Newtonyen olmayan mersenne ve mersenne-lucas sayıları
Non-newtonian mersenne and mersenne-lucas numbers
- Tez No: 1023815
- Danışmanlar: DOÇ. DR. NİLAY DEĞİRMEN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Ondokuz Mayıs Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışması, sayılar teorisinin en köklü ve işlevsel dizilerinden biri olan Mersenne sayılarını, modern ve alternatif bir matematiksel yaklaşım sunan Newtonyen olmayan (non-Newtonian) kalkülüs çerçevesinde yeniden tanımlamaktadır. Geleneksel kalkülüsün klasik toplamsal yapısına güçlü bir alternatif olarak Grossman ve Katz tarafından literatüre geçen bu yaklaşım, temel aritmetik işlemleri farklı üreteç fonksiyonları aracılığıyla tanımlanmış matematiksel analize yepyeni bir perspektif kazandırmaktadır. Tezin giriş ve genel bilgiler bölümlerinde; 17. yüzyıldan bu yana kriptografiden bilgisayar bilimlerine, rastgele sayı üretiminden donanım testlerine kadar oldukça geniş bir yelpazede stratejik öneme sahip olan Mersenne dizilerinin tarihsel gelişimi ve klasik özellikleri kapsamlı biçimde ele alınmıştır. Bu bağlamda, genel terimiyle ifade edilen geleneksel Mersenne sayıları ile Mersenne-Lucas dizilerinin; Binet formülü, Cassini, Catalan ve d'Ocagne gibi temel matematiksel özdeşliklerin klasik aritmetik sistemdeki karşılıkları detaylandırılmıştır. Çalışmanın özgün katkısını sunan ana bölümde ise, klasik Mersenne ve Mersenne-Lucas sayı dizileri, Newtonyen olmayan reel sayılar kümesi üzerindeki özel aritmetik işlemlerle tamamen yeniden kurgulanmıştır. Bu kapsamda, söz konusu dizilerin Newtonyen olmayan yapı içerisindeki karakteristik davranışları derinlemesine incelenmiş; Catalan, Cassini, d'Ocagne, Vajda ve Honsberger gibi kritik özdeşliklerin bu yeni matematiksel sistemdeki geçerliliği teorik olarak ispatlanmıştır. Ayrıca, bu sayıların limit durumları ve sonlu terimlerinin toplamlarına dair yeni matematiksel formüller, Newtonyen olmayan analizin sunduğu çarpımsal veya oransal değişim operatörleri titizlikle kullanılarak türetilmiştir. Sonuç olarak bu tez; Fibonacci ve Jacobsthal gibi popüler sayı dizileri üzerine yapılan güncel çalışmaları Mersenne dizilerine başarıyla genişleterek matematik literatürüne özgün ve nitelikli bir katkı sağlamaktadır. Elde edilen bulgular, özel sayı dizilerinin farklı aritmetik dünyalardaki karakteristiklerini somut şekilde ortaya koyarken, gelecekteki disiplinlerarası uygulamalar için de güçlü bir teorik zemin oluşturmaktadır.
Özet (Çeviri)
This thesis study redefines Mersenne numbers, one of the most well-established and functional sequences in number theory, within the framework of non-Newtonian calculus, which offers a modern and alternative mathematical approach. Introduced to the literature by Grossman and Katz as a powerful alternative to the classical additive structure of traditional calculus, this approach imparts a brand-new perspective to mathematical analysis, in which basic arithmetic operations are defined through different generator functions. In the introduction and background sections of the thesis, the historical development and classical properties of Mersenne sequences—which have held strategic importance since the 17th century across a wide spectrum ranging from cryptography to computer science, random number generation, and hardware testing—are comprehensively discussed. In this context, traditional Mersenne numbers expressed by the general term and Mersenne-Lucas sequences are detailed, along with the counterparts of fundamental mathematical identities such as the Binet formula, Cassini, Catalan, and d'Ocagne in the classical arithmetic system. In the core section, which presents the original contribution of the study, classical Mersenne and Mersenne-Lucas number sequences are completely reconstructed using special arithmetic operations over the set of non-Newtonian real numbers. Within this scope, the characteristic behaviors of these sequences within the non-Newtonian structure are examined in depth, and the validity of critical identities such as Catalan, Cassini, d'Ocagne, Vajda, and Honsberger in this new mathematical system is theoretically proven. Furthermore, new mathematical formulas regarding the limit states and sums of finite terms of these numbers have been rigorously derived by utilizing the multiplicative or proportional change operators provided by non-Newtonian analysis. Consequently, this thesis provides an original and qualified contribution to the mathematical literature by successfully extending recent studies on popular number sequences like Fibonacci and Jacobsthal to Mersenne sequences. The findings obtained concretely demonstrate the characteristics of special number sequences in different arithmetic worlds, while establishing a strong theoretical foundation for future interdisciplinary applications.
Benzer Tezler
- Bir tip merminin hareketinin deneysel incelenmesi ve dış balistikte teorik bir yaklaşım
Theoretical and experimental investigation on external ballistic characteristics of a projectile
MEHMET AKÇAY
- Değişik molekül ağırlıklı polimer çözeltilerinde gaz/sıvı kütle aktarımının araştırılması
Study of gas/liquid mass transfer in polymer solutions with different molecular werghts
SELAHEDDİN JUBRAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1989
Kimya MühendisliğiAnkara ÜniversitesiKimya Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HÜSEYİN OĞUZ
- Helical and axial annular flow of drilling fluids and cement slurries
Başlık çevirisi yok
İ.HAKKI GÜCÜYENER
Doktora
İngilizce
1990
Petrol ve Doğal Gaz MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiDOÇ.DR. M. TANJU MEHMETOĞLU
- Dişli çarklarda yenme olayının yağlama bakımından incelenmesi
A Study on the scuffing of gears with respect to lubrication
GHOLAMHASSAN PAYGANE