Salınımlı integrallerde tekillikler ve uniform asimptotik yaklaşımlar
Singularities and uniform asymptotic approximations in oscillatory integrals
- Tez No: 1001602
- Danışmanlar: DOÇ. DR. FATİH SAY
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Asimptotik analiz, Düzgün yaklaşım, Asymptotic analysis, Uniform approximation
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Bursa Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Matematiksel fizik ve mühendislik uygulamalarında sıklıkla ortaya çıkan büyük parametreli salınımlı integraller kapalı formda çözüme sahip değildir. Optik kırınım, dalga mekaniği, kuantum mekaniği gibi pek çok alanda karşılaşılan bu tip integrallerin asimptotik yaklaşımlarla analizi ve bu yolla ulaşılan sonuçlar büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada ele alınan Fresnel, Airy ve Pearcey integralleri durağan faz, en dik iniş gibi klasik asimptotik yöntemlerle incelenip düzenli bölgelerde görülen davranışlar ve katkılar elde edilmiştir ve bu bölgelerde integrallerin yapıları ve davranışları net olarak ortaya konulmuştur. Fakat durağan noktaların birleşmeye başladığı geçiş bölgelerinde oluşan tekillik koşullarında klasik asimptotik yöntemler ayrık katkıları doğru tanımlayamaz hale geldiğinden uniform yaklaşımlar ihtiyaç haline gelmiştir. Birleşen durağan nokta sayısına göre sınıflandırılan tekilliklerden bu tez kapsamında; iki durağan noktanın birleştiği fold ve üç durağan noktanın birleştiği cusp tekilliklerine yer verilmiştir. Fold tekilliğinde CFU uniform yöntemi kullanılarak integral tüm geçiş bölgesinde geçerli olacak şekilde Airy kanonik integraline indirgenerek ve katkılar Airy fanksiyonları ile tanımlanmıştır. Cusp tekilliğinde ise üç ışın ailesinin birleştiği kaustik yapıların evrensel modeli Pearcey kanonik integraline indirgenmiştir ve kaustik civarındaki davranışı Pearcey integrali üzerinden açıklanmıştır. Bunlara ek olarak Bleistein'ın çoklu durağan nokta birleşmelerine ilişkin tanımladığı uniform genişlemelere yer verilerek kanonik formlar ve tekillikler üzerine genel bir bakış açısı ve değerlendirme sunulmuştur. Bu tez, Fresnel, Airy ve Pearcey integrallerinin hem matematiksel hem de fiziksel bağlamdaki rollerini ortaya koymakta ve üstel salınımlı integrallerde kullanılan asimptotik yöntemler konusunda bir kaynak sunmaktadır.
Özet (Çeviri)
Oscillatory integrals with large parameters, which frequently arise in mathemati- cal physics and engineering applications, generally do not possess closed-form so- lutions. The analysis of such integrals through asymptotic methods—encountered in many fields such as optical diffraction, wave mechanics, and quantum mechan- ics—and the results obtained thereby are of great importance. In this study, the Fresnel, Airy, and Pearcey integrals are examined using classical asymptotic techniques such as the method of stationary phase and the method of steepest descents, and their behaviours and contributions in regular regions are identified, revealing the structure and nature of the integrals in these regimes. However, in transition regions where stationary points begin to coalesce and sin- gularity conditions arise, classical asymptotic methods fail to correctly describe separate contributions, necessitating the use of uniform approximations. Among the singularities classified by the number of coalescing stationary points, this thesis focuses on the fold singularity involving two stationary points and the cusp singularity involving three stationary points. For the fold singularity, the CFU uniform method is employed to reduce the integral to the Airy canonical integral valid throughout the entire transition region, with the contributions ex- pressed in terms of Airy functions. For the cusp singularity, the universal model of the caustic structure formed by the merging of three ray families is reduced to the Pearcey canonical integral, and the behaviour near the caustic is described through the Pearcey integral. Additionally, Bleistein's uniform expansions for multiple coalescing stationary points are included, providing a broader perspec- tive and evaluation of canonical forms and singularities. This thesis highlights the roles of the Fresnel, Airy, and Pearcey integrals in both mathematical and physical contexts and provides a resource on asymptotic methods used for exponentially oscillatory integrals.
Benzer Tezler
- Tekil ve yüksek salınımlı problem uygulamalarının hesaplanması için sayısal algoritmalar
Numerical algorithms for the computation of singular and highly oscillatory problems with applications
IDRISSA KAYIJUKA
Doktora
Türkçe
2021
MatematikEge ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FATMA SERAP TOPAL
DOÇ. DR. ALİ KONURALP
- Application of clenshaw-curtis methods to singular oscillatory integrals
Clenshaw-curtis metodunun tekil salınımlı integrallere uygulanması
IDRISSA KAYIJUKA
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikGaziantep ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİSAN HASÇELİK
- An efficient iterative solution of oscillatory integrals containing the product of Bessel functions
Bessel fonksiyonlarının çarpımlarını içeren salınımlı integrallerin verimli tekrarlamalı çözümleri
ZİLAL DİREK
Yüksek Lisans
İngilizce
2011
MatematikFatih ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ALİ ŞAHİN
- Yüksek salınımlı integraller için Levin tipi metotlar
Levin type methods for highly oscillatory integrals
EMİNE TAN
- Freud tipi ağırlık fonksiyonlarına göre gauss integrasyon metotlarının oluşturulması ve bu metotların yüksek salınımlı integrallere uygulanması
Construction of gauss integration methods with respect to freud-type weight functions and application of these methods to highly oscillatory integrals
DİLAN KILIÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikGaziantep ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ALİSAN HASÇELİK