Üzerinde darboux eğrilerinin tschebycheff şebekesi oluşturduğu yüzeyler
Surfaces on which the darboux lines form a tschebycheff net
- Tez No: 68894
- Danışmanlar: PROF. DR. ABDÜLKADİR ÖZDEĞER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1997
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 63
Özet
OZET Bu çalışmada, esas itibarıyla, üç boyutlu Öklid uzayında bir S yüze yine ait Darboux eğrileri tarafından oluşturulan Tschebycheff şebekeleri incelenmiştir. Ayrıca, 5“ yüzeyine paralel bir 5”yüzeyi ile S nin inversi olan S yüzeyi göz önüne alınarak, S nin Darboux eğrilerinin S' ve S yüzeyinin Darboux eğrilerine karşı gelme koşulları elde edilmiş ve her iki halde de 5 yüzeyinin cinsi belirlenmiştir. S yüzeyi üzerinde, düzgün üç a,b,c vektör alanının integral eğrilerinin oluşturduğu üçlü eğri şebekesini A = (a,b,c) ile gösterelim. Şayet bu üçlü şebekeye ait her vektör alanı şebekenin geriye kalan vektör alan larının integral eğrileri boyunca Levi-Civita anlamında paralel kayıyorsa, A şebekesine bir Tschebycheff şebekesi denir. A nin bir A' alt şebekesine ait herhangi bir vektör alanı, diğer vektör alanının integral eğrileri boyun ca paralel kayıyorsa, A' ye bir Tschebycheff şebekesi adı verilir. 2-boyutlu (a,b) şebekesine ait vektör alanlarından biri diğer vektör alanının integ ral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa, bu şebekeye yarı - Tschebycheff şebekesi denir. S yüzeyi üzerindeki Darboux eğrilerinin teğet vektör alanları Vı,T>2, Vz olsun. Çalışmanın ikinci bölümünde, üzerinde (£>ı,X)2) şebekesinin bir Tschebycheff ve {Vı,Vs) şebekesinin de bir yarı-Tschebycheff şebeke si olduğu yegane yüzeyin bir dönel silindir veya özel olarak bir düzlemden ibaret olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, 5, S' ve S yüzeyleri ile ilgili olarak aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem. Açılabilir olmayan, küreden farklı bir yüzeyin Darboux eğrileri ile bu yüzeye paralel bir yüzeyin Darboux eğrilerinin birbirine karşı gelmesi için gerek şart, bu yüzeyin sabit ortalama eğrilikli bir yüzey olmasıdır. Herhangi bir açılabilir yüzey ile buna paralel bir yüzeyin Dar boux eğrileri birbirine karşı gelir. Teorem. Üzerinde iki Darboux eğri ailesinin bir Tschebycheff şebe kesi oluşturduğu sabit ortalama eğrilikli yüzeyler bir açılabilir yüzeyden ibarettir. Teorem. Darboux eğrileri, inversi üzerindeki Darboux eğrilerine karşı gelen, küreden farklı bir yüzey aşağıdaki yüzey sınıflarından birisine aittir: a. S yüzeyi bir Dupin siklidi olup, r - f = sbt. eğri ailesi küreseldir. b. S yüzeyi bir dönel boru yüzeyidir. Teorem. Üzerinde eğrilik çizgilerinden farklı iki Darboux eğri ailesi nin bir eğrilik çizgisi ailesi (= Darboux eğri ailesi) ile yarı Tschebycheff şebekesi oluşturduğu Mulür yüzey, bir dönel yüzey veya bir boru yüzeyinden ibarettir. iv
Özet (Çeviri)
SUMMARYIn this work, Tschebycheff nets formed by the Darboux lines on a surface 5“ in 3-dimensional Euclidean space are studied first, and then the conditions under which the Darboux lines are preserved when pass ing from S to a surface S' parallel to S are obtained. Finally, surfaces whose Darboux lines correspond to the Darboux lines on their inverses are examined. Let S be a real surface of class C4 in Euclidean 3-space with vector equation x = x(u, v) and let C be a line on S. C is said to be a Darboux line if the relation V=^+(Pn-Pn)p9=0 (1) holds all along C, where V is the Darboux's direction function and Pni Pgi Tg and s are, respectively, the normal cuvature, the geodesic curvature, the geodesic torsion and the arc-length of C, pn being the normal curvature of the orthogonal trajectories of C. Let C make the angles 7* and 7** (7* + 7** = S) with the para metric lines v = const, and u = const, respectively. With the aid of the generalised Euler, Ossian-Bonnet and Liouville formulae which are, respectively, given by pn = {r*Cos7*Sin7** + r**Sin7*Cos7** + (t* - t**)Sin7*Sin7**} /Sin 6 Tg = {fCos7*Sin7** + t**Sin7'”Cos7** + (r** - r*)Sin7*Sin7**} /Sin 5 Pg = {(9* + 7i*)Sin7** + (g** - 7Î* )Sin7*} /Sin 6 and taking into account that pn = [r*Sin7*Cos7** + r**Cos7*Sin7** - (t* - t**)Cos7*Cos7H /Sin 6, dr. 9 _ ds = [(ra)1Sin7** + (rg)2Sin7*]/Sini, V2), (Pi, D3) of the 3-net formed by the vector fields of the Darboux lines of S are considered and it is assumed that the nets (2?lt P2), (2?i, Vz) are, respectively, a Tschebycheff and a semi-Tschebycheff net. VIIf the two families of the curves belonging to the net (2>i, V-i) are taken as the parametric lines v = const., u = const., respectively, one obtains tj + [(r* - r**) + (f - OCotg*]g' = 0 i, X>2), (2?i, T>z) are, respectively, Tschebycheff and semi-TschebychefF, one gets where (pg)v is the geodesic curvature of the integral curves of the vector field £>3 given by (P.)vn = W + 7i* )Sm7** + (g** - 72**)Sm7*} /Sin 6 and ds = (7l* Sin7** + 7*Sin7*)/Sin 8. These conditions lead us to the following theorem: Theorem. The only surface on which the nets (V\, D2) and (T>i, Vz) are, respectively, Tschebycheff and semi-Tschebycheff, is a cylin der of revolution. The third chapter is devoted to the study of Tschebycheff 2-nets and semi-Tschebycheff nets on parallel and inverse surfaces. In this connec tion, the following results are obtained: Theorem. Let S' be a surface parallel to 5 and suppose that S is neither a sphere nor a developable surface. If the Darboux lines of 5 and 5“' correspond to each other, then 5 is a surface of constant mean curvature. In the case S is a developable surface, the Darboux lines of 5 and S' do correspond. Theorem. A surface of constant mean curvature on which the two families of Darboux lines form a Tschebycheff 2-net is a cylinder of rev olution. If the lines of curvature of S are taken as parametric curves, then the differential equation of Darboux lines becomes -fuG2{dvf + (r”- 2rv)EG(dvfdu + (2r“ - ru)EGdv(du)2 + rvE2(duf = 0, viiwhere r and f are the principal curvatures of S. By using this equation and remembering that the lines of curvature on S and S correspond to each other, the differential equation of the Darboux lines of the inverse surface S is obtained in the form ~RuG2{dvf + (Rv - 2Rv)EG{dvfdu + (2RU- Ru)EGdv(duf + RvE2{duf =0, where R, R are the principal curvatures of S which are given by R=-ğt(rx2+2p), |x| = x and 2pu = -{x2)ur, 2pv = -{x2)vf. Here, x, C, p are, respectively, the position vector of 5*, the radius of inversion and the perpendicular distance, measured in the sense of the unit normal of S, from the centre of inversion to the tangent plane of 5* at the point considered. The Darboux lines of S and S will correspond to each other, if and only if, the conditions 2fu(a;2)”-(r“-2rt,)(x2)tt=0, ru(x2)v, = 0, fv(x2)v = 0 fu{x2)v + rv{x2)u = 0 (r”- 2r“)(a;2)tt - (z2)”(2fu - ru) = 0 2r“(x2)u + (2FU - ru)(x2)”= 0 are satisfied. JYom these relations the following results are derived. Theorem. If the Darboux lines of S (not a sphere) and those of its inverse S correspond to each other, then S belongs to one of the following two classes: 1. S is a Dupin's cyclide and the curves of the family r - f = const, are spherical curves 2. 5* is a pipe surface of revolution. viiiM Finally, Molure surfaces which include pipe surfaces as a special case and are characterised by the condition f\ = 0 are considered and the following conclusion is drawn: Theorem. If the two families of Darboux lines on a Molure sur face which are different from the lines of curvature, form two semi- Tschebycheff nets with the lines of curvature (= the third family of Dar boux lines), then such a Molure surface is either a surface of revolution or a pipe surface. IX
Benzer Tezler
- Üzerinde Darboux eğrilerinin eşlenil bir sistem oluşturduğu yüzeyler
The Surface on which the two families of Darboux lines form a conjugate system
MELTEM UYMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2002
MatematikMimar Sinan Güzel Sanatlar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. NEBİ ÖNDER
- 3-boyutlu minkowski uzayında darboux çatısına göre bazı ilişkili eğriler
Some associated curves according to darboux frame in minkowski 3-space
GHASSAN ALI MAHMOOD MAHMOOD
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikÇankırı Karatekin ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. UFUK ÖZTÜRK
- R31 minkowski 3-uzayında time like asal normalli space-like eğrilerin flenet ve darboux vektörleri
Başlık çevirisi yok
HÜSEYİN KOCAYİĞİT
Yüksek Lisans
Türkçe
1996
MatematikCelal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
Y.DOÇ.DR. H. HÜSEYİN UĞURLU
- Mannheim eğrilerinin özellikleri ve karakterizasyonlari
Propertıes and characterızatıons of Mannheım curves
YAŞAR CELAYİR
- New type directional curves of a curve in Minkowski 3-space
3-boyutlu Minkowski uzayda bir eğrinin yeni tip doğrultu eğrileri
SHAYMAA SHIHAB AHMED AL-OBAIDI
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
MatematikÇankırı Karatekin ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. UFUK ÖZTÜRK