Group analysis of nonlinear dynamical systems
Nonlineer dinamik sistemlerin grup analizi
- Tez No: 859168
- Danışmanlar: PROF. DR. TEOMAN ÖZER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 141
Özet
Bu tez, İstanbul Teknik Üniversitesi Lisansüstü Eğitim Enstitüsünün $Q_1$ indeksli dergilerde üç tam bağımsız araştırma makalesi yayınlanmış olma şartına uymaktadır. Sonuç olarak, bu tezin her bir bölümü, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin grup analizini gösteren ayrı bir araştırma makalesi olarak sunulmaktadır. Bu nedenle tez içindeki her bir bölüm, içeriği yüksek etkili dergiler için beklenen yayın standartlarını sağlayan çalışmalardan oluşmaktadır. Dinamik sistemler, matematiksel modeller kullanarak bir sistemin zaman içindeki değişimini inceleyen önemli bir alanı temsil etmektedir. Bu modeller, klasik mekanikten biyolojiye ve mühendisliğe kadar geniş bir disiplin yelpazesinde etkili bir şekilde kullanılmaktadır. Dinamik sistemlerin temel özelliği, sistemin gelecekteki durumunun mevcut durumuna ve içinde yer alan parametre ve değişken ilişkilerine bağlı olmasıdır. Bu kompleks ilişkiler, farklı matematiksel modeller ve değişkenlerle ifade edilebilir; örneğin, diferansiyel denklemler, yineleme ilişkileri veya zaman ölçeği kalkülüsü gibi. Dinamik bir sistemin yörüngesi, sistemin zaman içindeki durumunu temsil eden noktaların bir kümesini oluşturur. Yörüngeyi belirlemek için, gelecekteki durumu hesaplamak amacıyla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmek gereklidir. Bu işlemler, integral hesabı veya sayısal yöntemler kullanılarak etkili bir şekilde gerçekleştirilebilir. Bununla birlikte bilgisayarların gelişimi, dinamik sistemlerin yörüngelerini bulma sürecini önemli ölçüde kolaylaştırmıştır. Bilgisayarlar, karmaşık matematiksel işlemleri hızlı ve verimli bir şekilde gerçekleştirebilir, bu da daha önce çözülemeyen sistemlerin yörüngelerini hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Diferansiyel denklemler, biyoloji, fizik, mühendislik, matematik ve ekonomi gibi farklı disiplinlerde doğa olayların geniş bir yelpazesini modelleme açısından önemli bir uygulama alanına sahiptir. Çeşitli çözüm yöntemleri mevcut olmasına rağmen, elde edilen çözümlerden fiziksel anlamlı sonuçlar çıkarmak ve bunları disiplinler arasında entegre etmek hala önemli bir zorluktur. Özellikle, literatürde ve uygulamada doğrusal modeller daha sınırlı bir sayıdadır. Bu nedenle, yoğun araştırmalar, bu doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin ve ilgili modellerin daha iyi anlaşılmasına odaklanmaktadır. Lie grup teorisi, çeşitli yöntemler arasında öne çıkan bir yaklaşım olup, uygulamalı ve teorik matematik ve fizikte önemli bir etkiye sahiptir. Sophus Lie tarafından 19. yüzyılda geliştirilen bu teori, Lie´nin diferansiyel denklem sistemleri üzerine yaptığı araştırmalardan türemiştir. Lie´nin öncü çalışmaları, matematiksel fizik ve mühendislik alanlarında uygulama bulmuş ve Lie grup teorisinin önemini artırmıştır. Zaman içinde, 20. yüzyılda sürekli tek parametreli dönüşüm gruplarına yönelik artan ilgi, Lie grup teorisine önemli katkılarda bulunmuştur. Bu teorinin evrimi, dinamik sistemlerin analitik anlayışını derinleştirmiş ve matematiksel modellemelerin çözümlerinin çeşitliliğini artırmıştır. Lie grup teorisi, yapay Hamilton yaklaşımı aracılığıyla doğrusal olmayan dinamik sistemlerde daha geniş bir uygulama alanı bulmaktadır. Bu teori, adi diferansiyel denklemler (ADD´ ler) için kesin çözümlerin hesaplanmasına yönelik önemli bir yaklaşım sunmaktadır. Özellikle, tüm birinci dereceden ADD sistemleri yapay Hamilton sistemleri olarak temsil edilebilir. Bu yaklaşım kullanılarak, sistemlerin matematiksel analizi daha derinlemesine gerçekleştirilebilmekte ve analitik çözümler elde edilebilmektedir. Kısmi Hamiltonyen yaklaşımı, kısmi Hamiltonyen operatörlerinin belirlenmesini sağlar ve bu operatörlere karşılık gelen birinci integraller ile analitik çözümler üretilebilir. ADD ´ler için birinci integrallerin elde edilmesi, kapalı form çözümlerin türetilmesini kolaylaştırdığı için büyük önem taşımaktadır. Ancak, bu tür integralleri sistematik bir şekilde bulmak, özellikle doğrusal olmayan dinamik sistemlerde tam çözümlerini elde etmek genelde zordur. Bu nedenle, ilk integralleri elde etmek için yöntemler geliştirmek, ilgili araştırmalarda önemli bir yer tutmaktadır. Lie grup teorisi, bu bağlamda dinamik sistemlerin matematiksel anlayışına önemli katkılarda bulunan bir disiplindir. Literatürde, salgın hastalıkların matematiksel modellemeleri, bu tür hastalıkların genel özelliklerinin anlaşılması açısından son derece önem taşımaktadır. Kullanılan matematik modeller ise, lineer olmayan dinamik sistemlere karşılık gelmektedir. Bu tip modeller, iki, üç, dört, altı ve on iki boyutta kuple adi lineer olmayan diferansiyel denklem sistemleri olarak elde edilmişlerdir. Doktora tez çalışması aynı zamanda pandemi dönemine denk geldiği için lineer olmayan dinamik sistemler olarak bu sistemlere karşılık gelen ve literatürde çok iyi bilinen ve COVID-19 ile ilişkili matematiksel salgın modelleri üzerinde yoğunlaşılmış ve bu tip salgın hastalıklarının gerek matematik ve gerekse fizik özellikleri üzerine analitik ve uygulamalı sonuçlar elde edilmeye çalışılmıştır. Günümüzde, insanlar arasında veya hayvandan insana bulaşabilen salgın hastalıklar, giderek artmaktadır. COVID-19, SARS, AIDS, Ebola, Influenza, SIV ve H5N1 gibi salgınlar, milyonlarca insanın hayatına mal olmuş ve biyolojik modellerin geliştirilmesini gerektirmiştir. Bu tür salgın hastalıkların analizi için literatürde çeşitli modeller incelenmiştir. Bu çalışmada, salgın hastalıkların analizi için kullanılan iki önemli model olarak SIRV ve SIRD modelleri üzerinde durulmaktadır. Ayrıca, MSEIR, Verhulst, Easter Island ve Lotka-Volterra gibi diğer biyolojik ve popülasyon modellerine de değinilmektedir. Bu modeller, salgınların yayılma dinamiklerini anlamak ve kontrol stratejilerini geliştirmek için önemli araçlar sunmaktadır. COVID-19 gibi salgın hastalıkların matematiksel modellenmesi, hastalığın yayılma hızını, etkileşimleri ve popülasyon üzerindeki etkilerini anlamak için kritik bir araçtır. Bu modeller, epidemiyoloji ve halk sağlığı alanında karar yetkisi olanları destekleyerek, etkili müdahale stratejilerinin belirlenmesine katkıda bulunabilir. Verhulst, Easter Island ve Lotka-Volterra gibi modeller, popülasyon dinamiklerini anlamak için kullanılan klasik modellerdir. Bu modeller, bir popülasyonun büyüme, sürdürülebilirlik ve çevresel etkileşimlerini modelleyerek, ekosistemlerin dengesini anlamak açısından önemlidir. Bu çalışma, salgın hastalıkların matematiksel modelleri ve popülasyon dinamikleri üzerine kapsamlı bir bakış sunmaktadır. Bu modeller, hem biyolojik bilimlerdeki ilerlemeleri anlamak hem de salgınlarla mücadelede etkili stratejiler geliştirmek adına önemli bir temel oluşturmaktadır. Tez çalışması, yapay Hamilton yönteminin farklı bağlamlardaki etkinliğini incelemeyi amaçlamaktadır. Bu kapsamda, ilk olarak bu yöntem iki ve dört boyutlu adi diferansiyel denklem (ADD) sistemlerinde uygulanmıştır. Belirli parametre kısıtlamalar altında, tam analitik çözümlerini elde etmek için gerekli ilk integraller elde edilmiştir. Araştırmamız, yapay Hamilton yönteminin biyolojik popülasyon modellerindeki etkinliğine de odaklanmaktadır. İki boyutlu Easter Island, Verhulst ve Lotka-Volterra modelleri ile dört boyutlu MSEIR (M: Pasif bağışıklığı olan popülasyon, S: Şüpheli, E: Gözetim Altında, I: Enfekte, R: İyileştirilmiş) ve SIRD (S: Şüpheli, I: Enfekte, R: İyileştirilmiş, D: Ölü popülasyon) modelleri detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu modeller, yapay Hamilton yönteminin etkinliğini çeşitli biyolojik senaryolarda değerlendirmemize olanak sağlamıştır. Yapay Hamilton yöntemi, analitik çözümler elde etme konusundaki başarısıyla öne çıkmakta ve bu yöntemin biyolojik sistemlerdeki uygulanabilirliği geniş bir perspektiften değerlendirilmiştir. Bu çalışma, yapay Hamilton yönteminin farklı matematiksel ve biyolojik bağlamlardaki potansiyelini anlamamıza katkıda bulunarak, bu alandaki bilgi birikimine yeni bir boyut kazandırmayı amaçlamaktadır. Öncelikli amacımız, yapay Hamilton yönteminin bu modellere başarılı bir şekilde uygulanması, ardından doğrusal olmayan dinamik sistemlerin incelenmesi olmuştur. Bu anlamda COVID-19 salgın hastalığını modelleyen doğrusal olmayan dinamik sistemler ele alınmıştır. Bu deneyimden elde ettiğimiz bilgilerle, daha sonra SIRV, COVID-19 modelinin tamamen integrallenebilir olduğu gösterilmiştir. Model parametrelerine göre iki farklı durum ele alınmış ve özel durum model parametreleri arasındaki $b=k$ koşulu altında, iki aşikar olmayan ilk integral elde edilmiştir. Bu iki integralin, sistemi tamamen integrallenebilir hale getirdiği başarıyla gösterilmiştir. Ayrıca, SIRV (Şüpheli-Enfekte-İyileştirilmiş-Aşılanmış) modelinin integrallenebilirlik özellikleri üzerinde detaylı bir analiz gerçekleştirilmiştir. Bu analizde, farklı faz uzayları dikkate alınarak modelin yaklaşık ve kesin analitik çözümleri incelenmiştir. Özellikle, analitik çözümleri parametrelerle değerlendirerek, grafiklerle desteklenmiş sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçların beklenen özelliklerle uyum içinde olduğu gösterilmiştir. Elde edilen analitik çözümler daha sonra başlangıç-değer probleminin çözümüne uygulanmıştır. Bu çözümler, model ile ilişkili başlangıç koşulları kullanılarak elde edilmiştir. Ayrıca, bu çözümleri değerlendirmek amacıyla grafikler kullanılarak, modelin popülasyon fraksiyonlarının zaman içindeki değişimi gösterilmiştir. Bu gösterimler, modelin dinamiklerini daha iyi anlamamıza olanak sağlamıştır. Önceki başarıları temel alarak geliştirilen ve yayınlanan üçüncü çalışmada, dördüncü dereceden doğrusal olmayan ODE sisteminin integrallenebilirlik özellikleri ve analitik çözümleri incelenmiştir. Bu modellerden biri mevcut yaşayan popülasyonun sabit olarak alındığı SIRD-CAAP modelidir. Bu model, COVID-19 dinamiklerinin gerçek dünyadaki bir uygulaması olarak dikkate alınmakta ve elde edilen analitik sonuçlardan yararlanmamıza olanak tanımaktadır. Yapay Hamiltonyen yöntemini kullanarak, SIRD-CAAP modelinin ilk integrallerini ve ilgili kesin analitik çözümleri araştırılmış ve parametreler arasındaki cebirsel ilişkiler ortaya konulmuştur. Daha sonra, modelin dinamik davranışı her iki durum için analitik çözümlere dayanarak incelenmiş ve tam çözümlerinin grafiksel gösterimleri ile karşılaştırılmıştır. Özellikle, SIRD-CAAP modelinin ilk integralleri kullanılarak ayrıklaştırılabileceği (decoupling) gösterilmiştir. Buna ek olarak, ayrıklaştırılmış denklemler ve çözümlerine bağlı olarak, çözüm türlerinin sınıflandırabileceği ve çözümlerin periyotları, konumları, uç noktalarının genlikleri ve eğer varsa durağan değerleri gibi karakteristik özelliklerinin teorik analizinin yapılabileceği de gösterilmiştir. Bu tür analitik ifadelerin, özellikle mevcut verilerin SIRD-CAAP modeline uyumlu hale getirilebilmesi durumunda kullanılabilir olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, gerçek COVID-19 verilerinden SIRD-CAAP parametrelerinin nasıl elde edileceğine dair bir örnek çalışma sunulmuştur. Çalışma içinde ayrıca periyodiklik özelliklerini ve parametre kısıtlamalarına göre çözüm rejimlerinin sınıflandırılması da araştırılmıştır ve çeşitli ülkelerden elde edilen COVID-19 verilerine dayanan uygulamalar sunulmuştur. Pandemi dalgaları sırasında farklı ülkelerdeki enfekte olan ve ölen popülasyonun sayısına ilişkin mevcut COVID-19 verilerine dayanmaktadır. Bu veriler, SIRD-CAAP modelinin her bölge için aynı parametre setini kullanarak bu bölgelerin davranışlarını niceliksel ve eş zamanlı olarak yakalayabildiğini göstermektedir. Bu, belirli olmayan $R(t)$, $I(t)$ ve $S(t)$ değişkenlerinin elde edilebilmesini sağlamıştır. SIRD-CAAP modeli salınımlı (periyodik) tip rejimler sergilerken, birkaç yıllık bir süre boyunca ölçülen verilere niteliksel olarak benzer $D(t)$ değişim eğrilerine yol açtığı gösterilmiştir. Bu nedenle, Yapay Hamilton yaklaşımının dinamik sistemlere başarıyla uygulanması, bu sistemler için ilk integrallerin ve analitik çözümlerin araştırılmasına yönelik önemli avantajlar sağlamaktadır. Bu yöntem kullanılarak, modellerin dinamikleri ve davranışları üzerine kapsamlı bir çalışma gerçekleştirmesi amaçlanmıştır. Özellikle SIRD-CAAP ve SIRV modelleri bu anlamda literatürde bu yaklaşım kullanılarak ilk defa incelenmiştir. Bu modellerin parametreler üzerinde herhangi bir kısıtlama olmaksızın tamamen integrallenebilir olduğu kanıtlanmıştır. Söz konusu bu çalışmanın, sadece bu epidemiyolojik modellere ilişkin anlayışımızı ve bakış açımızı genişletmekle kalmayıp, aynı zamanda dinamik sistemler alanında yeni uygulamalar ve çalışmalar yapılması adına da önemli fırsat ve açılımlar sunduğu düşünülmektedir.
Özet (Çeviri)
This thesis adheres to the Graduate School of Istanbul Technical University's requirement of three fully independent research papers published in $Q_1$-indexed journals. As a result, each chapter of this thesis features a unique research paper highlighting the group analysis of nonlinear dynamical systems. This structure guarantees that the content of each chapter meets the publication standards anticipated for high-impact journals. Differential equations play a vital role in modeling a wide range of natural phenomena in diverse disciplines, including biology, physics, engineering, mathematics, and economics. Despite the availability of numerous solution methods, extracting meaningful interpretations from the obtained solutions and integrating them across disciplines remains a significant challenge. It is noteworthy that nature often displays nonlinear dynamics, with linear models forming a smaller subset. As a result, extensive research is dedicated to unraveling the complexities presented by these nonlinear differential equations. Among various emerging methods, Lie group theory stands out for its effectiveness and power. Developed in the 19th century by Sophus Lie, this theory originated from his investigations into systems of differential equations. The 20th century witnessed a notable increase in interest in continuous one-parameter transformation groups, resulting in significant contributions to the field. Lie group theory finds extended application in nonlinear dynamical systems through the artificial Hamiltonian approach. This method provides a means to compute exact solutions for various coupled ordinary differential equations (ODEs). Notably, all first-order ODE systems can be represented as artificial Hamiltonian systems. By employing the partial Hamiltonian approach, one can determine partial Hamiltonian operators and subsequently derive corresponding first integrals and analytical solutions. Obtaining first integrals for ODEs holds immense significance as they facilitate the derivation of closed-form solutions. However, systematically finding such integrals remains a challenge, particularly for nonlinear dynamical systems where closed-form solutions are often elusive. Consequently, developing methods for obtaining first integrals holds a prominent position in relevant research. In the literature, mathematical modeling of epidemic diseases is of utmost importance for understanding the general characteristics of such diseases. The mathematical models used correspond to non-linear dynamic systems. These types of models have been derived as coupled ordinary non-linear differential equation systems in two, three, four, six, and twelve dimensions. The doctoral thesis, coinciding with the pandemic period, focuses on these systems as non-linear dynamic systems, and extensive work has been conducted on well-known mathematical epidemic models associated with Covid-19 in the literature. Analytical and applied results have been sought concerning both the mathematical and physical characteristics of such epidemic diseases. Motivated by the quest to understand the behavior of dynamical systems and obtain their first integrals, this thesis delves into exploring the effectiveness of the artificial Hamiltonian method across various contexts. Initially, we applied this method to several systems involving two and four-dimensional nonlinear coupled systems of ordinary differential equations (ODEs). By imposing specific parameter constraints, we successfully derived the first integrals necessary for obtaining their exact analytical solutions. These findings served as the foundation for our second published paper. In this research, we address biological population-related models, specifically the two-dimensional Easter Island, Verhulst, and Lotka-Volterra, as well as the four-dimensional MSEIR (M: Populations with passive immunity, S: Suspected, E: Under Supervision, I: Infectious, R: Recovered) and SIRD (S: Suspected, I: Infectious, R: Recovered, D: Death) models. Our primary objective was to examine the nonlinear dynamical system following the successful application of the artificial Hamiltonian method to these models. In the context of a pandemic, with numerous new and unresolved nonlinear dynamical models emerging, our focus shifted to addressing COVID-19 nonlinear models in our subsequent two studies. Building upon this experience, we subsequently demonstrated the complete integrability of the SIRV COVID-19 model. Two different cases are considered with respect to the model parameters. Additionally, the integrability properties and associated approximate and exact analytical solutions of the SIRV (Susceptible-Infected-Recovered-Vaccinated) model are analyzed and investigated by considering two different phase spaces. In the special case $b=k$, two nontrivial first integrals are obtained, demonstrating that these two first integrals make the system completely integrable. Next, analytical solutions are derived, and novel exact analytical solutions for the initial-value problem are introduced using the associated initial conditions of the model. Furthermore, graphics illustrating the evaluations of the solutions are presented, showcasing compatibility with the expected results. Comparing the results obtained by numerical methods with the analytical results from Lie group analysis in this study reveals that the analytical solutions are consistent with the results obtained by numerical methods. Moreover, the results in this study also represent actual physical situations in the real world. These explorations constitute the key themes of our first published research study. Additionally, graphical representations of susceptible, infected, recovered, and vaccinated population fractions evolving with time for the sub-case are introduced and discussed. Building upon previous successes, the third published study delves into the integrability properties and analytical solutions of a fourth-order, first-order coupled system of nonlinear ordinary differential equations (ODEs): the SIRD-CAAP model with a constant alive population. This model serves as a real-world application of COVID-19 dynamics, enabling us to leverage the analytical results obtained. Utilizing the partial Hamiltonian method, we investigated the first integrals and associated exact analytical solutions of the SIRD-CAAP model, uncovering algebraic relations among its parameters. Subsequently, we analyzed the dynamical behavior of the model based on its analytical solutions for both cases, showcasing and comparing the graphical representations of the closed-form solutions. Notably, we demonstrate the decoupling of the SIRD-CAAP model based on its first integrals, a significant finding from a mathematical perspective. With the decoupled equations and solutions at hand, we were able to classify the solution types and derive characteristic features of the solutions, such as their period, location, amplitudes of their extremes, and stationary values if they exist. Such analytical expressions are particularly useful for fitting existing data with the SIRD-CAAP model. We provided an example of how to obtain the SIRD-CAAP parameters from real COVID-19 data. The study further explores the periodicity properties and classification of solution regimes with respect to parameter constraints. Finally, we provide COVID-19 applications based in data from various countries. Based on available COVID-19 data for the number of newly infected and deceased populations in different countries during pandemic waves, we demonstrated that the SIRD-CAAP model is able to capture their behavior quantitatively and simultaneously, using an identical set of parameters for each region. This allowed us to predict the unreported $R(t)$, $I(t)$, and $S(t)$. While the SIRD-CAAP model exhibits oscillatory (periodic) type regimes, giving rise to $D(t)$ curves that are qualitatively similar to the measured data over a period of several years. Successfully applying the Artificial Hamiltonian approach to dynamical systems has been a transformative endeavor, leading to the discovery of unique first integrals and analytical solutions for these systems. Through the utilization of this method, we conducted a comprehensive study of the dynamics and behavior of the models. Notably, in the investigation of the SIRD-CAAP and SIRV models, a groundbreaking achievement was realized as, for the first time in the literature, these models were proven to be fully integrable without imposing any constraints on the parameters. This breakthrough not only expands our understanding of these epidemiological models but also opens avenues for novel applications and insights in the realm of dynamical systems.
Benzer Tezler
- Euler-Lagrange tipi dinamik sistemlerin senkronizasyonu
Synchronization of Euler-Lagrange systems
ELİF ÇİÇEK
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiYıldız Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. JANSET DAŞDEMİR
- Sinirileticilerin etkisinin matematiksel modellenmesi: Orta boy dikensi hücrelere dopaminin etkisi
Modelling the effect of neurotransmitters: Effect of dopamine on medium spiny neurons
RAHMİ ELİBOL
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiDOÇ. DR. NESLİHAN SERAP ŞENGÖR
- Tek serbestlik dereceli lineer olmayan salınıcıların yaklaşık simetrileri ve ilk integralleri
Approximate symmetries and the firt integrals of the nonlinear oscillators with one degree of freedom
AHMET KIRIŞ
- Kaos analizi: Bir finansal sektör uygulaması
Başlık çevirisi yok
CAFER ERCAN BOZDAĞ
Doktora
Türkçe
1998
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiEndüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET HALUK ERKUT