Ideals generated by quadratic binomials, hibi relations and polyominoes
Ikinci dereceden binomlar tarafindan üretilen idealler, hibi iliskileri ve poliominolar
- Tez No: 995670
- Danışmanlar: PROF. DR. JÜRGEN HERZOG
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2007
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Government College Unıversıty Lahore
- Enstitü: Yurtdışı Enstitü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Binom idealleri sunifi cebirsel geometriden birgok klasik örnek içerir ve saf matematigin içinde ve ötesinde o k sayida uygulamaya sahiptir. Binom idealleri üzerine çalismamiz, kismen bu ideallerin ilginç baglamlarda ortaya i k m a s i k h i n d a n kaynaklanmaktadir. Torik cesitleri tanimlayan idealler tam olarak binom asal idealleridir. Burada, X'in -2 minörlerinin oldukça genel kümeleri tarafindan üretilen idealleri ve Hibi-iliskisi olarak adlandirilan ve dagilimli kafeslerden kaynaklanan binomlar tarafindan üretilen binom ideallerini incelivoruz. K bir cisim ve X= (xij) i=1,.,m bir belirsizlikler matrisi olsun. Herhangi bir 1 <t < j=1,..n min(m, n) tamsayisi için, X'in tüm t-minörlerinin olusturdugu ideal iyi anlasilmistir, bkz [21] ve (35] ve daha genel olarak bir ve iki tarafli merdivenlerin tüm t-minörlerinin olusturdugu idealler, örnegin bkz [6]. Cebirsel istatistikteki uygulamalardan hareketle, bitisik 2-minörlerin olusturdugu idealler de dahil olmak üzere daha gene minör kümelerinin olusturdugu idealler arastrilmistr, bkz [22], [17] ve [24] veya 2 × n- matrisindeki keyfi bir 2-minör kümesinin olusturdugu idealler [16]. X'in keyfi bir 2-minör kümesi tarafindan üretilen bir ideal I verildiginde, I'run ne zaman asal veya radikal bir ideal oldugu ve birincil bilesenlerinin neler oldugu s o r u s ortaya çikar. 16]'da gösterildigi gibi, X 2 x n matris ise I her zaman radikaldir ve yazarlar bu tür ideallerin açik birincil ayrisimuni vermektedir. Eger m,n >3ise problem ok daha karmasik hale gelmektedir. Kolay örnekler I n n genel olarak radikal olmasi gerekmedigini göstermektedir. Bölum 2'de, bir hücre koleksiyonunun iç 2-minörleri tarafindan üretilen idealleri inceliyoruz. Hücre, köseleri N2 'nin elemanlari olan R2 'nin bir birim karesidir.P hücre koleksiyonu, hücrelerin sonlu bir birlesimidir. P'nin hücrelerine ait köselerin kümesini V(P) ile gösteriyoruz. P hücre toplulugunun iç 2-minörlerinin idealini tanimlamak için bazi terminolojiyi tanitacagiz. ilk olarak N2 üzerinde (i, )j < (k, I)ifandonlyifi < k ve j< 1 ile verilen kismi siralamay: taratiyoruz.N2 kümesi bu kismi siralama ile birlikte bir dagilim kafesidir. a,b G N2 olsun ve a < b olsun, o zaman la, bl = Ic G N2| a < c < b kumesi N2'nin bir araligidir. Eger a = (i, )j ve b = (k, 1) ise, i < k ve j < lise [a, b] araligina uygun aralik denir. a, b, c, d elemanlarina c =(k, )j ve d =(i, )I olan [a, b] uygun arahganin köseleri denir. Ozellikle, a, b'ye [a, b]'nin kösegen köseleri ve c, d'ye [a, b]'nin kösegen olmayan köseleri diyoruz. Her bir P C N2 hücre koleksiyonuna asagidaki gibi bir ideal Ip ekliyoruz. K bir cisim ve S, a G V (P) ile xa degiskenlerinde K üzerinde polinom halkasi olsun. N2'nin her uygun [a, b]arahgina fa,b = xaxb - xcd binomunu atariz, burada c ve d [a, b]'nin kösegen kargitlaridir. Eger [a, b]'nin tüm hücreleri P'ye aitse [a, b] düzgün aralgina P'nin is arahg denir.a, b] P'nin bir is araligi ise fa,b binomuna P'nin ic 2-minörü denir. IP C S ile P'nin ic 2-minörleri tarafindan üretilen ideali ve KIP ile S/IP bölum halkasini gösteriyoruz. Bir hücre koleksiyonuna bagli idealler sinafi, örnegin, iki tarafli merdivenlerin 2- minörlerinin ideallerini içerir, ancak ok daha geneldir. Hücre koleksiyonlarin ilginç sinuflari, gesitli kombinatoryal baglamlarda iyi çalisilmas olan poliominolar olarak adlandirilir. Bir P hücre koleksiyonu, baglantili bir hücre koleksiyonu ise poliomino o l a r a k a d l a n d i r l i ; b u d a h e r h a n g i i k i A, B G P h ü c r e s i i ç i n C 1 = A , C m = B v e t ü m i i c i n Ci ve Ci+1 hücrelerinin ortak bir kenara sahip oldusu bir C1 ....,Cm hücre dizisi oldugu anlamina gelir. Bu Bölüm 2'nin 2.1. Kismunda, hücrelerin toplanmasiyla ilgili bazi temel kavramlari taritiyoruz. Özellikle sütun disbükey, satir disbükey ve disbükey hücre koleksiyonlarin taritiyoruz. Bu yöndeki ilk ana sonuç Bölüm 2.2'de belirtilmistir ve burada Pkonveks ise K [P]'nin |V (P) | - |P| boyutunda normal bir Cohen-Macaulay alani oldugu gösterilmistir. Bölüm 2.3'te, herhangi bir P hücre koleksiyonu için dogal bir torik halka TP ve dogal bir K-cebir homomorfizmasi K [P] ^ Tp tanimlyoruz. Bu K-cebir homomorfizmasinin bir izomorfizma oldugu hücre koleksiyonu sinufir C ile gösteriyoruz. Corollary 3.1.3'de K[P}'nin ancak ve ancak P G C ise domain oldugu gösterilmistir. Eger P basit bir hücre koleksiyonu ise P G C oldu&unu varsayiyoruz. Kabaca söylemek gerekirse P, baglantili ve deliksiz ise basittir, kesin tarum için Bölüm 2.1'e bakinz. Kismi bir sonuç olarak Teorem 2.3.10'da her bir baglantil bilesen satir veya sütun disbükey ise basit bir P hücre toplulugunun C'ye ait oldugunu elde ediyoruz. Bölüm 2.2'de gösterildigi gibi, P konveks ise K[P] normalbismetkialarudir ve dolayisiyla bu durumda K[P]'nin sinuf grubunu hesaplamak ilgi çekicidir. Bölüm 2.4'te bu islem özel bir konveks hücre koleksiyonu sinuft için, yani yigin poliominolar için yapilmaktadir. Ilk adimda, P bir yigin poliomino ise Ip'nin ikinci dereceden bir Grobner tabarina sahip oldugunu Korolay 2.4.3'te gösteriyoruz. Daha sonra Koroller 3.2.2'de CI(K[P])'nin serbest oldugu gösterilmistir. Rütbesi P'nin iç köseleri tarafindan belirlenir. Son olarak Teorem2.4.11'de K [PI'nin kanonik sinifini belirleriz. Sonuç olarak, tüm Gorenstein vigin poliominolari suruflandirilmistir. Bölüm 3'te, graflarla iliskili yeni bir binom idealleri sinufira tanitiyoruz. X= (xii) bir n ×nbelirsizlikler matrisi ve S=K[X] xij degiskenlerinde bir Kcismi üzerindeki polinom halkasi olsun.G, [n] tepe kümesi üzerinde basit bir çizge olsun. Bu i z g e ile X'in kösegen 2-minörleri tarafindan üretilen bir ideali asagidaki sekilde iliskilendiririz. 1 < i < i < n için, i, j satirlari ve i, i sütunlarinin kesisimlerindeki elemanlar tarafindan verilen X'in 2- minör fij'sini, yani fij = xiixj - xijji'yi dikkate alyoruz. PG, (i, j ) 'nin G'nin bir kenari oldugu fij binomlari tarafindan üretilen Sideali olsun. Degiskenlerin dogal siralamasinin S üzerinde olusturdugu leksikografik siralamaya göre, yani x 1 > x 12 >- - > x 1 n > ×21 >- - > xnn, indirgenmis Grobner temeli,Teorem 3.1.2'de gösterdigimiz gibi, karesiz baslangig monomellerine sahip en fazla 4 dereceli binomlardan olusur. Ancak degiskenlerin dogal sirasi tarafindan indüklenen revlexicographical sirayi göz önüne alirsak, PG'nin üreteçleri PG'nin bir Grobner tabanini olusturur ve dahasi, düzenli bir dizi bile olustururlar, bu nedenle height(PG) G'nin kenar sayisina esittir ve in^(PG) karesizdir. Burada X- revlexicographic siralamay: göstermektedir. Önerme 3.1.3'te PG'nin bir asal ideal oldusunu, dolayisivla RG= S/PG halkasinin bir normal alan oldugunu gösteriyoruz. Bölüm 3.2'de CI(RG) bölen siraf grubu üzerinde calisaca@z. Teo-rem 3.2.2'de CI(RG)'nin serbest oldugunu gösteriyoruz ve rütbesini grafin verileri cinsinden ifade ediyoruz. Son olarak, Önerme 3.2.3'te, G belirli sayida kenara sahip oldugunda CI(RG)'nin olasi rank için keskin sinurlar veriyoruz. Diyagonal -2 minörler tarafindan üretilen idealler kullarlarak, verilen herhangi bir rütbenin serbest bölen sinif grubuna sahip bir normal alan bulunabilir. [kinci dereceden binomlarin bir baska sinifi, d a § l m kafesine ba§h olan Hibi baguntisi olarak ortaya çikar. Bölüm 4'ün temel amaci, Hibi bagintilarinin vazgeçilmez oldugu ve Hibi bagintilarinin rütbe leksikografik siralamasina göre bir Grobner temeli olusturdugu özellige sahip olan dagitica kafesleri sinuflandirmaktir. Kesin olmak gerekirse, L sonlu bir kafes olsun. Bu kafese bag olarak Hibi ideali su sekilde tanimlanir: K alanurn sabitleriz ve degiskenleri L'nin elemanlari tarafindan indekslenen Küzerinde T = K I|za: a G L\I polinom halkasini göz önüne aliriz. IL (zazb zaAbzaVb - a,b G L). L'nin Hibi baginti ideali olarak adlandirihir. zazb- zaAbzaVb biçimindeki bagintilara Hibi bagintilari denir. K- cebiri RK ILI= T/IL L'nin (K üzerinde) Hibi halkas1 olarak adlandirlir. T= K [za : a G L|] içindeki degiskenleri, rütbe a<rütbe b ise za <zb olacak sekilde siraliyoruz ve bu siralama tarafindan indüklenen herhangi bir monomial siralamaya rûtbe siralamasi divoruz. 20]'de Hibi, K-cebiri RK [L]'nin ancak ve ancak L dagiliml ise bir domain (dolayisiyla bir torik halka) oldugunu söyleyen asagidaki temel gerçegi kanitlamistir. Aslinda Hibi, dagilimli kafes için Hibi bagintilarinun ters leksikografik siraya göre indirgenmis Grobner temelini olusturdugunu göstermistir. Hibi bagintilari IL'vi olustursa da, Hibi ve Ohsugi [26] anlaminda vazgeçilmez olmayabilir. Baka bir deyisle, genel olarak Hibi bagantilari disindaki bagintilardan olusan minimal bir IL. üreteçleri kümesi meveut olabilir. Böyle bir kafesin en basit örnegi, üç elemanh bir kümenin tüm alt kümelerinden olusan Boolean kafesi B3'tür. Teorem 4.1.6'da LI için Hibi b a g i n t i l a r i n vazgeçilmez oldugu sonlu dagilmli kafeslerin siniflandirmasu verivoruz. Sonucu açiklamak icin, Birkhoff'un teoremine göre her sonlu dagilimli kafesin sonlu bir posetin ideal kafesine izomorfik oldugunu hatirlayin. Bu poset, L tarafindan benzersiz bir sekilde belirlenir. Aslinda, L'nin birlesme indirgenemez elemanlarindan olusan L'nin P altpozetidir. Hibi iliskilerinin vazgeçilmez olmasi özelligi için diger esdeger kosullarin yani sira, Teorem 4.1.6'da P'nin tüm poset ideallerinin en fazla 2eleman tarafindan üretildigi gösterilmistir. Diger bir edeger kosul ise L'nin koçullu URC kafesi oldugunu söyler. Stanley tarafindan [31]'de verilen benzersiz olarak tamamlanmis kafeslerin t a r m i n i degistirerek, L'deki her [a, b] araliguin var olmalari kosuluyla benzersiz tamamlayicilari varsa, bir L kafesine kosullu olarak benzersiz olarak göreceli olarak tamamlanmis (kosullu URC) diyoruz. c V d = b ve c A d = a ise c, d G [a, b]'nin [a, b]'ye göre birbirinin tamamlayicisi olarak adlandrrildigini tekrar hatirlayin. Teorem 4.1.7'de, kosullu URC kafesin her zaman dagilimli oldugunu gözlemliyoruz. Önerme 4.1.7'de bir URC kafesinin N2'nin [m|0 x [n]O biçimindeki bir alt kafesine izomorfik oldugunu gösteriyoruz, burada [kj0 = 10, 1., n. Aramova, Herzog ve Hibinin [1, Teorem 2.5]'te sonlu basit düzlemsel dagilimli bir kafesin Hibi halkasiren ancak ve ancak L bir zincir merdiveni ise ikinci dereceden bir Grobner tabarina s h i p oldugunun gösterildigi makalesinden [1] hareketle, Teorem 4.2.1'de IL'nin indirgenmis Grobner tabaninin Hibi bagintilarindan olusmasi özelligine sahip tüm L dagilimh kafesleri siniflandiryoruz. Esdeger kosullardan biri L'nin kritik kösesi olmayan bir zincir merdivenoldugunu belirtir. P= (p1 ....,pn] sonlu bir poset ve L onun ideal kafesiolsun. Bölüm 4'üns o n kismunda, Hibi ideali HL'nin Rees halkasirin tarumlayic ideali IL'nin Grobner temelini inceleyecegiz.HibiidealiHL, K[x 1,.. ,×n,y 1,.. ,yn] polinom halkasinda ua = npiea xi npiea yi monomialleri tarafindan üretilen monomial ideal olarak tarumlarir. 14]'te, JL'nin Grobner tabara rank ters lexicographic siralamasina göre tarumlanmistir. Bölüm 4'ün ana sonucu Teorem 4.3.1'dir ve burada bir dagilimli kafes L'nin ancak ve ancak dogal leksikografik siraya göre indirgenmis Grobner temeli Hibi re-lasyonlarindan ve Özel lineer bagintilardan olusuyorsa bir URC kafesi oldu§u gösterilmistir. Bu sonuç Corollary 4.3.4'te meet-distributive meet-semilattice L için JL'nin bir lexicographic siralamaya göre indirgenmis Grobner tabanuri incelemek için kullanahr. Bu tezdeki bazi sonuclari elde etmemize yardimci olan kapsamli deneyler için Computer Algebra Systems SINGULAR [13] tarafidan saglanan destee tesekkür ederiz.
Özet (Çeviri)
The class of binomial ideals contains many classical examples from algebraic geometry, and it has numerous applications within and beyond pure mathematics. Our study of binomial ideals is partly motivated by the frequency with which they occur in interesting contexts. The ideals defining toric varieties are precisely the binomial prime ideals. Here, we study ideals generated by quite general sets of 2- minors of X, and the binomial ideals generated by the so called Hibi-relation, which are binomial arising from distributive lattices. Let K be a field and X = (xij)i=1,...,m be a matrix of indeterminates. For j=1,...,n any integer 1 ≤ t ≤ min{m,n}, the ideal generated by all t-minors of X is well understood, see [21] and [35], and more generally the ideals generated by all t-minors of a one and two sided ladders, see for example [6]. Motivated by applications in algebraic statistics, ideals generated by even more general sets of minors have been investigated, including ideals generated by adjacent 2-minors, see [22], [17] and [24], or ideals generated by an arbitrary set of 2-minors in an 2 × n-matrix [16]. Given an ideal I generated by an arbitrary set of 2-minors of X, the question arises when I is a prime or a radical ideal and what are its primary components. As shown in [16], I is always radical if X is a 2 × n matrix and the authors give the explicit primary decomposition of such ideals. The problem becomes already much more complicated if m, n ≥ 3. Easy examples show that I need not to be radical in general. In the Chapter 2, we study ideals generated by inner 2-minors of a collection of cells. A cell is a unit square of R2 whose corners are elements in N2. A collection P of cells is a finite union of cells. We denote by V (P) the set of corners belonging to the cells of P. In order to define the ideal of inner 2-minors of a collection of cells P we introduce some terminology. First we introduce the partial order on N2 givenby(i,j)≤(k,l)ifandonlyifi≤kandj≤l. ThesetN2 togetherwith this partial order is a distributive lattice. Let a, b ∈ N2 with a ≤ b, then the set [a,b]={c∈N2|a≤c≤b}isanintervalofN2. Ifa=(i,j)andb=(k,l),thenthe interval [a, b] is called a proper interval if i < k and j < l and the elements a, b, c, d are called the corners of the proper interval [a, b] where c = (k, j) and d = (i, l). In particular, we call a, b the diagonal corners of [a, b] and c, d the anti-diagonal corners of [a, b]. To each collection of cells P ⊂ N2, we attach an ideal IP as follows. Let K be a field and S be the polynomial ring over K in the variables xa with a ∈ V (P). To each proper interval [a,b] of N2, we assign the binomial fa,b = xaxb −xcxd, where c and d are the anti-diagonal corners of [a,b]. A proper interval [a,b] is called an inner interval of P if all cells of [a,b] belong to P. The binomial fa,b is called an inner 2-minor of P, if [a, b] is an inner interval of P. We denote by IP ⊂ S the ideal generated by the inner 2-minors of P and by K[P] the quotient ring S/IP. The class of ideals attached to a collection of cells includes, for example, the ideals of 2-minors of two sided ladders, but it is much more general. Interesting classes of collections of cells are the so-called polyominoes that are well studied in various combinatorial contexts. A collection of cells P is called a polyomino if it is a connected collection of cells which means that for any two cells A, B ∈ P there exists a sequence of cells C1,...,Cm with C1 = A, Cm = B, and for all i, the cells Ci and Ci+1 have an edge in common. In Section 2.1 of this Chapter 2, we introduce some basic concepts related to collection of cells. In particular we introduce column convex, row convex and convex collection of cells. The first main result in this direction is stated in Section 2.2 where it is shown that K[P] is a normal Cohen–Macaulay domain of dimension |V (P)| − |P|, if P is convex. In Section 2.3, we define for any collection of cells P a natural toric ring TP and a natural K-algebra homomorphism K[P] → TP. We denote by C the class of collection of cells for which this K-algebra homomorphism is an isomorphism. It is shown in Corollary 3.1.3 that K[P] is domain if and only if P ∈ C. We conjecture that P ∈ C, if P is a simple collection of cells. Roughly speaking P is simple if it is connected and has no holes, see Section 2.1 for the precise definition. As a partial result we obtain in Theorem 2.3.10 that a simple collection of cells P belongs to C if each connected component is row or column convex. As shown in Section 2.2, K[P] is a normal domain if P is convex, and hence it is of interest to compute the class group of K[P] in this case. In Section 2.4, this is done for a special class of convex collection of cells, namely for stack polyominoes. In a first step we show in Corollary 2.4.3, that IP has a quadratic Gr ̈obner basis if P is a stack polyomino. Then in Corollary 3.2.2 it is shown that Cl(K[P]) is free. Its rank is determined by the inner corners of P. Finally in Theorem 2.4.11, we determine the canonical class of K[P]. As a consequence, all Gorenstein stack polyominoes are classified. In Chapter 3, we introduce a new class of binomial ideals associated with graphs. Let X = (xij) be an n × n-matrix of indeterminates and S = K[X] the polynomial ring over a field K in the variables xij. Let G be a simple graph on the vertex set [n]. With this graph we associate an ideal generated by diagonal 2-minors of X in the following way. For 1 ≤ i < j ≤ n we consider the 2-minor fij of X given by the elements at the intersections of the rows i,j and the columns i,j, that is, fij = xiixjj − xijxji. Let PG be the ideal of S generated by the binomials fij where {i,j} is an edge of G. With respect to the lexicographical order on S induced by the natural order of variables, namely x11 > x12 > ··· > x1n > x21 > ··· > xnn, the reduced Gr ̈obner basis consists of binomials of degree at most 4 which have squarefree initial monomials, as we show in Theorem 3.1.2. But if we consider the revlexicographical order induced by the natural order of the variables, then the generators of PG form a Gr ̈obner basis of PG and moreover, they form even a regular sequence, therefore height(PG) equals the number of edges of G and in≺(PG) is squarefree. Here ≺ denotes the revlexicographic order. We show in Proposition 3.1.3, that PG is a prime ideal, hence the ring RG = S/PG is a normal domain. In Section 3.2, we study the divisor class group Cl(RG). We show in Theorem 3.2.2 that Cl(RG) is free and we express its rank in terms of the graph's data. Finally, in Proposition 3.2.3, we give sharp bounds for the possible rank of Cl(RG) when G has a given number of edges. By using ideals generated by diagonal 2- minors, one may find a normal domain with free divisor class group of any given rank. Another class of quadratic binomials arise as Hibi relation which are attached to the distributive lattice. The main purpose of Chapter 4 is to classify those distributive lattices with the property that the Hibi relations are indispensable and those with the property that Hibi relations form a Gr ̈obner basis with respect to the rank lexicographic order. To be precise let L be a finite lattice. Attached to this lattice one defines the so-called Hibi ideal as follows: we fix a field K and consider the polynomial ring T = K[{za : a ∈ L}] over K whose variables are indexed by the elements of L. Then IL =(zazb −za∧bza∨b : a,b∈L). is called the Hibi relation ideal of L. Relations of the form zazb − za∧bza∨b are called Hibi relations. The K-algebra RK[L] = T/IL is called the Hibi ring of L (over K). We order variables in T = K[{za: a ∈ L}] such that za < zb if ranka < rankb and call any monomial order induced by this ordering the rank order. In [20], Hibi proved the following fundamental fact which says that the K-algebra RK [L] is a domain (hence a toric ring) if and only if L is distributive. In fact Hibi showed that for distributive lattice Hibi relations form the reduced Gr ̈obner basis with respect to the reverse lexicographic order. Even though Hibi relations generate IL, they may not be indispensable in the sense of Hibi and Ohsugi [26]. In other words, in general there may exist a minimal set of generators of IL consisting of relations other than Hibi relations. The simplest example of such a lattice is the Boolean lattice B3 which consists of all the subsets of a three element set. In Theorem 4.1.6 we give the classification of finite distributive lattices with the property that for IL the Hibi relations are indispensable. To describe the result, recall that according to Birkhoff's theorem every finite distributive lattice is isomor- phic to the ideal lattice of a finite poset. This poset is uniquely determined by L. In fact, it is the subposet P of L consisting of join-irreducible elements of L. Among other equivalent conditions for the property that Hibi relations are indispensable, it is shown in Theorem 4.1.6 that all poset ideals of P are generated by at most 2 elements. Another equivalent condition says that L is a conditionally URC lattice. Modifying the definition of uniquely complemented lattices given by Stanley in [31], we call a lattice L conditionally uniquely relatively complemented (conditionally URC), if each interval [a, b] in L has unique complements provided they exist. Re- call that c,d ∈ [a,b] are called complements of each other with respect to [a,b] if c ∨ d = b and c ∧ d = a. In Theorem 4.1.7, we observe that a conditionally URC lattice is always distributive. We show in Proposition 4.1.7 that a URC lattice is isomorphic to a sublattice of N2 of the form [m]0 × [n]0, where [k]0 = {0, 1, . . . , n}. Motivated by the paper [1] of Aramova, Herzog and Hibi where it is shown in [1, Theorem 2.5] that the Hibi ring of a finite simple planar distributive lattice has a quadratic Grobner basis if and only if L is a chain ladder, we classify in Theorem 4.2.1 all distributive lattices L having the property that the reduced Grobner basis of IL consists of Hibi relations. One of the equivalent condition states that L is a chain ladder without critical corner. Let P = {p1,...,pn} be a finite poset and L be its ideal lattice. In the last section of the Chapter 4, we study the Gr ̈obner basis of the defining ideal JL of the Rees ring of the Hibi ideal HL. The Hibi ideal HL is defined to be the mono- mial ideal generated by the monomials ua = Qpi∈a xi Qpi̸∈a yi in the polynomial ring K[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn]. In [14], the Grobner basis of JL is described with respect to the rank reverse lexicographic order. The main result of Section 4 is Theorem 4.3.1 where it is shown that a distributive lattice L is a URC lattice if and only if the reduced Gr ̈obner basis with respect to natural lexicographic order consists of Hibi re- lations and special linear relations. This result is used in Corollary 4.3.4 to study for meet-distributive meet-semilattice L, the reduced Grobner basis of JL with respect to a lexicographic order. We acknowledge the support provided by the Computer Algebra Systems Singular [13] for the extensive experiments which helped us to obtain some of the results in this thesis.
Benzer Tezler
- Quantum-resistant multivariate quadratic systems and digital signatures
Kuantum-dayanıklı çok değişkenli iki bilinmeyenli sistemler ve sayısal imzalar
ESEN ALTUNDAĞ
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiKriptografi Ana Bilim Dalı (disiplinlerarası)
DOÇ. DR. MURAT CENK
- Honlama prosesinde yüzey kalitesini etkileyen parametrelerin cevap yüzey metodu ile optimizasyonu
Honing process with answer surface method in the optimization of the parameters that affect the quality of the surface
DİLAN DOĞAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
Makine MühendisliğiSelçuk ÜniversitesiOtomotiv Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SÜLEYMAN NEŞELİ
- Ballistic missile defense systems
Balistik füze savunma sistemleri
ALFATEH MOKHTAR AHMED . ALFATEH MOKHTAR AHMED .
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Aydın ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ NECİP GÖKHAN KASAPOĞLU
- Tersane yerleşimi optimizasyonu ve simülasyonu
Shipyard layout optimization and simulation
SALİM TAMER
Doktora
Türkçe
2023
Endüstri ve Endüstri Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BARIŞ BARLAS
- Aktif ve pasif yapı kontrolü
Active and passive structural control systems
ÖZGÜL ZOBU
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiYapı Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. A. NECMETTİN GÜNDÜZ