Bazı diferansiyel denklemleri ve pantograph denklemlerini çözmek için boubaker polinomlarını ve integrali baz alan yeni bir kollokasyon yöntemi
A new collocation method based on boubaker polynomials and integral to solve some differential equations and pantograph equations
- Tez No: 995360
- Danışmanlar: PROF. DR. ŞUAYİP YÜZBASI
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Adi diferensiyel denklemler, Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler, Ortogonal kollokasyon yöntemi, Ordinary differential equations, Nonlinear differential equations, Orthogonal collocation method
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Akdeniz Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışmasında, bazı diferansiyel denklemler ve pantograph denklemlerini çözmek amacıyla Boubaker polinomları ve integrale dayalı yeni bir kolokasyon yöntemi sunulmaktadır. Yöntemin ilk adımı olarak diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebeden türeve Boubaker polinomlarını baz alan sonlu bir seri ile yaklaşım yaparak başlanır ve bu yaklaşım matris formunda ifade edilir. Ardından bu yaklaşımdan gerekli sayıda integral alınarak problemdeki diğer türevlerin ve bilinmeyen fonksiyonun matris formları bulunur. Diferansiyel denklem problemindeki koşullar yapılan yaklaşımdan sonra her bir integral alındığında direkt olarak kullanılır. Bilinmeyen fonksiyon ve türevlerinin matris formları diferansiyel denklemde yerleştirildikten sonra eşit aralıklı kollokasyon noktaları kullanılarak diferansiyel denklem problemi cebirsel bir denklem sistemine indirgenir. Diferansiyel denklem problemi lineer ise indirgenen cebirsel sistem lineer olurken diferansiyel denklem problemi lineer olmayan olduğunda ise cebirsel sistem lineer olmayan bir sisteme dönüşmektedir. Elde edilen cebirsel sistem çözülerek yaklaşımdaki bilinmeyen katsayılar elde edilir. Bu katsayılar aynı zamanda bilinmeyen fonksiyonun çözüm formundaki katsayılardır ve burada yerine yazılarak çözüm elde edilir. Bahsedilen bu yeni yöntem bu tez çalışmasında, genelleştirilmiş lineer diferansiyel denklemlerine, birinci mertebeden pantograph denklemlerine, yüksek mertebeden pantograph denklemlerine, Lane–Emden diferansiyel denklemine, Riccati diferansiyel denklemine, multi-pantograph denklemine ve lojistik nufüs modeli problemlerine uygulanmaktadır. Ayrıca rezidüel fonksiyon kullanılarak bir hata problemi oluşturulduktan sonra aynı yöntem ile bu hata problemi de çözülerek hata tahmini yapılmaktadır. Yöntemin ve hata tahmini tekniğini açıklamak ve etkinliğini göstermek için örnekler üzerinde uygulamalar yapılır. Elde edilen sonuçlar literatürde bilinen yöntemler ile karşılaştırılarak yöntemin etkinliği gösterilir.
Özet (Çeviri)
This study introduces a novel collocation approach utilizing Boubaker polynomials and integration techniques to address differential equations and pantograph-type problems. Initially, the dominant derivative term in the equation is represented through a truncated Boubaker polynomial series, and this representation is cast into matrix form. Subsequently, successive integrations of the initial approximation are carried out to derive the matrix expressions corresponding to the remaining derivatives and the unknown function involved in the problem. After approximating the highest-order derivative, the conditions specified in the differential equation are incorporated at each stage of integration. Once the matrix expressions of the unknown function and its derivatives are inserted into the original equation, the problem is transformed into a system of algebraic equations by employing uniformly distributed collocation points. When the original differential problem is linear, the resulting algebraic system also remains linear; in contrast, a nonlinear differential problem yields a nonlinear algebraic system. Solving this system provides the values of the unknown coefficients used in the approximation. These coefficients simultaneously define the solution structure of the unknown function, and their substitution into the approximate expression yields the final solution. This new method is applied, in this thesis, to higher-order linear differential equations, first-order pantograph equations, multi-pantograph equations, the Lane–Emden differential equation, the Riccati differential equation, generalized pantograph equations, and the logistic population model problems. Additionally, after constructing a residual function and formulating an error problem, this error problem is also solved using the same method to estimate the error. To evaluate the method and its error estimation framework, it is applied to selected test problems. The resulting solutions are benchmarked against well-known approaches from the literature to assess its effectiveness.
Benzer Tezler
- Freud polinomlarına dayalı matris metodu ile diferansiyel denklemleri çözümleri üzerine
On solution of differential equations by matrix method based on Freud polynomials
GİZEM HAYTA
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikManisa Celal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ALİ KONURALP
- Dickson polinomlarının matris özellikleri ve pantograph tip fonksiyonel denklemlere uygulamaları
Matrix properties of Dickson polynomials and aplications to pantograph type functional equations
İCLAL YILDIZHAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2017
MatematikCelal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET SEZER
- Yüksek mertebeden değişken katsayılı neutral fonksiyonel diferansiyel denklemlerin boubaker seri yaklaşımları
Boubaker series approximations of higher order variable coefficient neutral functional differential equations
ELİF ZİNNUR AYKUTALP
Doktora
Türkçe
2024
MatematikManisa Celal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET SEZER
DOÇ. DR. ÖMÜR KIVANÇ KÜRKÇÜ
- Kesirli türevlere sahip diferansiyel denklemler ve pantograf denklemlerin diferensiyel dönüşüm yöntemi ile çözümlerinin incelenmesi
Research of the fractional differential equations and pantograph equations solutions with differential transformation method
MEHMET EYÜP KİRİŞ
Doktora
Türkçe
2007
MatematikSelçuk ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. GALİP OTURANÇ
YRD. DOÇ. DR. AYDIN KURNAZ
- Homotopy perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iteraston yöntemi üzerine bazı incelemeler
Some analysis on the homotopy perturbation method and variational iteration method
ÖZLEM ÖZKAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2011
MatematikDumlupınar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ELÇİN YUSUFOĞLU