Geri Dön

Genelleştirilmiş yamuk yöntemi kullanılarak artan fonksiyonun türevleri ile doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü

Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с производными по возрастающей функции с помощью обобщенного метода трапеций

PDF İndir

  1. Tez No: 692958
  2. Yazar: AKAK ŞADIKANOVA
  3. Danışmanlar: PROF. DR. AVIT ASANOV
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2021
  8. Dil: Kırgızca
  9. Üniversite: Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi
  10. Enstitü: Yurtdışı Enstitü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 90

Özet

Matematikte yaygın olarak kullanılan diferansiyel denklemler fizik, mekanik, ekonomi, biyoloji ve diğer çeşitli bilim alanlarında kullanılmaktadır. Birçok problemin matematiksel modeli diferansiyel denklemlere indirgenir. Diferansiyel denklemleri çözmek için çeşitli yöntemler önerilmiştir [23], [24]. Diferansiyel denklemlerin çözümünün bulunması çok zor ve bazen imkansız olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılır. Artan fonksiyona göre türev kavramı [1] makalesinde ele alınmıştır. Bu makaleye dayanarak, [3] ve [6] bilimsel çalışmalarda, Stieltjes integralini yaklaşık olarak hesaplamak için genelleştirilmiş yamuk yöntemi ve genelleştirilmiş orta nokta yöntemleri önerilmiştir. Avıt Asanov'un [2] çalışmasında artan fonksiyonun türevi kavramı yardımıyla, ikinci türüden Volterra-Stieltjes doğrusal ve doğrusal olmayan integral denklemleri incelenmiştir. [4] ve [7] makalelerinde, ikinci türden Volterra-Stiltjes lineer integral denklemlerinin yaklaşık çözüm problemi, genelleştirilmiş yamuk yöntemi ile araştırılmıştır. Ama ikinci türden doğrusal olmayan Volterra-Stiltjes integral denklemlerinin yaklaşık çözüm problemi, genelleştirilmiş yamuk yöntemi ile araştırılmamıştır. Volterra-Stieltjes integral denkleminin bir çözümü olduğu bilinse bile, bunu hesaplamak her zaman mümkün değildir. Bu nedenle, integralin yaklaşık hesaplama yöntemleri kullanılır. Stieltjes integralinin yaklaşık hesaplanmasında kullanılan genelleştirilmiş yamuk yöntemi [3], [19], ikinci türden Volterra-Stieltjes integral denklemine uygulanabilir [4], [7]. Volterra integral denkleminin çalışmasına adanmış birçok çalışmalar var [9]-[11]. Bununla birlikte, Volterra-Stieltjes integral denklemi, genel olarak konuşursak, her zaman Volterra integral denklemine indirgenmez ve Stieltjes integral denklemi her zaman Riemann veya Lebesgue integral denklemine indirgenmez [13]. Bu nedenle Volterra - Stieltjes integral denkleminin araştırılması özellikle ilgi çekicidir. Volterra-Stieltjes integral denklemleri, bilim ve teknolojinin birçok dallarında süreçleri tanımlamak, incelemek ve tahmin etmek için daha kullanışlı matematiksel modeller haline gelmektedir. Örneğin, Volterra-Stieltjes integral denklemler, optimal kontrol süreçlerinde [15], saçılma teorisinin ters problemlerinde [14], dürtü etkisi ile süreçlerin stabilitesini incelemek için matematiksel modelleme için [16] ve klasik ve kuantum sistemlerine kinetik denklemlerin dinamik teorisinde süreçlerde [17] kullanılır. İlk bölümde çalışmanın amacı, artan fonksiyona göre türev kavramı incelenmiştir. Artan fonksiyona göre fonksiyonun türevini alma yöntemleri ve bazı teoremler verilmiştir. Tanım 1: Fonsiyonun t ∈( t0, T) noktasında ϕ (t ) türevi denir, argümenin artması Δt → 0 yaklaşırsa, Δf (t ) artmasının Δϕ(t) artmasına olan oranın limiti denir (eğer bu limit varsa). f ′ (t ) = df (t ) = lim Δf (t ) = lim f (t + Δt ) − f (t ) . ϕ dϕ Δt →0 Δϕ (t ) Δt →0 ϕ (t + Δt ) −ϕ (t ) ϕ (t ) fonksiyonu [t0 ,T ] aralığında artan sürekli bir fonksiyon, f (t ) fonksiyonu [t0 ,T ] aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f (t ) fonksiyonu t ∈(t0 ,T ) noktasında ϕ (t ) foksiyona göre türevi varsa, bu durumda f (t ) foksiyonu o noktada ϕ (t ) foksiyona göre differensiyellenebilir denir. Eğer f (t ) fonksiyonu ϕ (t ) foksiyona göre, aralığın her noktasında differensiyellenebilir ise, f (t ) fonksiyonu ϕ (t ) fonksiyona göre (t0 ,T ) aralığında differensiyellenebilir denir. f (t ) fonksiyonu ϕ (t ) fonksiyona göre (t0 ,T ) aralığın her noktasında differensiyellenebilir olsun. O zama her t ∈(t0,T ) noktasına туура келген ошол чекиттеги fϕ′(t) туундусун алууга болот. Elde edilen fonksiyon ϕ (t ) fonksiyona göre türevi denir ve fϕ′ (t ) şeklinde belirlenir. Bu fonksiyon kendisi de ϕ (t ) foksiyona göre türeve sahip olması mümkündür. Bu durumda f (t ) fonksiyonu ϕ (t ) fonksiyona göre ikinci türevi denir ve aşağıdaki şekilde belirlenir: fϕ′(t) = ( fϕ′(t))ϕ′ . Bu şekilde üçüncü, dördüncü ve sonrski türevleri aşağıdaki gibidir: fϕ ′(t) = ( fϕ′(t))ϕ′ ,..., fϕ (n) (t) = ( fϕ (n−1) (t))ϕ′ (n) d n f (t) n f (t) = ϕ dϕ n = Dϕ f (t). (t) Teorem 1 (Genelleştirilmiş kısmi integrasyon kuralı): ϕ(t) fonksiyonu [t0 ,T ] aralığında artan sürekli bir fonksiyon, fϕ′(t) ve gϕ′ (t) fonksiyonları [t0 ,T ] aralığında sürekli foksiyonlar olsun. Bu durumda aşağıdaki formül f (t)g′ (t)dϕ(t) =  f (t) ( g(t) + c) T − T ( g(t) + c) f ′(t)dϕ(t), ∫ ϕ   t ∫ ϕ t0 t0 sağlanmaktadır. Burada c - herhangi bir sabittir [1]. Tanım 2: ϕ(t) fonksiyonu [t0 ,T ] kapalı aralığında artan sürekli bir fonksiyon, burada G = [t0,T ] (t0 < T < ∞) veya G = [t0,T ] (T ≤ ∞) . Aşağıda tanımlanan integral denklem t u(t) = ∫ K (t, s, u(s))dϕ(s) + f (t), t0 t ∈G, ikinci türden doğrusal olmayan Volterra-Stieltjes integral denklemi denir [2]. Burada K(t, s,u(s)) fonksiyonu G1 = {(t, s) : t0 ≤ s ≤ t ≤ T}× tanımlı sürekli bir fonksiyon, f (t ) fonksiyonu [t0 ,T ] aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon, ϕ(t) fonksiyonu [t0 ,T ] aranan foksiyon. aralığında artan ve sürekli bir fonksiyon. u(t) , [t0 ,T ] aralığında İkinci bölümde, genel probleme bir çözüm elde etmek için kullanılan integral denklemler verilmiştir. Genel anlamda integral denklem kavramı, sınıflandırılması ve türleri sunulmuştur. İkinci türden ve birinci birinci türden Volterra-Stıeltjes integral denklemlerinin kısa bir açıklaması verilmiştir Üçüncü bölümde, genelleştirilmiş yamuk yönteminin kullanımı verilmiştir. Genelleştirilmiş yamuk yönteminin Stieltjes integral denklemine ve ikinci türün Volterra- Stieltjes lineer integral denklemine uygulanması düşünülmüştür. Dördüncü bölümde, tezin ana amacı olan artan fonksiyonun türevleri ile doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemi incelenmiştir. Artan fonksiyonun türevleri ile doğrusal olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklem için Cauchy problemi ele alınmaktadır: uϕ′(t ) (t) = p(t)uϕ′ (t ) (t) + F (t, u(t)) + g(t), (t, u ) ∈[t0 ,T ]× (1) u(t0 ) = α , uϕ′ (t0 ) = β, ϕ (t0 ) = 0 . (2) Burada ϕ(t) foksiyonu [t0 ,T ] aralığında artan sürekli bir fonksiyon, g(t) ve p(t) fonksiyonları [t0 ,T ] kapalı aralığında sürekli fonksiyonlar, F(t,u(t)) sürekli bir fonksiyon. u(t) ise [t0 ,T ] kapalı aralığında aranan fonksiyondur. (1)-(2) Cauchy problemi aşağıdaki gibi ikinci türden doğrusal olmayan Volterra-Stieltjes integral denkleme indirgenir. t t u(t) = ∫ p(s)u(s)dϕ(s) +∫[ϕ(t) −ϕ(s)]F (s, u(s)) − pϕ′ (s)u(s) dϕ(s) + f (t), (3) t0 t0 Burada t f (t) = [β −α p(t0 )]ϕ(t) + α + ∫[ϕ(t) −ϕ(s)]g(s)dϕ(s). t0 Bu (3) integral denklemin çözümü genelleştirilmiş yamuk yöntemi kullanılarak araştırılmaktadır. Bir örnek önerilen yöntem kullanılarak çözülür

Özet (Çeviri)

Дифференциальные уравнения, которые имеют широкое применение в математике, в физике, в механике, в экономике, в биологии и других различных областях науки. Математическая модель многих задач сводится к дифференциальным уравнениям. Различные методы были предложены для решения дифференциальных уравнений [23], [24]. Бывают случаи, когда решение дифференциальных уравнений очень сложно найти, а иногда и невозможно. В таких случаях используются методы приближенного решение. В данной диссертационной работе исследована проблема приближенное решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с производной по возрастающей функции с помошью обобщенного метода трапеций. Данная задача Коши сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерры-Стильеса второго рода. Один пример решается с использованием предложенного метода. Ключевые слова: Производная по возрастающей функции, нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, интегральное уравнение Вольтерра-Стилтьеса, обобщенный метод трапеций

Benzer Tezler

  1. Tez No

    78237

    Lineer anahtar modeli kullanılarak güç elektroniği devrelerinin zaman-domeni analizi

    Time-Domain analysis of power electronic circuits using linear switch model

    ALİ BEKİR YILDIZ

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1998

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiKocaeli Üniversitesi

    Elektrik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. NURETTİN ABUT

  2. Tez No

    723930

    Controller design methodologies for fractional order system models

    Kesirli mertebe sistem modelleri için kontrolör tasarım yöntemleri

    ERHAN YUMUK

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik Üniversitesi

    Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA

  3. Tez No

    887341

    Bulanık doğrusal programlama ile feldspat karışım optimizasyonu

    Feldspat blending optimization with fuzzy linear programming

    İREM ÇELEBİ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ÖZGÜR KABAK

  4. Tez No

    112250

    Development a new fuzzy multiple attribute decision making approach and its application to decision making in ship design and shipbuilding

    Yeni bir bulanık çok öz-nitelikli karar verme tekniğinin geliştirilmesi ve gemi inşaatı ve dizaynı karar verme problemlerine uygulanması

    AYKUT İBRAHİM ÖLÇER

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2001

    Mimarlıkİstanbul Teknik Üniversitesi

    PROF. DR. A. YÜCEL ODABAŞI

  5. Tez No

    334844

    Fuzzy sayılarının sıralanmasında ağırlık merkezi yöntemlerinin karşılaştırmalı analizi

    The comparative analysis of centroid methods in ranking fuzzy numbers

    AYLİN ELMALI

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2013

    MatematikAnadolu Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. HANDAN AKYAR

Geri Dön