Parabolic-Elliptic Chemotaxis Models with Singular Sensitivity
Tekil Duyarlılığa sahip Parabolik-Eliptik Kemotaksis Modelleri
- Tez No: 960794
- Danışmanlar: PROF. DR. WENXİAN SHEN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Auburn University
- Enstitü: Yurtdışı Enstitü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 142
Özet
Kemotaksi, biyolojik hücrelerin veya organizmaların çevrelerindeki belirli kimyasallara tepki olarak hareketini tanımlar ve tümör büyümesi, bağışıklık sistemi tepkisi, embriyo gelişimi, popülasyon dinamikleri ve yerçekimi çöküşü gibi birçok biyolojik durumda hücre hareketinin koordinasyonunda önemli bir rol oynar. Keller-Segel modelleri olarak da bilinen kemotaksi modelleri, Keller ve Segel'in 1970'lerin başında Dictyostelium discoideum'un kümeleşme sürecinin matematiksel modellemesi üzerine yaptığı öncü çalışmalardan bu yana yaygın olarak incelenmiştir. Kemotaksi modellerindeki temel sorunlardan biri, çözümlerin sonlu zamanda mı patladığı yoksa küresel olarak mı var olduğudur. İkinci temel soru ise, çözümler küresel olarak mı varlarsa sınırlı mı olduklarıdır. Dahası, eğer bu doğruysa, küresel olarak tanımlanmış sınırlı pozitif çözümlerin zaman içindeki asimptotik davranışı nedir? Son yıllarda, çeşitli kemotaksi modellerinde bu sorunlara yönelik çok sayıda araştırma yapılmıştır. Ancak, bu temel sorularla ilişkili birçok ilginç problem hala cevapsız kalmaktadır. Bildiğimiz kadarıyla, herhangi bir boyutlu ortamda tekil duyarlılık ve kinetik terimli parabolik-eliptik kemotaksi modelleri üzerine bir çalışma yapılmamıştır. Bu tez, sınırlı heterojen ortamlarda tekil duyarlılığa sahip tek tür kemotaksi modelinin ve sınırlı homojen ortamlarda tekil duyarlılığa sahip iki tür kemotaksi modelinin dinamiklerini inceleyerek farklı senaryolarda bu temel sorulara cevap bulmayı amaçlamaktadır. Heterojen ortamlarda tekil duyarlılığa sahip tek tür kemotaksi modeliyle ilgili olarak, öncelikle klasik çözümlerin küresel varlığını inceliyoruz. Sonuçlarımız arasında, herhangi bir uzay boyutlu ortamda, lojistik kinetiğin parametreler üzerinde herhangi bir koşul gerektirmeden klasik çözümlerin küresel varlığını zorlamak için yeterli olduğunu ve dolayısıyla sonlu zamanlı patlamanın meydana gelmesini engellediğini kanıtlıyoruz. Daha sonra, klasik çözümlerin sınırlılığını, klasik çözümlerin kütlesini ve düzgün kalıcılığını ve pozitif tam çözümlerin varlığını tartışıyoruz. Özellikle, parametreler üzerinde bazı açık varsayımlar altında, küresel olarak tanımlanmış herhangi bir pozitif çözümün, başlangıç fonksiyonlarından bağımsız bazı pozitif sabitlerle üstten ve alttan sınırlı olduğunu gösteriyoruz. Son olarak, parametreler üzerinde aynı koşul altında pozitif tam çözümlerin varlığını kanıtlıyoruz. Homojen ortamlarda iki rakip tür için tekil duyarlılığa sahip kemotaksi modeliyle ilgili olarak, öncelikle klasik çözümlerin küresel varlığını araştırıyor ve genel boyutsal ortamda, çözümlerin tek tür durumunda olduğu gibi parametreler üzerinde herhangi bir kısıtlama olmaksızın küresel olarak var olduğunu kanıtlıyoruz. Daha sonra, parametreler üzerinde bazı açık varsayımlar altında, klasik çözümlerin düzgün sınırlılığını, birleşik kütlesini ve düzgün kalıcılığını belirliyoruz; bu da, çözümlerin toplamı için başlangıç fonksiyonundan bağımsız olarak yukarıdan ve aşağıdan bazı pozitif sınırlar olduğu anlamına gelir. Yukarıda bahsedilen Keller-Segel tipi kemotaksi modellerinin nitel özelliklerini belirlemek için, hem tek tür hem de iki rekabet türü kemotaksi modelleri için daha önce elde edilenlerin ötesine geçen olağanüstü sonuçlar elde etmemizi sağlayan birkaç yeni teknik ve strateji geliştirdik.
Özet (Çeviri)
Chemotaxis describes the movement of biological cells or organisms in response to certain chemicals in their environments and occupies an essential role in coordinating cell movement in many biological circumstances such as tumor growth, immune system response, embryo development, population dynamics, gravitational collapse. Chemotaxis models, also known as Keller-Segel models, have been widely studied since the pioneering works by Keller and Segel at the beginning of 1970s on the mathematical modeling of the aggregation process of Dictyostelium discoideum. One of the central problems on chemotaxis models is whether solutions blow up in finite time or exist globally. The second essential question is whether solutions are bounded if they exist globally. Moreover, if that is true, what is the asymptotic behavior of globally defined bounded positive solutions over time. In recent years, a large amount of research has been carried out toward those problems in various chemotaxis models. However, many interesting problems still remain open associated to those central questions. As far as we know, there has been no study on the parabolic-elliptic chemotaxis models with singular sensitivity and kinetics term in any dimensional setting. This dissertation aims to study the dynamics of one species chemotaxis model with singular sensitivity in bounded heterogeneous environments, and two species chemotaxis model with singular sensitivity in bounded homogeneous environments to provide answers to those central questions in different scenarios. Regarding chemotaxis model with singular sensitivity of one species in heterogeneous environments, we first study global existence of classical solutions. Among our results, we prove that in any space dimensional setting, logistic kinetics is sufficient to enforce the global existence of classical solutions without requiring any condition on the parameters and hence prevents the occurrence of finite-time blow-up. Next, we discuss the boundedness of classical solutions, the mass and uniform persistence of classical solutions, and the existence of positive entire solutions. In particular, under some explicit assumption on the parameters, we show that any globally defined positive solution is bounded above and below eventually by some positive constants which are independent of its initial functions. Finally, we prove the existence of positive entire solutions under the same condition on the parameters. Regarding chemotaxis model with singular sensitivity for two competing species in homogeneous environments, we first investigate global existence of classical solutions and prove that in general dimensional setting, solutions globally exist with no restrictions on the parameters as in the one species case. Next, under some explicit assumption on the parameters, we establish uniform boundedness, combined mass and uniform persistence of classical solutions, which implies that there are some positive bounds independent of its initial function from above and below for the sum of solutions. To establish the qualitative properties of Keller–Segel type chemotaxis models mentioned in the above, we have developed several novel techniques and strategies, which enable us to obtain outstanding results that go beyond what has previously been achieved for both one species and two competition species chemotaxis models.
Benzer Tezler
- Elastik ortamlarda yayılan yüzey ve kenar dalgalrı için durağan ve hareketli yük problemlerinin asimptotik analizi
Asymptotical analysis of steady-state and moving load problems for surface and edge waves in elastic mediums
GÖKÇE KILIÇ
- Eliptik-parabolik diferensiyel denklemlerin lokal olmayan sınır değer problemleri için fark şemaları
Difference schemes of elliptic-parabolic differential equations for nonlocal boundary value problems
OKAN GERÇEK
Doktora
Türkçe
2010
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiFen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALLABEREN ASHYRALYEV
PROF. DR. ZİYA SOYUÇOK
- Rastgele eliptik, parabolik ve hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin fourier dönüşümü ile analizi
Fourier transform analysis of random elliptic,parabolic and hyperbolic partial differential equations
HATİCE EZBER
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
MatematikGümüşhane ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET MERDAN
- Nonlocal boundary value problems for elliptic-parabolic differential and difference equations
Eliptik-parabolik diferensiyel ve fark denklemleri için lokal olmayan sınır değer problemleri
OKAN GERÇEK
Yüksek Lisans
İngilizce
2006
MatematikFatih ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALLABEREN ASHYRALYEV
- On the numerical solution of a two dimensional elliptic-parabolic equation
İki boyutlu eliptik-parabolik diferansiyel denklemleri için lokal olmayan sınır değer problemlerin nümerik çözümleri
EMEL ZUSİ
Yüksek Lisans
İngilizce
2013
MatematikFatih ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALLABEREN ASHYRALYEV
YRD. DOÇ. DR. OKAN GERÇEK