Dispersif şok dalgalarının Whitham teorisi
Whitham theory for dispersive shock waves
- Tez No: 849829
- Danışmanlar: PROF. DR. SEMRA AHMETOLAN, DOÇ. DR. ALİ DEMİRCİ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 166
Özet
Bu tez çalı¸smasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir ba¸slangıç ko¸sulu için dispersif ¸sok dalga çözümleri (DSW) incelenmi¸stir. Çalı¸sma be¸s bölümden olu¸smaktadır. ˙Ilk bölümde, dispersif ¸sok dalgaları ile ilgili literatür özetine yer verilmi¸s ve bu tez kapsamında ele alınan problemlerin kapsamından bahsedilmi¸stir. ˙Ikinci bölümde, (2+1) boyutlu mKP(f) denkleminde görülen dispersif ¸sok dalgaları üzerinde durulmu¸stur. ˙Ikinci bölüm be¸s kısımdan olu¸smaktadır. Birinci kısımda, bu bölüm kapsamında ele alınacak problem ve yapılacak olan analiz hakkında bilgi verilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, (2+1) boyutlu mKP(f) denklemi için basamak tipi ba¸slangıç ko¸sulu ele alınmı¸s ve DSW'lerin parabolik bir cephe boyunca ilerledigi varsayılmı¸stır. Denkleme benzerlik dönü¸sümü uygulanarak orijinal mKP ˘ denklemi (1+1) boyutlu focusing silindirik modifiye Korteweg-de Vries (cmKdV(f)) denklemine indirgenmi¸stir. Üçüncü kısımda, (1+1) boyutlu cmKdV(f) denklemine Whitham modülasyon teorisi uygulanarak, dispersif ¸sok dalga yayılımını ifade etmek için kullanılan Whitham modülasyon denklemleri elde edilmi¸stir. Whitham modülasyon teorisine göre, dispersif ¸sok dalga yayılımı zamana ve konuma göre yava¸s ve hızlı olmak üzere farklı ölçeklerde degi¸sim gösteren fiziksel büyüklüklerle ˘ tanımlanmaktadır. Whitham modülasyon denklemleri adı verilen denklemler ise, bu fiziksel büyüklüklerin yava¸s degi¸simini karakterize etmek için türetilmektedir. Öte ˘ yandan, önerilen çözüm formu sonucu elde edilen cmKdV(f) denkleminin, Whitham modülasyon denklemleri orijinal Whitham ortalama metodu yerine bir asimptotik analiz olan çoklu ölçekler metodu ile türetilmi¸stir. Whitham ortalama yöntemi yerine bu yöntemi kullanmamızın ba¸slıca nedenlerinden birisi, orijinal teoride kullanılan korunum yasalarının ilgili denklem için bilinmemesidir. Ayrıca, cmKdV(f)-Whitham sisteminde silindirik terim özde¸s olarak sıfır alındıgında mKdV(f)- Whitham sistemine ˘ dönü¸stügü gözlenmi¸stir. Dördüncü kısımda ise, (1+1) boyutlu cmKdV(f) denklemi ˘ ve klasik mKdV(f) denklemlerine ait Whitham modülasyon denklemlerinin sayısal çözümleri ile mKdV(f) ve cmKdV(f) denklemlerinin dogrudan sayısal çözümleri ˘ elde edilmi¸stir. Whitham modülasyon denklemlerinin çözümleri sayesinde DSW'lere ait yayılma zarfı, yayılma hızı ve belirli bir andaki maksimum minimum genlik büyüklükleri gibi bilgiler elde edilir. Bu nedenle, denklemlerin dogrudan çözümlerini ˘ elde etmek yeterli degildir. Daha sonra, ilgili denklemlere ait do ˘ grudan ve Whitham ˘ sistemlerinin (asimptotik çözüm) çözümleri kar¸sıla¸stırılarak yöntemin uygunlugu˘ da gösterilmi¸stir. cmKdV(f)- Whitham sistemi kö¸segen degildir ve bu özellik ˘ analitik çözümü bulmayı oldukça zorla¸stırmaktadır. Bu yüzden analitik çözüm yerine, Shampine tarafından geli¸stirilen MATLAB temelli sayısal çözücü programı kullanılmı¸stır. (1+1) boyutlu mKdV(f) ve cmKdV(f) denklemlerinin dogrudan ˘ sayısal çözümü için mevcutlar içinde en etkin spektral tabanlı sayısal yöntem olarak adlandırılan ve birçok nonlineer evrim tipi diferansiyel denklemin çözümünde hızı ve dogrulu ˘ gu test edilmi¸s,“Exponential Time Differencing Runge Kutta-4”ETDRK4 ˘ yönteminin modifiye hali kullanılmı¸stır. Bu kısımda, son olarak ETDRK4 yöntemi için hata analizine yer verilmi¸stir. Üçüncü bölümde, (3+1) boyutlu mKP(f) denkleminde görülen DSW çözümleri ele alınmı¸stır. Üçüncü bölüm, be¸s kısımdan olumaktadır. ˙Ilk kısımda, bu bölüm kapsamından bahsedilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, paraboloid tipi bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi ba¸slangıç ko¸sulu için (3+1) boyutlu mKP(f) denklemi, uygulanan benzerlik dönü¸sümüyle (1+1) boyutlu focusing küresel mKdV (smKdV(f)) denklemine indirgenmi¸stir. Üçüncü kısımda, (1+1) boyutlu smKdV(f) denklemine ait Whitham modülasyon denklemlerini türetmek için ilk problemde kullanılan çoklu ölçekler metodu kullanımı¸stır. Dördüncü kısımda ise, öncelikle mKdV(f) ve smKdV(f) denklemlerinin Whitham modülasyon denklemleri sayısal olarak çözülmü¸stür. Daha sonra, mKdV(f) ve smKdV(f) denklemleri ETDRK4 metodunun modifiye hali kullanılarak dogrudan çözülmü¸stür. Ardından, asimptotik ˘ ve dogrudan çözümler kar¸sıla¸stırılarak kullanılan asimptotik yöntemin do ˘ grulu ˘ gu˘ test edilmi¸stir. Bu kar¸sıla¸stırma ile, Whitham teorisinin ne kadar ba¸sarılı oldugu˘ gözlemlenmi¸stir. Öte yandan, daha önce de belirtildigi gibi smKdV(f)-Whitham ˘ sistemi, küresel terim özde¸s olarak sıfır alındıgında (yani ˘ hi = 0) mKdV(f)-Whitham sistemine indirgenmektedir. Bu nedenle, bu bölümde mKdV(f) denkleminin sayısal ve asimptotik çözümlerine de yer verilerek, küresel terimin çözümleri ne ölçüde etkiledigi gösterilmi¸stir. Ek olarak, bu kısımda orijinal denklemleri do ˘ grudan ˘ çözmek için kullanılan ETDRK4 yöntemi için hata analizi yapılmı¸stır. Ayrıca, klasik mKdV(f), cmKdV(f) ve smKdV(f) denklemlerine ait sayısal çözümler için kar¸sıla¸stırılma yapılmı¸stır. Be¸sinci kısımda, cmKdV(f) ve smKdV(f) denkleminin çözümlerinin sınıflandırılması için ilgili denklemlerin dogrudan sayısal çözümleri ile ˘ elde edilen sonuçlar verilmi¸stir. Literatür incelendiginde klasik mKdV denklemi için ˘ farklı tipte ¸sok dalga çözümleri için sınıflandırma yapıldıgı görülmektedir. Klasik ˘ mKdV(f) denkleminde DSW çözümlerinin olu¸sabilmesi için gerekli olan kriterlerin yanı sıra,“Contact Dispersif ¸Sok Dalgası”(CDSW), Seyreltme Dalgası (R) ve bu dalgaların kombinasyonu CDSW-DSW, CDSW-R ¸sok dalga çözümleri türetildigi˘ görülmü¸stür. DSW çözümünün olu¸sabilmesi için verilen kriterler, ba¸slangıç ko¸sulunda verilen parametrelere baglıdır. mKdV(f) denkleminde olu¸san ¸sok dalga formları için ˘ verilen kriterler kullanılarak, cmKdV(f) ve smKdV(f) denklemleri için muhtemel sınıflandırma için sayısal sonuçlar elde edilmi¸stir. Dördüncü bölümde, (2+1) ve (3+1) mKP(d) denklemlerinde görülen DSW çözümleri için focusing denklemlere benzer bir analiz yapılmı¸stır. Dördüncü bölüm, üç kısımdan olu¸smaktadır. ˙Ilk kısımda, bu bölüm kapsamında ele alınan denklemler hakkında ve yapılacak olan analiz hakkında bilgi verilmi¸stir. ˙Ikinci kısımda, parabolik bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir ba¸slangıç ko¸sulu için (2+1) boyutlu defocusing mKP (mKP(d)) denklemi uygun bir çözüm formuyla (1+1) boyutlu defocusing silindirik mKdV (cmKdV(d)) denklemine indirgenmi¸stir. Daha sonra, (1+1) boyutlu cmKdV(d) denklemine ait Whitham modülasyon denklemleri çoklu ölçekler metodu kullanılarak elde edilmi¸stir. (3+1) boyutlu mKP(d) denklemi ise, paraboloid bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi ba¸slangıç ko¸sulu ve uygun çözüm formuyla (1+1) boyutlu defocusing küresel mKdV (smKdV(d)) denklemine indirgenmi¸stir. Ardından, smKdV(d) denklemine ait Whitham modülasyon denklemleri, cmKdV(d) denklemine benzer bir analiz kullanılarak elde edilmi¸stir. Üçüncü kısımda, klasik mKdV(d), cmKdV(d) ve smKdV(d) denklemlerine ait sayısal sonuçlara yer verilmi¸stir. Focusing denklemlerde oldugu gibi, denklemlerin do ˘ grudan ˘ çözümleri ve Whitham sisteminin bulunarak kar¸sıla¸stırma yapılmı¸stır. Böylece, uygulanan asimptotik yöntemin uygunlugu gösterilmi¸stir. Daha sonra, ETRK4 ˘ yöntemi için hata analizine yer verilmi¸stir. Ek olarak, mKdV(d) denkleminde farklı tipte ¸sok dalga formları için yapılan analiz göz önünde tutularak cmKdV(d) ve smKdV(d) denklemlerindeki muhtemel çözüm sınıflandırması için sayısal sonuçlar payla¸sılmı¸stır. Be¸sinci bölümde, tez çalı¸smasında elde edilen sonuçlar özetlenmi¸s ve tez konusu ile ilgili gelecekte incelenebilecek problemler hakkında kısa bilgi verilmi¸stir.
Özet (Çeviri)
In this thesis, dispersive shock wave (DSW) solutions have been investigated for a step-like initial condition along a wavefront of parabolic type in (2+1)-dimensional focusing modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) and defocusing modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) equations. Similarly, a step-like initial condition along a wavefront of paraboloid type has been explored in (3+1)-dimensional mKP(f) and mKP(d) equations. Here, we reduced the (2+1)-dimensional equations to cmKdV-type equations using a parabolic similarity variable transformation. The (3+1)-dimensional equations were reduced to smKdV-type equations using an approach similar to that employed in the (2+1)-dimensional case. Subsequently, we derived the Whitham modulation system in Riemann-type variables for the cmKdV-type and smKdV-type equations through the method of multiple scales. Dispersion shock waves (DSWs) obtained from asymptotic analysis and direct numerical simulations of the cmKdV type and smKdV type equations were compared for step-like initial data, showing good agreement between these solutions. Additionally, an error analysis was performed for direct numerical solutions of mKdV, cmKdV, and mKdV equations. Furthermore, the classification of solutions for Riemann-type problems in the cmKdV-type and smKdV-type equations was investigated
Benzer Tezler
- Gardner tipi denklemler için Whitham modülasyon teorisi
Whitham modulation theory for the Gardner type equations
GUNAY ASLANOVA
Doktora
Türkçe
2021
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SEMRA AHMETOLAN
- Lineer olmayan kısmi türevleri diferansiyel denklemlerin yarı-analitik çözümleri üzerine
On semi-analytical solutions of nonlinear partial differential equations
AHMET YILDIRIM
- Solution to the NLS and whitham equations and their applications
NLS ve whitham formüllerinin çözümleri ve uygulamaları
AYNUR ÖZYÜREK
Yüksek Lisans
İngilizce
2001
Fizik ve Fizik MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SERHAT ÇAKIR
- Yüksek frekanslı ses dalgalarının cevher zenginleştirmede kullanılabilirliğinin araştırılması
An Investigation into the usability of high frequency sound waves in mineral processing
İBRAHİM ALP
Doktora
Türkçe
1998
Maden Mühendisliği ve MadencilikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMaden Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF.DR. HÜSEYİN ÖZDAĞ
- Yüksek hız takım çeliklerinin yüksek sıcaklık aşınma dayanımına nitrasyon işleminin etkisi
Nitration effect on high temperature wear resistance of high speed tool steels
BURCU BOSTAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Metalurji Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMetalurji ve Malzeme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HÜSEYİN ÇİMENOĞLU
DOÇ. DR. ERDEM ATAR