Modelling and analysis of gyroscopic effects in undamped rotating systems
Dönen sönümsüz sistemlerde jiroskopik etkilerin modellenmesi ve analizi
- Tez No: 803703
- Danışmanlar: PROF. DR. KENAN YÜCE ŞANLITÜRK, PROF. DR. HASAN KÖRÜK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Makine Mühendisliği, Mechanical Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Makine Dinamiği, Titreşimi ve Akustiği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 151
Özet
Jiroskopik etkiler, sistemlerde dönüşten meydana gelen bir fenomen olarak, kendine has oluşum mekanizması ve sistemlerin dinamiğinde meydana getirdiği karmaşık sonuçlar sebebiyle rotor dinamiği alanında üzerinde durulan konulardan biri olmuştur. Jiroskopik etkilerin modellenmesinde ve analizinde sonlu elemanlar yöntemi ise sıklıkla kullanılan etkili bir yöntemdir. Sonlu elemanlar yöntemiyle, dönen sonlu elemanların matematik modelleri oluşturulur ve bu elemanlar dönen sistemlerin ayrıklaştırılmasında kullanılır. Literatürde, kompleks geometriye sahip dönen yapılar katı ve kabuk elemanlar kullanılarak ayrıklaştırılırken, esnek şaft-rijit disk veya tekil kanatçık gibi çok daha basit yapılar için ise kiriş elemanlar tercih edilmektedir. Katı ve kabuk elemanlarla modelleme, kompleks yapılar için oldukça doğru sonuçlar sunsa da bunun karşılığında modelleme ve hesaplama adımlarında oldukça fazla emek ve zaman gerektirmektedir. Ayrıca bu işlemleri gerçekleştirecek bilgisayarların da hafıza bakımından yeterli kapasiteye sahip olmaları gerektiği aşikardır. Buna karşın kiriş elemanlı modelleme, görece daha az serbestlik derecesiyle basitleştirilmiş dönen sistemleri modelleme imkanı sunması sayesinde rotor dinamiği analizlerinde azımsanamaz kolaylıklar sağlamaktadır. Bu basitleştirilmiş modeller kullanılarak dönen esnek yapılar tarafından üretilen jiroskopik etkilerin rotorun dinamiğinde meydana getirdiği sonuçları incemek mümkündür. Bu tez çalışmasında, literatürde sıklıkla incelenen esnek şaft-disk-kanatçık sistemlerinde jiroskopik etkilerin sonlu kiriş elemanlar kullanılarak modellenmesi ve analizi hedeflenmiştir. Bu amaç doğrultusunda, geleneksel kiriş elemanlı şaft ve kanatçık modellerinin sunulmasının yanı sıra, esnek bir diskin kiriş elemanlar kullanılarak bir örümcek ağı yapısında modellenmesi önerilmiştir. Bu sayede, tamamen esnek olan döner bir şaft-disk-kanatçık sisteminin jiroskopik etkiler altındaki dinamik davranışının görece daha az serbestlik derecesiyle incelenmesi sağlanmıştır. Bu incelemenin yanında esnek disk ve kanatçıkların da rotorun dinamiğindeki rolü gözler önüne serilmiştir. Ayrıca, ilgili bazı popüler bilgisayar programlarının, dönen kiriş elemanların jiroskopik etkilerini modelleme kabiliyetlerindeki kısıtlar göz önüne alındığında, çalışma boyunca sunulacak modellerle bu altyapının da geliştirilmesi amaçlanmıştır. Çalışma içerisinde sunulan kapsamlı bir literatür taramasıyla, rotor dinamiği alanının yıllar boyunca gelişimi özetlenmiş ve modern çalışmaların dönen sistemlerin dinamiğindeki odak noktaları ve çözüme ulaşmak için uyguladıkları yöntemler aktarılmıştır. Bunun yanı sıra, rotor dinamiği alanında jiroskopik etkilerin ve sonlu elemanlar yönteminin yeri ve önemi de vurgulanmıştır. Çalışmada öncelikle jiroskopik etkilerin oluşumu açıklanmıştır. Jiroskopik etkiler, sabit koordinat sisteminde jiroskopik momentlerin bir sonucu olarak meydana gelmektedirler. Dönen koordinat sisteminde ise jiroskopik etkiler Coriolis kuvvetlerinin oluşumundan meydana gelmektedir. Literatürdeki birçok kaynak, sistemleri yalnızca tek bir referans koordinat sisteminde ele almışlardır. Bu sebeple jiroskopik momentler ve Coriolis kuvvetleri arasındaki ilişkiden rotor dinamiği literatüründe pek de bahsedilmediği kanısına varılmıştır. Bu çalışmada, Coriolis ivmesi üzerinden, jiroskopik momentlerin ve Coriolis kuvvetlerinin oluşum mekanizmaları türetilerek bu iki fenomenin birbiriyle olan ilişkisi açıklığa kavuşturulmuştur. Böylece, ele alınan sistemlerin dinamik davranışlarının her iki referans koordinat sisteminde daha anlamlı bir şekilde incelenebilmesi hedeflenmiştir. Jiroskopik etkilerin dönen sistemlerin analizinde hesaba katılması, meydana getirdiği sonuçlar sebebiyle büyük önem arz etmektedir. Bu önemli sonuçlarından biri jiroskopik etkinin doğrudan rotorun dönüş hızına bağlı olmasıdır. Artan dönüş hızıyla daha etkin hale gelen jiroskopik etki, sistemlerin bazı modlarının frekanslarını çok belirgin şekilde değiştirebilmektedir. Dolayısıyla sistemlerin dinamiği de dönüş hızına bağlı olmaktadır ve çeşitli dönüş hızlarında analizlerin gerçekleştirilmesi zorunlu hale gelmektedir. Bu çalışmada dönen sistemlerin doğal frekanslarını dönüş hızının bir fonksiyonu olarak inceleyebilmek için Campbell diyagramları kullanılmıştır. Jiroskopik etkiler yalnızca sistemin doğal frekanslarını değil aynı zamanda mod şekillerini de etkilemektedir. Döner bir sistemin mod şekilleri jiroskopik etkiyle birlikte kompleks hale gelir. Bu kompleks mod şekilleri şaftın dolanım (whirl) hareketi yapması olarak kendini gösterirken, disk üzerinde hareket eden dalgalar olarak belirir. Dönen sistemlerde jiroskopik etkinin modellenmesi için kullanılan sonlu kiriş elemanlar, Timoshenko kiriş teorisi kapsamında ele alınmıştır. Öncelikle 8 serbestlik dereceli Timoshenko kiriş elemanlarıyla esnek bir şaft modellenerek literatürde uzun süredir var olan bir model olan esnek şaft-rijit disk sistemi oluşturulmuştur. Bu sistem sabit koordinat sisteminde incelenmiş ve dolayısıyla şaftın ve rijit diskin oluşturduğu jiroskopik momentler modele dahil edilmiştir. Daha sonrasında ise 12 serbestlik dereceli sonlu kiriş eleman sunularak daha gelişmiş bir model olan esnek şaft-disk-kanatçık sisteminin elemanları modellenmiştir. Bu sistemin dönüş ekseni etrafında eksenel simetriye sahip olmaması sebebiyle tüm elemanlar dönen referans sisteminde ele alınmışlardır. Dolayısıyla bu modelde elemanların meydana getirdiği jiroskopik etkiler, Coriolis kuvvetlerinin oluşumu üzerinden modele dahil edilmiştir. Kiriş elemanlardan oluşan şaftın ve kanatçığın dönüş eksenine göre oryantasyonlarının farklı olması sebebiyle bu iki elemanı oluşturan kiriş elemanların jiroskopi ve dönüş kaynaklı esnekleşme matrisleri birbirlerinden farklılık göstermektedir. Diskin de esnekliğini modellere dahil edebilmek üzere örümcek ağı şeklinde ve tamamen kiriş elemanlardan oluşan bir yapı önerilmiştir. Bu disk radyal ve bağlantı elemanları olarak isimlendirilen iki tip elemandan oluşmaktadır. Her iki tip elemanın modelinde de kanatçıklarla aynı matematik model kullanılmaktadır. Son olarak da izoparametrik 8 düğüm noktalı lineer bir katı eleman tanıtılmış ve ilgili matrislerinin türetilmesinden bahsedilmiştir. Geliştirilen kabiliyetlerle öncelikle rotor dinamiğindeki en temel sistemlerden biri olan esnek şaft-rijit disk sisteminin dinamik davranışı analiz edilmiştir. Belirli dönüş hızlarında gerçekleştirilen analizlerle birlikte bir Campbell diyagramı oluşturulmuş ve çeşitli şaft eğilme modlarının artan hızla birlikte sabit koordinat sistemindeki doğal frekanslarının değişimi gözlemlenmiştir. Diyagram incelendiğinde artan eğilme modlarıyla birlikte jiroskopik etki kaynaklı frekans ayrılmalarının daha da arttığı tespit edilmiştir. Bunun yanında, böyle bir modelde rijit disk, ataletsel özellikleri sebebiyle,şafta kıyasla daha belirgin jiroskopik etkiler meydana getirebilmektedir. Aynı zamanda diskin konumu da bazı modların jiroskopik etkiden daha fazla etkilenmesine sebep olmaktadır. Bu durum, çalışma içerisinde bazı mod şekillerinin sunulmasıyla incelenmiştir. Frekansların artan hızla birlikte oldukça lineer bir şekilde değişmesi ve modlar arasında hiçbir etkileşimin tespit edilmemiş olması, rijit disk varsayımının oldukça basitleştirilmiş bir sistem meydana getirdiğini ortaya koymaktadır. Bu varsayım bazı sistemlerde oldukça isabetli sonuçlar verse de kimi mühendislik uygulamalarında kullanılan daha esnek ve hafif disklerin dinamik davranışlarını ve esnek şaft-esnek disk etkileşimlerini modellemekte yetersiz kalabilmektedir. Esnek bir diskin dönen bir sistemin dinamiğindeki rolünü anlamak için bu tezde önerilen örümcek ağı yapısındaki esnek disk kullanılmıştır. Önceki modeldeki rijit diskle aynı kütleye ve geometrik özelliklere sahip bir esnek disk oluşturularak ataletsel özellikleri denkleştirilmiştir. Tamamen kiriş elemanlardan oluşan esnek şaft-esnek disk sistemi belirli dönüş hızlarında analiz edilmiş ve bir Campbell diyagramı dönen koordinat sisteminde elde edilmiştir. Diskin de esnek olarak ele alınmasıyla artık modlar yalnızca şaft eğilme modları olmaktan çıkmış, yalın disk modları ve şaft-disk modları da gözlemlenir hale gelmiştir. Doğal frekanslar incelendiğinde, dönen koordinat sisteminde, şaftın belirgin titreşimler gerçekleştirdiği modlarda jiroskopik etki de belirginken, diskin baskın olduğu modlarda jiroskopik etki daha zayıf görülmüştür. Dönen koordinat sisteminde bu durumun Coriolis kuvvetlerinin oluşum mekanizmasıyla tutarlılık içinde olduğu görülmüştür. Problemin sonuçlarını bir de sabit koordinat sisteminde incelemek için bir transformasyon gerçekleştirilmiş ve jiroskopik moment kaynaklı jiroskopik etkiler bu referans çerçevesinde kısaca tekrar analiz edilmiştir. Diskin esnek hale gelmesiyle birlikte modlar arasında etkileşimler de meydana gelmiştir. Literatürde sapma (veering) ismiyle anılan fenomen, etkileşime giren modlar arasında mod şekillerinin takas edilmesine ve doğal frekansların artış/azalış trendinin radikal biçimde değişmesine sebep olmaktadır. Örümcek ağı yapısındaki esnek disk, jiroskopik etkinin yanı sıra, rotor dinamiğinde karşılaşılan böylesine karmaşık bir fenomeni de modelleyebilme kabiliyeti göstermiştir. Dönen sistemlerin en önemli elemanlarından biri olan kanatçıklar, önceki sisteme eklenerek tamamen sonlu kiriş elemanlardan oluşan esnek bir şaft-disk-kanatçık sistemi elde edilmiştir. Genellikle, uygulamalarda radyal olarak konumlandırılan kanatçıklar, jiroskopik etkiyi daha da belirgin hale getirmek amacıyla diske dik olarak yerleştirilmişlerdir. Tekrardan belirli hızlarda özdeğer problemi çözümlenmiş ve sistemin çeşitli modlarının frekanslarının değişen hızla birlikte değişimini gösteren Campbell diyagramı dönen koordinat sisteminde elde edilmiştir. Kanatçıkların da eklenmesiyle birlikte sistemin dinamik davranışının çok daha karmaşık hale geldiği görülmüştür. Esnek şaftın ve diskin rotorun dinamiği üzerindeki etkilerine ek olarak, kanatçıkların varlığı dönen koordinat sistemindeki dönüş kaynaklı esnekleşme (spin softening) etkilerini çok daha baskın hale getirmiştir. Bu durum kanatçıkların baskın olduğu modlarda, modların doğal frekanslarının artan hızla birlikte belirgin bir şekilde düşmesiyle kendini göstermektedir. Esnek kanatçıkların dahil edilmesiyle çok daha karmaşık hale gelen sistemin dinamiğinde, modlar arasındaki etkileşimlerin tespiti oldukça zorlaşmıştır. Bunun için her bir mod şekli dikkatle incelenmiş ve artan dönüş hızıyla birlikte doğal frekansların değişimi takip edilmiştir. Bu analizler sonucunda da çeşitli modlar arasında sapma etkileşimlerin varlığı belirlenmiştir. Buna ek olarak, tez kapsamında incelenen tüm sönüm yok sayılmasına rağmen, bu dönen sistemde, belirli bir hız aralığında bir instabilite bölgesi tespit edilmiştir. Bu instabilite tipinde etkileşime giren iki modun, instabilite bölgesinde aynı doğal frekanslara ve mod şekillerine sahip oldukları görülmüştür. Sistemin dönüş hızı bu instabilite bölgesinin dışına çıktığında ise modlar tekrardan birbirlerinden ayrı hale gelmişlerdir. Esnek diskin düğüm çizgisi sayısı birden büyük olan modlarının esnek şaftın modlarıyla birleşmemesi, bu modlarda şaftın belirgin bir rolü olmadığını göstermektedir. Bu bilgiye dayanarak, kanatçıklı diski şafttan ayrı ele alıp dinamiği ayrıca analiz edilmiştir. Bu model, jiroskopik etkinin neden olduğu hareket eden dalganın davranışının incelenmesinde kullanılmıştır. Disk üzerindeki düğüm noktalarının bir titreşim periyodundaki titreşim şekilleri incelenerek hareket eden dalganın yön tespiti yapılmış ve modun ileri veya geri mod olduğuna karar verilmiştir. Son olarak, çalışma içerisinde sunulan katı eleman modeliyle benzer bir kanatçıklı disk modeli oluşturularak, katı elemanlı ve kiriş elemanlı modellerin dinamik davranışlarının birbirleriyle olan benzerlikleri irdelenmiştir. Yapılan karşılaştırma, her iki modelin de jiroskopik etkileri ve dönen kanatçıklı disklerin dinamik davranışlarını modelleme hususunda oldukça benzer sonuçlar verdiğini göstermiştir. Bu çalışma dönen sistemlerde jiroskopik etkilerin karmaşık ve ilginç doğasını, sonlu elemanlar yaklaşımı temel alınmış çeşitli modellerle incelemiştir. Çalışma içerisinde, dönen sistemlerde jiroskopik etkilere sebep olan jiroskopik momentlerin ve Coriolis kuvvetlerinin oluşum mekanizması sunulmuştur. Bunun yanında, bu ikisi arasındaki ilişki de açıklanarak, elde edilen sonuçların sabit ve dönen koordinat sistemlerinde anlamlı bir şekilde incelenebilmesi sağlanmıştır. Örümcek ağı yapısındaki bir disk modeli teklif edilerek tamamen kiriş elemanlardan oluşan basitleştirilmiş bir esnek şaft-disk-kanatçık sistemi oluşturulmuştur. Bu model sayesinde, çok daha az emek ve zaman harcanarak jiroskopik etkinin dönen sistemler üzerinde meydana getirdiği karmaşık sonuçların incelenebilmesi sağlanmıştır. Çalışmadan elde edilen sonuçlar, teklif edilen modelin, dönen sistemlerin dinamiğini modellemede ve jiroskopik etkininin sonuçlarının incelenebilmesini sağlamada oldukça kabiliyetli olduğunu göstermiştir.
Özet (Çeviri)
The gyroscopic effect has always been an interesting phenomenon in the field of rotor dynamics owing to its unique and complicated results on the dynamics of rotating systems. The finite element method is commonly used in this field to model and analyse this effect. This method is based on developing discrete mathematical models of rotating finite elements and using them to discretise rotating structures. Structures with complex geometries are usually discretised using finite solid or shell elements while simpler systems composing of flexible shaft and rigid discs or isolated blades are discretised using finite beam elements. Despite the accuracy provided by solid/shell elements for complex structures, the requirement of significant modelling and computational effort becomes a drawback for this modelling technique. On the contrary, for simpler structures, beam elements provide satisfactorily accurate results with relatively less effort put into the modelling and computation stages. Using these relatively simpler models, the gyroscopic effects generated by the flexible rotating structures can be modelled and the outcomes of this phenomenon on the dynamics of a rotor can be investigated effectively. In this thesis, it is aimed to include the gyroscopic effects in the models of rotating flexible shaft-disc-blade systems and analyse the results using finite beam elements. Besides the conventional beam element model of rotating shafts and blades, a flexible disc structure in the form of a so-called spiderweb is proposed. By doing so, a fully flexible rotating shaft-disc-blade system's dynamics under the gyroscopic influence is examined with relatively less degrees of freedom. Moreover, the effects of disc and blade flexibility on the dynamics are discussed using the proposed disc model. Considering the lack of capabilities of some popular computer programs for modelling the gyroscopic effects of rotating beam elements, it is also aimed to contribute to this field with the models presented throughout this thesis. A comprehensive literature survey summarises the development of the rotor dynamics field over the years and reveals modern studies' focal points in the dynamics of rotating systems and the methods they employ. Furthermore, the place and the importance of the gyroscopic effects and finite element method in the literature is emphasised. The gyroscopic effect is caused by the gyroscopic moments in stationary reference frame, or the Coriolis forces in rotating reference frame. Although at first glance they seem different, they are directly related to each other over the Coriolis acceleration. It is noticed that the relation between these two cases is not sufficiently explained in the the rotor dynamics literature, therefore, the generation of the gyroscopic moments and the Coriolis forces, as well as the relation between these two is explained and clarified in some detail in the second chapter of the thesis. The gyroscopic effect's distinctive feature is its ability to generate complicated results on the dynamic behaviour of rotating objects. The gyroscopic effect is a speeddependent phenomenon and causes the system's dynamics to change with changing rotational speed. This leads to the natural frequencies of the system to become speeddependent as well. Some mode shapes, can also be highly influenced by the gyroscopic effects. Therefore, the gyroscopic effects necessitate to carry out the analyses at a range of rotational speeds. The gyroscopic effect introduces complexity to the mode shapes of rotating systems, which in return manifests itself as whirling motion of shafts and occurrence of travelling waves on discs. With these radical changes in the dynamics of rotors, the gyroscopic effect is accepted to be crucial to be accounted for in modelling and analysis of rotating structures. In the modelling stage, first, the conventionel model of flexible shaft-rigid disc system is presented. The flexible shaft is discretised using Timoshenko beam elements with 8 degrees of freedom. The dynamics of these elements, as well as the rigid disc's, are expressed in stationary reference frame while taking the gyroscopic effects caused by the gyroscopic moments into account. Later, a more general Timoshenko beam element with 12 degrees of freedom is presented. This element is used to discretise flexible shaft-disc-blade system. Due to the nonaxissymmetric geometry of the system, the modelling is carried out in rotating reference frame. Therefore, the gyroscopic effect is taken into account by modelling the Coriolis forces. Owing to the orientation difference between a shaft and a blade with respect to the axis of rotation, separate beam element models are presented and used for modelling shafts and blades. Although the formulation of structural stiffness and mass matrices are the same, the gyroscopic and spin softening matrices differ between the shaft and the blade elements. In order to account for the disc flexibility, a special disc model in the form of a socalled spiderweb is presented. This structure is composed of radial and connecting elements, both of which use the same mathematical model with the blade elements. Finally, an 8-noded isoparametric hexahedral solid element and the derivation of its matrices are presented. With the models developed, a flexibe shaft-rigid disc system's dynamics is analysed first. The free vibration problem of the system is solved at different rotational speeds, and the natural frequencies and mode shapes are predicted. The gyroscopic effect is observed to vary with the order of the shaft's bending vibrations. As expected, depending on the location of the disc on the shaft, some modes experience strong gyroscopic effect generated by the disc. It is seen that the natural frequencies split almost linearly with increasing rotational speed, and there, naturally, occurs no shaftdisc interactions because of the disc's rigidity. With the intention to investigate the gyroscopic effects in rotors, flexible shaft-flexible disc system, flexible shaft-disc-blade system and flexible bladed disc systems are also analysed. In these models, the so-called spiderweb disc is used to model a flexible disc, and the blades are intentionally oriented perpendicular to the disc in order to enchance the gyroscopic coupling in rotating reference frame. The natural frequencies in rotating reference frame and the mode shapes of the systems are predicted at different rotational speeds. Accordingly, Campbell diagrams are utilised to present the natural frequencies as a function of rotational speed. When the blades are attached, it is seen that the system dynamics gets tremendously complicated. The complex mode shapes of the shaft and the disc are presented by visualising the vibration patterns of the nodes on the bodies in various modes. It is seen that the spiderweb disc is capable of exhibiting the occurance of travelling waves on the disc. Taking the disc's flexibility into account is found to be essential in order to be able to predict shaft-disc interactions and the so-called veering phenomenon in several mode shapes of different systems. Moreover, with the proposed model, a merging type of instability is predicted in a flexible shaft-disc-blade system. Following the analyses of rotor models using beam finite elements, a solid bladed disc model is developed using 8-noded solid elements. The results of this model are used to predict how a solid bladed disc system behaves under the rotational effects. Then, the results are compared with those corresponding to previous systems modelled using beam elements. It is found that both types of models yield quite similar results in terms of the frequency splits caused by the gyroscopic effect, spin softening effect in blade dominated modes and the occurance of travelling waves on the disc. This thesis investigated the complicated and interesing nature of the gyroscopic effects in rotating systems using various models based on the finite element approach. Besides the gyroscopic effect's generation mechanism, the relationship between the gyroscopic moments in stationary reference frame and the Coriolis forces in rotating reference frame are explained in some detail. By proposing a spiderweb disc structure discretised using finite beam elements, a cost-effective model of flexible shaft-disc-blade system is obtained. It is concluded that this system can provide accurate results and insight into the dynamics of rotating simplified shaft-disc-blade systems which can be highly influenced by rotational effects such as the gyroscopic effects.
Benzer Tezler
- Burun iniş takımı sisteminde shimmy davranışının modellenmesi, analizi, testi ve kontrolü
Modelling, analysis, test, and control of the shimmy behavior in nose landing gear system
SENA KOÇAK
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
Havacılık Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ALİ FUAT ERGENÇ
- Analysis and modelling of machine tool dynamics and cutting stability during operation
Operasyon sırasındaki tezgah takım dinamiğinin ve kesme kararlılığının analizi ve modellenmesi
ORKUN ÖZŞAHİN
Doktora
İngilizce
2014
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN NEVZAT ÖZGÜVEN
PROF. DR. ERHAN BUDAK
- Dynamic modelling in micromachining
Mikro üretimde dinamik modelleme
EMRE ERSOY YILMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2015
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN NEVZAT ÖZGÜVEN
PROF. DR. ERHAN BUDAK
- Analytical modeling and stability anaylsis of spindle-holder-tool assembly by using spinning and non-spinning Timoshenko beam theories
Dönen ve dönmeyen Timoshenko kiriş teorilerini kullanarak mil, tutucu ve uç takımının analitik modellenmesi ve kararlılık analizi
HASAN YILMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ENDER CİĞEROĞLU
- Termaller ve cumuluslerde meteorolojik parametrelerin ölçülmesi, analizi ve konvektif yapının modellenmesi
Measurements and analysis of the meteorological parameters in thermals and cumulus clouds and modelling of the conventive structure
ZAFER ASLAN