Certified real eigenvalue location of matrices with real characteristic polynomials
Gerçek karakteristik polinomlara sahip matrislerin sertifikalı gerçek özdeğer konumları
- Tez No: 1013648
- Danışmanlar: DR. ÖĞR. ÜYESİ TÜLAY AYYILDIZ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Matematik, Computer Engineering and Computer Science and Control, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Diferensiyel cebirsel denklemler, Diferensiyel özdeğer problemi, Doğrusal cebir, Doğrusal olmayan denklemler, Doğrusal olmayan diferensiyel denklemler, Doğrusal olmayan problemler, Doğrusal olmayan sistemler, Differential algebraic equations, Differential eigenvalue problem, Linear algebra, Nonlinear equations, Nonlinear differential equations, Non-linear problems, Nonlinear systems
- Yıl: 2026
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Gebze Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Özdeğerlerin yerelleştirilmesi, sayısal lineer cebir, kararlılık analizi ve mühendislik ile uygulamalı bilimlerdeki birçok problem için merkezi bir öneme sahiptir. Modern sayısal algoritmalar büyük ölçekli problemlerin özdeğerlerini etkin bir şekilde yaklaşık olarak hesaplayabilse de, genellikle belirli bölgeler içinde özdeğerlerin varlığı, sayısı veya gerçek olup olmadığına dair kesin ve sertifikalı garantiler sunamazlar. Buna karşılık, sembolik ve cebirsel sertifikasyon yöntemleri matematiksel olarak kesin sonuçlar sağlasa da, çoğu zaman yüksek hesaplama maliyeti ve sınırlı ölçeklenebilirlik gibi dezavantajlara sahiptir. Bu iki yaklaşım arasındaki boşluğu doldurmak, güvenilir spektral analiz açısından temel bir zorluk oluşturmaktadır. Bu tezde, Gershgorin disk analizinin geometrik verimliliğini Hermite matrislerine dayalı cebirsel sertifikasyonla birleştiren hibrit bir özdeğer yerelleştirme çerçevesi sunulmaktadır. Yöntem, karakteristik polinomu gerçek katsayılara sahip olan matrisler için gerçek özdeğerlerin güvenilir biçimde yerelleştirilmesi ve sertifikalandırılmasına odaklanmaktadır. Bu sınıfa; gerçek matrisler, gerçeğe benzer (real'e benzer) karmaşık matrisler, eşlenik çiftlerden oluşan blok diyagonal matrisler ve Hermit matrisler dahildir. İlk aşamada, Gershgorin diskleri kullanılarak özdeğer içerebilecek aday bölgeler hızlı bir şekilde belirlenmektedir. Ardından, bu bölgeler Hermite matrisleri ve imza (signature) analizi yardımıyla kesin olarak sertifikalandırılmakta ve belirli aralıklar içinde gerçek özdeğerlerin varlığı ve sayısı doğrulanmaktadır. Önerilen yaklaşım, doğrudan özdeğer hesaplamasından kaçınarak karakteristik polinomun inşasına, iz (trace) tabanlı Hermite matrislerine ve dikkatle seçilmiş yardımcı polinomlar aracılığıyla yapılan imza karşılaştırmalarına dayanmaktadır. Bu sayede, pratik hesaplama verimliliği korunurken matematiksel olarak garantili yerelleştirme sonuçları elde edilmektedir. Yöntemin toplam hesaplama karmaşıklığı, genellikle O(n^3) mertebesinde olan karakteristik polinom hesabı tarafından belirlenmekte olup, bu durum yöntemi orta büyüklükteki sistemler için uygulanabilir kılmaktadır. Çeşitli sayısal örnekler, örtüşen Gershgorin diskleri, kümelenmiş özdeğerler ve hem gerçek hem de karmaşık spektrum içeren matrisler dahil olmak üzere yöntemin etkinliğini göstermektedir. Elde edilen sonuçlar, hibrit yaklaşımın keskin ve sertifikalı gerçek özdeğer aralıkları sağladığını ve yalnızca sayısal ya da yalnızca sembolik yöntemlere güçlü ve güvenilir bir alternatif sunduğunu ortaya koymaktadır. Bu çalışma, özellikle doğruluk ve matematiksel garanti gerektiren uygulamalar için sertifikalı spektral analiz alanına pratik ve güvenilir bir katkı sunmaktadır.
Özet (Çeviri)
Eigenvalue localization is a fundamental concept in numerical linear algebra, stability analysis, and numerous applications in engineering and applied sciences. While modern numerical algorithms can efficiently approximate the eigenvalues of large-scale problems, they generally do not provide certified guarantees on the existence, number, or realness of the eigenvalues within prescribed regions. Conversely, symbolic and algebraic certification techniques provide rigorous validation but frequently encounter high computational expense and restricted scalability. Addressing this challenge is imperative for the advancement of reliable spectral analysis. This thesis proposes a hybrid eigenvalue localization framework that combines the geometric efficiency of Gershgorin disk analysis with the algebraic rigor of Hermite matrix-based certification. The method under discussion emphasizes the reliable localization and certification of real eigenvalues for matrices whose characteristic polynomials have real coefficients. This encompasses real matrices, complex matrices that are similar to real matrices, block-diagonal matrices with conjugate pairs, and Hermitian matrices. Gershgorin disks are initially utilized to expeditiously identify potential regions that may contain eigenvalues. These regions are then subjected to rigorous certification using Hermite matrices and signature analysis, enabling the precise detection and isolation of real eigenvalues within designated intervals. The proposed approach avoids direct eigenvalue computation and instead relies on characteristic polynomial construction, trace-based Hermite matrices, and signature comparisons induced by carefully chosen auxiliary polynomials. This approach ensures mathematically guaranteed localization results while preserving practical computational efficiency. The overall complexity of the method is dominated by the characteristic polynomial computation, which is typically O(n^3). This makes the method viable for moderately large systems. Numerical examples are presented to demonstrate the efficacy of the method, including cases with overlapping Gershgorin disks, clustered eigenvalues, and matrices containing both real and complex spectra. The findings substantiate that the hybrid strategy yields precise, certified real eigenvalue intervals and proffers a robust substitute for purely numerical or purely symbolic techniques. This work contributes a practical and reliable tool for certified spectral analysis, particularly in applications where correctness and guarantees are essential.
Benzer Tezler
- Türkiye'de sürdürülebilir taşınmaz geliştirme olgusunun yarattığı değerin sertifikalı yeşil bina üzerinden irdelenmesi
The value created by the fact of sustainable real estate development on certified green building case in Turkey
AYŞEN SANBUR
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MimarlıkAnkara ÜniversitesiGayrimenkul Geliştirme ve Yönetimi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ARZUHAN BURCU GÜLTEKİN
- Sustainable real estate development: A comparative analysis of green building practices in Türkiye
Sürdürülebilir gayrimenkul gelişimi: Türkiye'de yeşil bina uygulamalarının karşılaştırmalı analizi
AMİNA NAIMOVA
Yüksek Lisans
İngilizce
2025
İşletmeİstanbul Nişantaşı Üniversitesiİşletme Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ FİGEN HARAVON
- Türkiye'de gayrimenkul piyasalarının sürdürülebilirlik yönünden analizi ve sürdürülebilirlik endeksinin oluşturulması
Analysis of real estate markets in terms of sustainability and setting sustainability indices in Türkiye
GÜLNAZ ŞENGÜL GÜNEŞ
Doktora
Türkçe
2024
EkonomiAnkara ÜniversitesiGayrimenkul Geliştirme ve Yönetimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. KÜRŞAT YALÇİNER
- Ankara ili tarım işletmelerinde ıslah edilmiş buğday çeşitlerinin sertifikalı tohumluklarının kullanım düzeyleri ve işletme ekonomisine katkılarının değerlendirilmesi
The use of certified seeds of improved wheat varieties and the evaluation of their contribution on bussiness economies of farms in Ankara
İLYAS AKDOĞAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
ZiraatAnkara ÜniversitesiTarım Ekonomisi Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. HARUN TANRIVERMİŞ
- Baz istasyonu ölçümlerinin gerçek zamanlı ve konum tabanlı olarak kaydedilmesine yönelik bir arayüz geliştirilmesi
Developing an interface for registration of real-time and location-based surveys of base station
AHMET BİBİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolGazi ÜniversitesiBilişim Sistemleri Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET DEMİRTAŞ