saçılma

PDF İndir

  1. Tez No: 677015
  2. Yazar: FAİK YAMAN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. MEHMET ÇAYÖREN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği, Electrical and Electronics Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2021
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Telekomünikasyon Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 85

Özet

Bu tezin amacı metal yüzeylerden saçılan elektrik alanı Nyström çözüm yöntemini ile hesaplamaktır. Bu konu hesaplamalı elektromanyetik dalının (CEM) ilgilendiği bir konudur. Bu dal elektrik ve manyetik alanı hesaplamak için genellikle Maxwell's denklemlerinden türetilmiş olan elektrik alan integral denklemini ve manyetik alan integral denklemini kullanır. Bu denklemler diferansiyel formda da yazılabilir. CEM genellikle bu tarz denklemleri çözmek için sayısal çözüm yöntemlerini kullanır. En çok kullanılan çözüm yöntemleri ise Moment Metodu (Mom), Sonlu Elemanlar Metodu (FEM), Zaman Domeninde Sonlu Farklar Metodu (FDTD) olarak düşünülebilir.Bu yöntemlerden olan FDTD diferansiyel olarak çözüm önerirken, diğer yöntemler ise çözümü integral denklem olarak önerir. Bu yöntemlerin kendi aralarında avantajları ve dezavantajları da mevcuttur. İntegral denklemi kullanmanın ana avantajı, elektromanyetik problemleri çözmek için diferansiyel denklemler kullanılıyorsa, ilgilenmeyen gözlemcilerin saçılan elektrik alanını bulmaya ihtiyaç duyulmasıdır. Çünkü bir noktanın türev değeri, yakın noktaların türev değerlerine bağlıdır. Elektromanyetik problemleri çözmek için integral denklemi kullanırken, integraller yakınsaksa, yakın noktaların saçılan elektrik alanlarını bilmemize gerek yoktur. Bu, elektromanyetik problemlerin üstesinden gelmek için diferansiyel denklem yerine integral denklem yöntemlerinin kullanılması durumunda kodlama yaparken bize zaman kazandırır. Bu tezde metal yüzeylerden saçılan elektrik alanı hesaplamak için Nyström metodu (NM) kullanılmış.NM integral denklemleri seri toplamına dönüştürür.İntegral kaç katlıysa o kadar sayıda toplam serisi mevcuttur. Bu metod yeni bir metod değildir fakat, bu metod 1990'lı yıllardan itibaren hesaplamalı elektromanyetik alanında kullanılmaktadır. NM çözümü yaparken integral denklemleri kullanır ve diğer yöntemlerde olduğu gibi elektrik alanın saçılacağı nesneyi küçük elemanlara böler. Elemeanlar kare, küp, daire gibi geometrik şekillerde olabilir. Problemi çözmek için bu tezde karesel elemanlar kullanılmıştır. Her eleman eşit sayıda örnekleme noktalarına ve ağırlık katsayılarına sahiptir. NM'nin en kritik noktası kareleme kuralının integral operatörüne uygulanmasıdır. Kareleme kuralı integralleri seri toplamlarına dönüştürür ve bu seri toplamları integrand'ın örnekleme noktalarındaki değeri ile bu örnekleme noktalarına ait olan ağırlık katsayılarının çarpımından oluşur. Integraller için birçok kareleme kuralı yöntemi vardır ve bunlara örnek olarak Trapezoid kuralı, Tanh-Sinh kuralı, Gauss-Kronrod kuralı, Gauss-Hermite kuralı, Gauss-Jacobi kuralı ve Gauss-Legendre kuralı verilebilir.Bu tezde elektrik alan integral denklemini hesaplayabilmek için Gauss-Legendre kuralı kullanılmıştır. Bu kural limiti 1 ve +1 arasında olan integralleri hesaplar. Farklı bir aralıkta olan integralleri hesaplayabilmek için basit bir dönüşüm yapılır. Gauss-Legendre kuralında örnekleme noktaları Legendre polinomunun -1 ve +1 değerleri arasındaki kökleridir. Ağırlık katsayıları ise Legendre polinomu sayesinde rahatlıkla bulunabilir.Saçılan elektrik alanı bulmak için 2 adım izlenir. İlk adımda saçılan alanı oluşturacak nesne bir kaynak tarafından uyarılır, bu kaynak genellikle düzlem dalgadır. İlk adımdaki amaç nesne üzerinde oluşan akım yoğunluğunu matriks işlemleri yardımıyla bulmaktır. Bu matriksler karesel matriks olan empedans matriksi, akım yoğunluğunu gösteren matriks ve kaynak tarafından nesneye gelen elektrik alanı gösteren sütun matriksleridir. Empedans matriksinin elemanları EFIE'ne göre oluşturulur ve her elemanı örnekleme noktalarının EFIE 'ne göre birbiri arasındaki ilişkiyi gösterir. Akım yoğunluğu ise empedans matriksinin tersinin gelen elektrik alan matriksinin çarpımıyla bulunur.Akım yoğunluğunu hesaplamak için empedans matrisinin tersini almak gerekir. Bu matrisin tersini almak kodlama yaparken zaman kaybına neden olmaktadır. Bu sorunu çözen sayısal bir yöntem olsa bile saçılma elektrik alan problemini kodlarken bu sayısal yaklaşımları kullanmıyoruz. İknci adımda ise amaç akım yoğunluğundan faydalanarak saçılan elektrik alanı bulmaktır. Bu adımdaki yöntem ile ilk adımdaki yöntem birbirine benzerdir fakat, burada empedans matriksinin karesel değildir. Bu adımda uzayda saçılan elektrik alanın hesaplanacağı gözlemci noktaları oluşturulur. Empedans matriksi ise bu gözlemci noktaları ile nesne üzerindeki örnekleme noktaları arasındaki ilişkiyi gösterir. Saçılan elektrik alan ise akım yoğunluğunu gösteren matrix ile empedans matriksinin çarpımıyla bulunur.Saçılan elektrik alanı bulma işlemi kolay olmasına rağmen anlatılan ilk adımda bir tekillik problemi vardır. Bu problem EFIE denkleminin içerisindeki Green fonksiyonu ve bu fonksiyonun ikinci türevinden kaynaklanır. Çünkü, Green fonksiyonunun paydasında $R$ ile gösterilen uzaklık terimi vardır. Green fonksiyonunun ikici türevinin paydasında ise $R^3$ terimi vardır. Empedans matriksinin diagonal elemanlarında (aynı noktaların etkileimini gösteren elemanlar) uzaklık 0 olacağı için bir tekillik oluşur. Bu tekillik problemi Gauss-Legendre kareleme kuralı ile çözülemez, bu kural tekilliği olmayan integraller için geçerlidir. Fakat, Cauchy Esas değerine göre EFIE 'nin tekil noktaları için de bir değeri vardır. Tekillik problemini çözmek için Tanh-sinh kareleme yöntemi, Radyal açısal-değişkenlere ayırma yöntemi, Duffy dönüşümü gibi yollar mevcuttur. Bu tezde Duffy dönüşümü tekilliği çözmek için kullanılmıştır. Bu dönüşüm üçgensel elemanlar için bir çözüm sunar. Kullandığımız karesel elemanları 4 tane üçgensel elemana bölerek sonucu bulabiliriz. Sonuç bu 4 üçgensel elemanın sonuçlarının toplamıdır. Ayrıca bu sonuca Green fonksiyonunun limit sıfıra giderken çıkan değeri de eklenmelidir. Bulunan toplam sonuç Green fonksiyonunun tekil olduğu noktadaki (empedans matriksinin diagonal elemanı) sonucudur. Green fonksiyonunun ikici türevinin tekilliğini hesaplayabilmek için de Duffy dönüşü kullanılabilinir . Ancak bunun yerine sonlu farklar yöntemi kullanılarak ikinci türevlerin tekillik değerleri hesaplanmıştır. Bu aşamada Green fonksiyonun ikinci türevinin limit 0'a giderken aldığı değer sıfır olacağı için bu hesaba gerek yoktur. Ayrıca şu da kolaylıkla anlaşılabilir ki, akım yoğunluğu hesaplanırken empedans matriksinin diagonel olmayan elemanlarında ve saçılan elektrik alan hesaplanırken empedans matriksinin tüm elemanlarında bir tekillik söz konusu değildir.Bu tezde ilk iki ünitede saçılan elektrik alanın Nyström metodu ile nasıl bulunduğuna dair teoriye yer verilecektir. Son bölümde ise metalik kare ve küpler için saçılan elektrik alanların benzetim sonuçları üzerinde durulacaktır. Bu sonuçlar Feko benzetim programının sonuçları ile karşılaştırılmıştır.Simülasyonların özellikleri, düzlem dalganın yayılma yönünün açısı, frekans, saçılan cismin şekli, ağ sayısı, örnekleme sayısı gibi ayrıntılı olarak verilmiştir. Saçılan elektrik alanının faz sonuçları ve saçılan elektrik alanının genlik sonuçları açısından simülasyon sonuçları verilmiştir.

Özet (Çeviri)

The aim of this thesis is to calculate the scattered electric field from metal surfaces with the Nyström solution method. This topic is of interest to computational electromagnetic (CEM). CEM generally use Maxwell's Equations to calculate electric or magnetic fields. In CEM, Electric Field İntegral Equation (EFIE) is used to find scattered electric field and Magnetic Field İntegral Equation is used to find scattering magnetic field. These equations are derived from Maxwell's equations and Maxwell's equations can be written as differential form or integral form. CEM solves these equations by using numeric methods. The best known methods used by CEM are Moments Method, Finite Element Method, Finite Difference Time Domain Method. Finite Difference Time Domain Method solves differential equations and other methods solve integral equations. These methods have advantages and disadvantages while solving equations. Main advantage of using integrals equation is that if differential equations are used to solve electromagnetic problems , there is need to find scattering electric field of not interested observers. Because derivative value of a point depends on derivative values of near points. While using integral equation to solve electromagnetic problems, we do not need to know scattering electric fields of near points if integrals are convergence.This saves us time while coding if integral equations methods are used instead of differential equation to overcome electromagnetic problems.In this study, Nyström Method (NM) was used to evaluate scattering electric field from metal surfaces. NM converts integral equations to series sum. The more folds the integral is, the more sum series are available. Nyström method is not new numeric method but it is new for CEM since 1990's. In NM, integral equations are solved and solution domain (scattered object) needs to meshes like other methods. These meshes can have different geometries like triangle, square, circle, cube and every meshes have equivalent number of sampling points and weight coefficients. Square meshes are selected to solve problem for this thesis.Key of the NM is to apply quadrature rule on the integral operator. Quadrature rule turns integrals to series sum. In series sum, quadrature rule multiplies sampling points of integrand and weights coefficient of these sampling points. There are a lot of types quadrature rule such as Trapezoidal rule, Tanh-Sinh rule, Gauss-Kronrod rule, Gauss-Hermite rule, Gauss-Jacobi rule and Gauss-Legendre rule. \newline \newline Gauss-Legendre quadrature rule is applied to solve EFIE in this thesis. In reality, this rule evaluates integrals which have lower boundary as -1 and upper boundary 1. For different boundaries, a simple transformation must be applied. Sampling points of rule is the roots of Legendre polynomials for integrals that have the boundary between -1 and 1. Weights coefficients also can be found from this polynomials.Basic strategy to find scattered electric field is that first step is to find current density, that creates scattering electric field, is stimulated by a source. This source is generally plane wave source. Impedance matrix must be filled to find current density. EFIE is used while calculating impedance matrix. Impedance matrix is square matrix and gives relationship between incident electric field source (plane wave source) and current density. Impedance matrix can be thought that it gives relationship between every sampling point in terms of EFIE. İncident electric field source and current density matrix are column matrix. Current density can be determined with matrix operations.To calculate current density , there is need to take inverse of impedance matrix. Taking inverse of this matrix causes time consuming while coding.Even if there is a numerical method that solve this problem, while coding scattering electric field problem, we do not use these numeric aproaches. Second step is to find scattered electric field by using current density. To find scattering field, observation points must be defined. Same strategy in first step could be used to evaluate scattering field but, difference is that impedance matrix of second step is not square matrix, is rectangular matrix. Elements of this matrix shows relationship between sampling points and observation points. Scattering electric field is calculated with the matrix multiplication of current density matrix and impedance matrix. This was the strategy to evaluate scattering electric field.Even if easy procedure, there is a problem because of quadrature rule. EFIE has green's function and second derivatives of green's function. In denominator of Green's function, there is a distance term whose symbol is $R$. Also, it is easily realized that second derivatives of green's function has $R^3$ term in denominator. These terms cause a singularity problem at the first stage of solution strategy because, the distance between same sampling points is zero. Singular terms are at the diagonals on impedance matrix. Gauss-Legendre quadrature rule is not valid for singular integrals. But, it is known that integral is defined compare to Cauchy principle value at the singular points although quadrature rule cannot handle it. To overcame singularity problem, there are a lot of solution strategies like Tanh-sinh quadrature rule, Radial angular-separation variable transform, Duffy's transform. In this study, Duffy's transform is applied to get rid of singularity problem. This transform is useful for triangular meshes. To calculate result of singular point, square meshes are divided to 4 triangular meshes. Result of one singular point is summation of result of 4 triangular meshes. Moreover, result of singular points have 2 terms. One of them is the result of Duffy's transformation and second term comes from limit of green's function when distance goes to 0. Total result which is diagonal element of impedance matrix equals summation of two terms. This singular point result is for green's function. To calculate results of derivatives of green's function, Duffy's transform can be used again. Different strategy is used to calculate results of derivatives. This was done with finite difference theorem in the thesis. Unlike the singular result of green's function, there is no contribution from limit for derivatives of green's function because this contribution is just number and derivative of this number is 0. It is easily understood that there is no singularity problem for non-diagonal terms of impedance matrix. Besides, there is no singularity problem while calculating scattered electric field from current density as observers are not on the scattered object.In this thesis, first two chapter are about theory of scattering electric field with Nyström Method. The subject of last chapter is simulation results of scattering electric field from metallic squares and cubes. Simulation results are compared with the results of Feko program. Properties of simulations are given detail by detail like angle of propagation direction of plane wave, frequecy, shape of scattered object, mesh number, quadrature number. Simulation results are given in terms of phase results of scattering electric field and amplitude results of scattering electric field.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    593239

    Electromagnetic scattering from anisotropic inhomogeneous impedance cylinder of arbitrary shape above pec surface

    Mükemmel iletetken düzlem üzerinde bulunan homojen olmayan keyfi kesitli anizotropik empedans silindirinden elektromagnetik dalgaların saçılması

    MOHAMED MİLAD SALİM AİNDALA

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2019

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiKarabük Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. NECMİ SERKAN TEZEL

  2. Tez No

    66102

    Düzlemsel iletken cisimlerden elektromanyetik saçılma probleminin karakteristik akımlarla analizi

    Analysis of electromagnetic scattering from planar conducting bodies by characteristics currents

    DİCLE CENGİZ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiHacettepe Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. ADNAN KÖKSAL

  3. Tez No

    485341

    Kanonik şekle sahip cisimlerin Huygens yöntemi ile görüntülenmesi

    Imaging of objects with canonical shape by Huygens method

    BURAK ACAR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2017

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ALİ YAPAR

  4. Tez No

    216785

    Çok katmanlı dielektrik üzerindeki parça iletkenlerden saçılım

    Scattering from patch conducting surfaces on multilayer dielectrics

    SAİM EKİCİ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2008

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiHacettepe Üniversitesi

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

    PROF. DR. ERDEM YAZGAN

  5. Tez No

    400449

    Method of moments analysis of an aperture in a thick ground plane

    Başlık çevirisi yok

    AHMET BURAK ÖLÇEN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2012

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolSyracuse University

    Elektrik ve Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DR. ERCÜMENT ARVAS

Geri Dön