Geri Dön

Exponential asymptotics: Multi-level asymptotics of model problems

Üstel asimptotik: Model problemlerin çoklu-seviyeli asimptotik analizi

  1. Tez No: 712829
  2. Yazar: FATİH SAY
  3. Danışmanlar: PROF. DR. JOHN R KING, PROF. DR. PAUL C MATTHEWS
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2016
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: The University of Nottingham
  10. Enstitü: Yurtdışı Enstitü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 278

Özet

Iraksak serilerin yorumlanmasıyla ilgilenen üstel asimptotik, matematikte oldukça güncel bir alandır. Üstel olarak küçük miktarlar uygulamalarda sıklıkla ortaya çıkar ve bu küçük üstel terimler, cebirsel sıralı terimlerin arkasına gizlendikleri için Poincare'nin asimptotik genişleme tanımı ne yazık ki bu tür küçük üstellerin önemini vurgulayamaz. Bu tezde, serisel genişlemelerin kesilmesiyle kalanlar incelenerek yeni bir hiperasimptotik genişleme yöntemi tanıtılmıştır. Bu yöntem iki farklı konsept ile incelenmiştir. İlk olarak, serisel genişlemenin tekil noktaları ve asimptotik sonlu terimleri bulunmuş ve bu terimlerin en düşük değeri aldığı noktada serisel genişleme kesilerek kalanın üstel olarak küçük olup olmadığı gözlemlenmiştir. Kesilmiş kalanın orijinal diferansiyel denklemde yerine yazılması ile homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde edilmiştir. Kalan fonksiyonunun asimptotik bir kuvvet serisi olarak genişletilmesi ve ardından bu kuvvet serisinin kesilmesi bizi üstel olarak daha küçük olan yeni bir kalana ulaştırmıştır. Bu nedenle, ilgili hata tahmini daha da küçülüp serisel genişlemenin sayısal kesinliği artmıştır. Kesilmiş kalanların bu yeniden açılım sürecini sistematik olarak tekrarlamak, serisel genişlemelerin yaklaşık çözümünün doğruluğunu üstel olarak artırmış ve göz ardı edilen terimler, yani hata tahmini, en aza indirgenmiştir. İkinci olarak, sıfırıncı ve birinci seviyedeki kesme noktalarının bir fonksiyonu olan birinci seviye hata fonksiyonunu oluştururken, ilgili diferansiyel denklemin asimptotik davranışı kesme noktaları cinsinden incelenmiş ve bu kesme noktalarının birlikte değişmesine izin verilmiştir. Hata tahminini bir önceki seviye kesme noktasının bir fonksiyonu olarak yazmak ve terimlerin sayısını değiştirmek hatayı önemli ölçüde azaltmıştır. Ayrıca, genişleme(ler)in tekilliklerinden ortaya çıkan Stokes doğruları ve bu doğrular boyunca alt baskın üstel terimlerin ortaya çıkıp çıkmama davranışları gösterilmiştir. Bu tezin önemli bir sonucu, genişlemelerin daha yüksek seviyeleri, önceki aşamaların kesme noktaları açısından düşünüldüğünde hata tahmininin en aza indirilmesidir. Bu, tezde sağlanan çeşitli diferansiyel denklemlerle gösterilmiştir.

Özet (Çeviri)

Exponential asymptotics, which deals with the interpretation of divergent series, is a highly topical field in mathematics. Exponentially small quantities frequently arise in applications, and Poincare's definition of an asymptotic expansion, unfortunately, fails to emphasise the importance of such small exponentials, as they are hidden behind the algebraic order terms. In this thesis, we introduce a new method of hyperasymptotic expansion by inspecting resultant remainders of series. We study the method from two different concepts. First, deriving the singularities and the late order terms, where we truncate expansions at the least value and observe if the remainder is exponentially small. Substitution of the truncated remainder into original differential equation generates an inhomogeneous differential equation for the remainders. We expand the remainder as an asymptotic power series, and then the truncation leads to a new remainder which is exponentially smaller whence the related error estimate gets smaller, so that the numerical precision increases. Systematically repeating this process of re- expansions of the truncated remainders derives the exponential improvement in the approximate solution of the expansions and minimises the ignored terms, i.e., error estimate. Second, in establishing the level one error, which is a function of level zero and level one truncation points, we study asymptotic behaviour in terms of the truncation points and allow them to vary. Writing the estimate as a function of the preceding level truncation point and varying the number of the terms decreases the error dramatically. We also discuss the Stokes lines originating from the singularities of the expansion(s) and the switching on and off behaviour of the subdominant exponentials across these lines. A key result of this thesis is that when the higher levels of the expansions are considered in terms of the truncation points of preceding stages, the error estimate is minimised. This is demonstrated via several differential equations provided in the thesis.

Benzer Tezler

  1. Geliştirilmiş SPEA2 ile envanter probleminin çözümü

    Inventory optimization with a novel SPEA2 algorithm

    ALİ BAYRAKDAR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2020

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Aydın Üniversitesi

    Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. ILHAM HUSEYINOV

  2. Durağan olmayan kanallarda uyarlamalı hata kontrol yöntemleri

    Adaptive coding schemes for time-varying channels

    ERSİN ERGEZER

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1994

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    DOÇ.DR. H. ÜMİT AYGÖLÜ

  3. Analysis of convergent integral equation methods for high-frequency scattering

    Yüksek frekanslı saçılmalar için yakınsak integral denklem metodlarının analizi

    SAMET KESERCİ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2012

    MatematikBoğaziçi Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. FATİH ECEVİT

  4. Error resilient stereoscopic video streaming using model-based fountain codes

    Model tabanlı fountaın kodları kullanarak hataya dayanıklı stereo video akıtımı

    A. SERDAR TAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2009

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü

    PROF. DR. ERDAL ARIKAN

  5. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünün analitik yöntemleri

    Analytical methods of solution of partial differential equations

    VEHBİ AKKAYA

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2000

    MatematikMarmara Üniversitesi

    Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. DURSUN ÜSTÜNDAĞ