Kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri için sıralama yöntemleri
Collocation methods for numerical solutions of franctional order diferrential equations
- Tez No: 960847
- Danışmanlar: DR. ÖĞR. ÜYESİ PINAR ALBAYRAK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 64
Özet
Kesirli analizde türev ve integral kavramları; fizik, mühendislik, biyoloji ve ekonomi gibi birçok alanda karşılaşılan karmaşık süreçlerin daha gerçekçi biçimde modellenmesine olanak sağlar. Bunun temel nedeni, kesirli türevlerin klasik (tamsayı mertebeli) türevlere kıyasla gerçek sistemlerin bellek ve geçiş özelliklerini daha doğru şekilde temsil etmesidir. Kesirli diferansiyel denklemlerin çözümünde çeşitli analitik ve nümerik yöntemler kullanılmıştır. Ancak bu denklemlerin analitik çözümleri yalnızca sınırlı özel durumlarda mümkün olabildiğinden, sayısal yöntemlere olan ihtiyaç giderek artmaktadır. Bu tez kapsamında, Hermit Sıralama Yöntemi (HSY) ve Lucas Sıralama Yöntemi (LSY) olmak üzere iki farklı sıralama tekniği kullanılarak, kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için yaklaşık çözümler elde edilmiştir. Öncelikle kesirli analizde sıklıkla karşılaşılan Gama, Beta, Mittag-Leffler ve Hata fonksiyonlarıyla birlikte Euler, Riemann–Liouville, Caputo ve Grünwald–Letnikov kesirli türev tanımları kuramsal olarak incelenmiştir. Ardından Hermit ve Lucas polinomlarının yapısı tanıtılmış; bu polinomlara dayalı sıralama yöntemleriyle, kesirli diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılabilecek matris temelli yaklaşımlar geliştirilmiştir. Yöntemlerin uygulanabilirliği seçilen örnek problemler üzerinde test edilerek değerlendirilmiş, elde edilen sayısal sonuçlar doğruluk açısından karşılaştırılmıştır. Sonuçlar hem Hermit hem de Lucas sıralama yöntemlerinin kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünde etkili ve güvenilir alternatifler sunduğunu ortaya koymuştur. Bu çalışma, benzer nitelikteki problemler için yeni ve uygulanabilir bir sayısal çözüm yaklaşımı sunmayı hedeflemektedir.
Özet (Çeviri)
Fractional calculus, which extends the concepts of differentiation and integration to non-integer orders, enables more accurate modeling of complex processes encountered in fields such as physics, engineering, biology, and economics. This is because fractional derivatives can more precisely capture memory and hereditary properties of real systems compared to classical integer-order derivatives. Various analytical and numerical methods have been employed for solving fractional differential equations. However, since analytical solutions are generally limited to special cases, the demand for numerical approaches has steadily increased. In this thesis, approximate solutions to fractional-order differential equations are obtained using two different collocation techniques: the Hermite Collocation Method and the Lucas Collocation Method. First, commonly used special functions in fractional analysis—such as Gamma, Beta, Mittag-Leffler, and Error functions—along with fractional derivative definitions including Euler, Riemann–Liouville, Caputo, and Grünwald–Letnikov, are theoretically examined. Then, the structures of Hermite and Lucas polynomials are introduced, and matrix-based numerical approaches based on these polynomials are developed for solving fractional differential equations. The applicability of the proposed methods is demonstrated through selected example problems. Numerical results are evaluated and compared in terms of accuracy. The findings show that both the Hermite and Lucas Collocation Methods are effective and reliable tools for solving fractional-order differential equations. The approach presented in this thesis aims to offer a practical and efficient numerical solution alternative for similar types of problems.
Benzer Tezler
- Bazı kesirli mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin Hermite sıralama yöntemi ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of some fractional order lineardifferential equations using Hermite collocation method
MULLA VELİ ABLAY
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikOsmaniye Korkut Ata ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ AYŞE GÜL KAPLAN
- Bazı kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri
Numerical solutions of some fractional differential equations
İLKNUR ERDURMUŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ PINAR ALBAYRAK
- Kesirli mertebeden değişken katsayılı diferansiyel denklem ve denklem sistemleri için fermat sıralama metodu ve residüel hata analizi
Fermat collocation method for fractional order variable coefficients differential equations and the system of such equations and residual error analysis
DİLEK TAŞTEKİN
Doktora
Türkçe
2022
MatematikManisa Celal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ KONURALP
- Numerical solution of fractional differential equations
Kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerin nümerik çözümleri
OSMAN BAĞCI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ SEBAHAT EBRU DAŞ
- Kesirli mertebeden gecikmeli diferansiyel denklemler için bernstein sıralama yöntemi
Bernstein collocation method for fractional order delay differantial equations
BURAK TOPALOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikMuğla Sıtkı Koçman ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ELÇİN GÖKMEN